椭圆的几何性质及综合问题

.椭圆的几何性质一、概念及性质1. 椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a,b,c 的关系”；2. 椭圆的通经：3. 椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4. 椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性;.质求解： acpf1ac .5. 直线与椭圆的位置关系：6. 椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1) 根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程；(3)求离心率的值或范围题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点p(3,0), q(0,2) ；（ 2）长轴长等于20，离心率等于3 .5【典例 2】求椭圆16 x225 y2400 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.2【典例 3】已知 a ， p，q 为椭圆 c： xa 2y1( a2b 2b0) 上三点，若直线pq 过原点，且直线 ap， aq 的斜率之积为1，则椭圆c 的离心率为（）221a.b.2221c. d.4422【练习】 (1)已知椭圆 xy2 y2 6x 8 0 的圆心，且短轴长a2 b2 1(ab0)的一个焦点是圆x为 8，则椭圆的左顶点为()a ( 3， 0)b ( 4，0)c( 10， 0)d ( 5，0)x2y24（2） 椭圆9 4 k 1 的离心率为 5，则 k 的值为 ()1919a 21b 21c 25或 21d 25或 21x2y2(3) 设椭圆 c： 2ab2 1(a b0)的左， 右焦点为f1，f2 ，过 f2 作 x 轴的垂线与c 相交于 a，b 两点， f1b 与 y 轴相交于点d ，若 ad f1b，则椭圆c 的离心率等于 x2y2【典例 4】已知f1， f2 为椭圆a2 b2 1(a b 0)的左，右焦点，p 为椭圆上任意一点，且pf15 pf2，则该椭圆的离心率的取值范围是x 2y 2练习：如图，把椭圆1 的长轴 ab 分成 8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆2516的上半部分与p1,p2,p7 七个点， f 是椭圆的一个焦点，则pf1pf2pf7 =x2y2【典例 5】若 “过椭圆a2 b2 1(a b 0)的左，右焦点f1 ，f 2 的两条互相垂直的直线l 1，l 2 的交点在椭圆的内部” ，求离心率的取值范围x2y2【典例 6】已知椭圆c： 9 4 1，点 m 与 c 的焦点不重合若m 关于 c 的焦点的对称点分别为 a， b，线段 mn 的中点在c 上，则 |an| |bn| 【方法归纳】：1. 在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2. 求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a, b, c 之间的关系，以减少运算量3. 在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c 的等式 ( 或不等222式) ，利用 a b c 消去 b，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围5. 在探寻 a, b, c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5.【本节练习】1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是3，则此椭圆的标准方程是() 4x2y2x2y2x2y2x2y2x2y2x2y2a 16 7 1b 16 7 1 或 7 16 1c1625 1d1625 1 或2516 122xy12. 设 e 是椭圆4 k 1 的离心率，且e (2， 1)，则实数k 的取值范围是()a (0， 3)b (3， 16)c (0， 3) (16， )d (0， 2)333. 已知椭圆短轴上的两个顶点分别为b1 ，b2，焦点为 f1，f2，若四边形b1f1b2f 2 是正方形， 则这个椭圆的离心率e 等于 ()a 22b 12c. 2x2d. 3y2 14. 如图，焦点在x 轴上的椭圆4 b2 1 的离心率e， f， a 分别是2椭圆的一个焦点和顶点，p 是椭圆上任意一点，则pf pa的最大值为 x 25. 已知椭圆c：2a2y1(ab b 20) 的左、右焦点为f1 , f 2 ，离心率为3，过 f 2 的直3线 l 交 c 于 a,b 两点，若 af 1b 的周长为 43 ，则 c 的方程为（）x2y 2a. 1b. xy21x 2y 2c. 1x 2y 2d. 123231281246. 已知 f 1、f 2 是椭圆x y22 1 的两个焦点，p 是椭圆上一点，且pf 1 pf2，则 f1pf 210064的面积为 7. 