线性代数(同济第五版)第一、二章复习提纲.ppt

第一章行列式 教学提示 行列式是一种常用的数学工具 在数学及其它学科中有着广泛的应用 本章重点在于让学生了解行列式的性质及解线性方程组的克莱姆法则 掌握行列式的常用计算方法 第一节二阶与三阶行列式 一 二元线性方程组与二阶行列式 二 三阶行列式 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 小结 第二节全排列及其逆序数 一 概念的引入 二 全排列及其逆序数 2排列具有奇偶性 3计算排列逆序数的方法 1个不同的元素的所有排列种数为 小结 第三节n阶行列式的定义 一 概念的引入 二 n阶行列式的定义 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式共有项 每项都是位于不同行 不同列的个元素的乘积 正负号由下标排列的逆序数决定 小结 第四节对换 一 对换的定义 二 对换与排列奇偶性的关系 1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 2 行列式的三种表示方法 小结 其中是两个级排列 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和 第五节行列式的性质 一 行列式的性质 二 应用举例 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 小结 行列式的6个性质 第六节行列式按行 列 展开 一 余子式与代数余子式 二 行列式按行 列 展开法则 1 行列式按行 列 展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 小结 第七节克拉默法则 一 克拉默法则 二 相关定理 克拉默法则 如果线性方程组 n个未知变量 n个方程 的系数行列式不等于零 即 其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式 即 那么线性方程组 1 有解 并且解是唯一的 解可以表为 1 用克拉默法则解方程组的两个条件 1 方程个数等于未知量个数 2 系数行列式不等于零 2 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 它主要适用于理论推导 小结 第二章矩阵及其运算 教学提示 矩阵是线性代数的主要研究对象 它在线性代数与数学的许多分支中都有重要应用 许多实际问题可用矩阵表示并用有关理论得到解决 本章重点在于让学生掌握矩阵的运算规律及求逆矩阵的方法 要让学生了解矩阵常用的分块方法 第一节矩阵 一 矩阵概念的引入 二 矩阵的定义 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 矩阵概念的引入 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 二 矩阵的定义 由个数排成的行列的数表 称为矩阵 简称矩阵 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 若线性变换为 称之为恒等变换 单位阵 小结 1 矩阵的概念 2 特殊矩阵 方阵 行矩阵与列矩阵 单位矩阵 对角矩阵 零矩阵 思考题 矩阵与行列式的有何区别 思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别 行列式是一个算式 一个数字行列式经过计算可求得其值 而矩阵仅仅是一个数表 它的行数和列数可以不同 第二节矩阵的运算 一 矩阵的加法 二 数与矩阵相乘 三 矩阵与矩阵相乘 四 矩阵的其他运算 矩阵的加法与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 小结 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 2 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 且矩阵相乘不满足交换律 1 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 注意 3 矩阵的数乘