设 f , f2x是椭圆e ：2y 1(ab0) 的左、右焦点，p 为直线 x3a上一点，12a 2b 22f 2 pf1是底角为 300 的等腰三角形，则e 的离心率为（）12a.b.2334c.d.45x 28. 过椭圆2ay1(a2b 2b0) 的左焦点f 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点p，f2 为右焦点， 若f1 pf2600，则椭圆的离心率为（）5311a.b.c.d.23232x9. 已知椭圆2y1(ab0) 的左焦点为f ，右顶点为a，上顶点为b，若 bfba ，a 2b 2则称其为“优美椭圆” ，那么“优美椭圆”的离心率为10. 已知f1 为椭圆的左焦点，a， b 分别为椭圆的右顶点和上顶点，p 为椭圆上的点，当pf1f1 a ， po ab（o 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为x211. 已知方程 2 y 1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ()2k2k 111a (， 2)b (1， )c (1， 2)d ( 2， 1)212. 矩形 abcd 中， |ab| 4，|bc| 3，则以 a，b 为焦点，且过c，d 两点的椭圆的短轴的长为 ()a 23b 26c 42d 4313. 一个椭圆中心在原点，焦点f 1，f2 在 x 轴上， p(2，3)是椭圆上一点，且|pf 1|，|f1 f2 |，|pf 2|成等差数列，则椭圆方程为()x2y2x2y2x2y2x2y2a 8 6 1b 16 6 1c 8 4 1d 16 4 114. 如图，已知抛物线y2 2px(p0) 的焦点恰好是椭圆x2 a2y2b2 1(ab0) 的右焦点f，且这两条曲线交点的连线过点f，则该椭圆的离心率为 15. 已知抛物线x 2x 2y与椭圆24ay1(a2180) 在第一象限相交于a 点，f 为抛物线的焦点， ab y 轴于 b 点，当 baf=300 时， a=2216. 设 f 1，f 2 分别是椭圆 x y 1 的左、右焦点，p 为椭圆上任一点，点m 的坐标为 (6，25164)，则 |pm| |pf1 |的最大值为 x2y2917. 椭圆 1 上有两个动点p、q， e(3， 0)，ep eq，则ep qp的最小值为 () 36a 6b 33c 9d 12 6318. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为 19. 若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是 20. 已知圆锥曲线mx2 4y24m 的离心率e 为方程 2x2 5x 20 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为 ()2a 4b 3c2d 114.椭 圆x2: a 2y1 a b2b0的 左 右 焦 点 分 别 为f1, f2, 焦 距 为2c ， 若 直 线y3 xc 与椭圆的一个交点满足mf1f22mf2 f1 ,则该椭圆的离心率等于 2设 f1(c, 0), f2(c, 0)是椭圆 x2y1 (ab0)的两个焦点， p 是以 | f1f2| 为直径的圆与椭圆a 2b 2的一个交点，且pf1f2=5pf2f1，则该椭圆的离心率为1（ a）336（ b）22（c）22（ d）3x2y2122若椭圆221 的焦点在x 轴上， 过点（ 1，ab2）作圆 x+y =1的切线， 切点分别为a,b，直线 ab 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是22xy21. 已知椭圆22，左焦点为f，若椭圆上存在一点p，满足线a b 1(a b 0)的右焦点为f 12段 pf1 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段pf 1 的中点，则该椭圆的离心率为()5225a 3b 3c 2d 9x2y222. 已知a, p, q 为椭圆c : a2b21(ab0) 上三点，若直线pq 过原点，且直线ap,aq的斜率之积为12，则椭圆 c 的离心率等于 ()a. 22b. 12c. 4d. 14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例 1】当 m 为何值时， 直线 l : yxm与椭圆9 x216 y 2144相切、 相交、 相离？x2y2【典例2】已知椭圆1 ，直线l : 4 x5 y400 ，椭圆上是否存在一点，它到259直线 l 的距离最小？最小距离是多少？2反馈：（ 2012 福建）如图，椭圆e： xa 2y1(a2b 2b0 ) 的左右焦点分别为f 1、f2，离心率 e1，过 f 1 的直线交椭圆于a， b 两点，且 abf 2 的周长为8.2（1） 求椭圆e 的方程；（2） 设动直线l： ykxm 与椭圆 e 有且只有一个公共点p，且与直线x=4 交于 q，试探究：在坐标平面内，是否存在定点m，使得以 pq 为直径的圆恒过定点m，若存在，求出点 m 的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤：联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于x( 或 y) 的一元二次方程；当 0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当 0 时，直线与椭圆相离注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.2【典例 1】已知斜率为1 的直线 l 过椭圆 x4y 21 的右焦点，交椭圆于a,b 两点，求弦ab 的长及abf1 的周长、面积.x2y2【典例 2】已知椭圆21a2 b2 1(a b0)经过点 (0，3)，离心率为，左，右焦点分别为f1( c， 0)， f 2(c， 0)(1) 求椭圆的方程；1(2) 若直线 l：y 2x m 与椭圆交于a，b 两点，与以f1f 2 为直径的圆交于c，d 两点，且满足|ab | 53，求直|cd |4线 l 的方程【典例 3】已知一直线与椭圆4x 29 y236 相交于 a,b 两点，弦 ab 的中点坐标为m (1,1)，求直线 ab 的方程 .变式： 过点m (1,1)作斜率为122的直线与椭圆c ： xy1(ab0) 相交于a, b ，若2a 2b2m 是线段 ab 的中点，则椭圆c 的离心率为x2y22【典例4】（ 2015新课标文）已知椭圆c : a 2b21 ab0的 离心率为, 点22,2在 c 上.（i） 求 c 的方程；（ii） 直线 l 不经过原点o，且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点a， b，线段 ab 中点为m，证明：直线om 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.x2y23【典例 5】已知点a （ 0，-2），椭圆 e ：221(ab ab0) 的离心率为， f 是椭2圆的焦点，直线af 的斜率为233， o为坐标原点 .（）求 e 的方程；（）设过点a 的直线 l 与 e 相交于 p,q 两点，当opq 的面积最大时，求l 的方程 .【典例 6】已知椭圆 c 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 椭圆 c 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为1.(1) 求椭圆 c 的标准方程；(2) 若直线 l： ykxm 与椭圆 c 相交于 a，b 两点（ a，b 均不在左右顶点） ，且以 ab 为直径的圆过椭圆c 的右顶点 . 求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（ 1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合； 二是一条主线： “斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”. 利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（ 2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：若已知直线过y 轴上的定点p(0,b)，可将直线设为斜截式，即 纵截距式，即y=kx+b，但要讨论斜率是否存在；若已知直线过x 轴上的定点p(a,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x=my+a，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k 用1 替换.m（ 3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为a(x1，y1)、b(x2， y2)，则 |ab|（ 1 k2） （ x1 x2） 2 4x1x2（ 11k2） （y1 y2）24y1y2 (k 为直线斜率 )【本节练习】y21.(2014高考安徽卷 )设 f1，f 2 分别是椭圆e：x2b2 1(0 bb0) 的离心率为3 ，右焦点为 (22， 0)斜率为1 的直线l与椭圆 g 交于 a， b 两点，以 ab 为底边作等腰三角形，顶点为p( 3， 2) (1)求椭圆 g 的方程；(2)求 pab 的面积25. 已知椭圆c 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为 1(1) 求椭圆 c 的方程；(2) 设直线 l 经过点 m (0， 1)，且与椭圆c 交于 a，b 两点，若 am程2mb ，求直线l 的方x 25.已知椭圆2ay 221(abb0) 的离心率为3 ，右焦点到直线xy26 0 的距离为 23 .(1) 求椭圆的方程；（ 2）过点m (0,1) 作直线 l 交椭圆于 a，b 两点，交 x 轴于 n 点，满足 na7 nb ，5求直线 l 的方程.x26. 已知椭圆2a2y1(ab b 20) 的离心率为3 ，且长轴长为 12，过点 p(4,2) 的2直线 l 与椭圆交于 a,b 两点.(1) 求椭圆方程；（ 2）当直线 l 的斜率为段 ab的中点时，求直线l 的方程.1 时，求 ab 的值； (3) 当点 p 恰好为线227. 平面直角坐标系xoy 中, 过椭圆 m： xa 22y1(a b 2b0) 的右焦点 f 作直线xy30 交 m 于 a，b 两点， p 为 ab 的中点, 且 op 的斜率为 1 .2( ) 求 m 的方程;( ) c, d 为 m 上的两点 , 若四边形 acbd 的对角线 cdab, 求四边形 acbd面积的最大值 .x2y 28. 设 f1, f2 分别是椭圆e : a 2b 21(ab0) 的左、右焦点，过f1 斜率为 1 的直线 l 与e 相交于a, b 两点，且af2, ab ,bf2成等差数列 .（1） 求 e 的离心率；（2） 设点p (0,1) 满足 papb ，求 e 的方程 .x29. 设 f1 ， f2 分别是椭圆c：2ay21 （ ab0）的左，右焦点，m 是 c 上一点且mf 2b 2与 x 轴垂直，直线mf 1 与 c 的另一个交点为n.（i） 若直线mn 的斜率为3 ，求 c 的离心率；4（ii） 若直线mn 在 y 轴上的截距为2 且| mn |=5| f 1n| ，求 a， b.x2y210 如图，点f 1( c，0)，f 2(c， 0)分别是椭圆c：a2 b2 1(a b0) 的左，右焦点，过点f1 作 x 轴的垂线交椭圆c 的上半部分于点p，a2过点 f 2 作直线 pf2 的垂线交直线x c 于点 q(1) 如果点 q 的坐标是 (4， 4)，求此时椭圆c 的方程；(2) 证明：直线pq 与椭圆 c 只有一个交点11.已知椭圆c： x2 2y2 4 (1)求椭圆 c 的离心率；(2)设 o 为原点，若点a 在直线 y2 上，点 b 在椭圆 c 上，且 oa ob，（文）求线段ab 长度的最小值（理）试判断直线ab 与圆x 2y 22 的位置关系 .圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线 ,五种题型” ,所谓一条主线 :是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题” .一、最值问题【规律方法】：（1） 最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2） 两种常见方法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；代数法， 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离 常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法.（3） 圆锥曲线的综合问题要四重视：重视定义在解题中的作用；重视平面几何知识在解题中的作用；重视根与系数的关系 在解题中的作用；重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014 江西文科考题，范围中的题6、7.x 21. 已知椭圆c：2ay 21（ a0）的焦点在x 轴上，右顶点与上顶点分别为a、b.顶点在原点，分别以a、b 为焦点的抛物线c1、c2 交于点 p（不同于o 点），且以 bp 为直径的圆经过点 a.（）求椭圆c 的标准方程；（）若与op 垂直的动直线l 交椭圆 c 于 m、n 不同两点，求omn 面积的最大值和此时直线 l 的方程 .x 22. 已知椭圆c：2ay1(a2b 2b0) 的上顶点为（0， 1），且离心率为3 .2（）求椭圆c 的方程；2（ ） 证 明 ： 过 椭 圆xm2y1(m2n 2n0)上 一 点q(x0 ,y0 )的 切 线 方 程 为x0 x m 2y0 yn 21 ；（）从圆x2y 216 上一点 p 向椭圆 c 引两条切线，切点分别为a、b，当直线ab 分别与 x 轴、 y 轴交于 m、n 两点时，求mn 的最小值 .3.已知动点p 到定点 f（ 1，0）和到定直线x=2 的距离之比为2 ，设动点 p 的轨迹为曲线2e，过点 f 作垂直于x 轴的直线与曲线e 相交于 a， b 两点，直线l： ymxn 与曲线 e交于 c、d 两点，与线段（）求曲线e 的方程；ab 相交于一点（与a、b 不重合） .（）当直线l 与圆 x22y1 相切时，四边形acbd 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.4. 已知点 a（ 0，-2），椭圆 e ：x2y2a2b21(ab0) 的离心率为3 ， f 是椭圆的右焦2点，直线af 的斜率为233 ， o 为坐标原点 .（）求 e 的方程；（）设过点a 的动直线 l 与 e 相交于 p,q 两点，当opq 的面积最大时，求l 的方程 .5.平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c :x2y2a2b21(ab0) 的离心率为3，且点2(3, 1 ) 在椭圆 c 上，2（）求椭圆c 的方程；（） 设椭圆 e :x24ay 224b21 ， p 为椭圆 c 上任意一点， 过点 p 的直线 ykxm 交椭圆 e 于 a, b 两点，射线po 交椭圆 e 于点 q .（）求oqop的值；（）求abq 面积的最大值。二、定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、 图形的面积、 角的度数、 直线的斜率、某些代数表达式的值等）的大小与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值 .解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变化的量所影响的一个值即为定值.求定值的基本方法：1. 直接推理计算，通过消参得到定值：直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等， 根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量（如2015 高考文科）2. 从特殊入手，求出定值，再证明，即从特殊到一般法：从动点或动直线的特殊位置入手，计算出定值或定点，然后验证一般情形，即证明这个值与变量无关.【注】：无论哪种方法，其求解过程仍始终贯穿一条主线.22xy221. 已知椭圆c：ab1(ab0) 的离心率为22，点 (2,2) 在 c 上.（1） 求 c的方程；（2） 直线 l 不过原点 o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点a，b，线段 ab 的中点为 m.证明：直线om 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.2. 已知椭圆c： 9 x2y 2m2 (m0) ，直线 l 不过原点o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点 a， b，线段 ab 的中点为m.（）证明：直线om 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（）若 l 过点m , m 3，延长线段om 与 c 交于点 p，四边形 oapb 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.223. 已知动直线l 与椭圆 c ： xy1 交于px , y,qx, y两不同点，且opq 的面积 sopq326 ，其中 o 为坐标原点2222112212（）证明：x 2x 和 yy 均为定值；12（）设线段pq 的中点为 m ，求 ompq 的最大值；（） 椭圆 c 上是否存在三点d, e,g ，使得s odes odgs oeg62 ？若存在，判断deg 的形状；若不存在，请说明理由（安排此题的目的有两个：一是在处理 (1)时，所建立的等式s opq6中含有两个变量，2且这两个变量间再无直接关系，此时可通过观察等式的结构，通过换元， 再借助此等式，2探索原来两个变量间的关系，以达到消元的目的；二是在处理 （ 2）时，可通过观察om2和 pq的结构，通过变形，使之满足均值不等式求最值的三个条件）4. 如题（ 20）图，椭圆的中心为原点o ，离心率 e，一条准线的方程为x（）求该椭圆的标准方程；（） 设动点 p 满足： opom2on，其中m , n 是椭圆上的点， 直线 om 与 on的斜率之积为，问：是否存在两个定点f , f ，使得pfpf为定值？若存在， 求f , f 的坐标； 若不存在， 说明理由x24.已知椭圆e：2a2y1(ab b 20) 其焦点为f 1，f 2，离心率为2 ，直线 l ：x+2y-2=02与 x 轴， y 轴分别交于点a， b.（ 1）若点 a 是椭圆 e 的一个顶点，求椭圆的方程；（ 2）若线段ab 上存在点p 满足pf1pf22a ，求 a 的取值范围 .x 25. 已知椭圆：2ay1(a2b 2b0) 的长轴长为4，且过点 (3, 1 ) .2（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设 a，b， m 是椭圆上的三点.若 om3 oa54 ob ，点 n 为线段ab 的中点，5c(62,0) ， d(6 ,0)2，求证：ncnd22 .（2014 江西文）如图，已知抛物线c : x24 y ，过点m (0,2) 任作一直线与c 相交于a, b两点，过点b作 y 轴的平行线与直线ao 相交于点 d （ o 为坐标原点） .（1） 证明：动点d 在定直线上；22（2） 作 c 的任意一条切线l （不含 x 轴）与直线y2 相交于点n1 ，与（ 1）中的定直线相交于点n2 ，证明：| mn 2| mn1 |为定值，并求此定值.三、定点问题（同定值问题）1. 已知椭圆 c 的中心在为坐标原点，焦点在 x 轴上， 椭圆 c 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为1.（）求椭圆c 的标准方程；（）若直线l： ykxm 与椭圆 c 相交于 a， b 两点（ a，b 均不在左、右顶点） ，且以ab 为直径的圆过椭圆c 的右顶点 .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.2.（2013 陕西）已知动圆过定点a(4,0), 且在 y 轴上截得的弦mn 的长为 8. () 求动圆圆心的轨迹c 的方程 ;() 已知点 b(1,0), 设不垂直于x 轴的直线 l 与轨迹 c 交于不同的两点p, q, 若 x 轴是pbq 的角平分线 , 证明直线 l 过定点 .2. （ 2014 课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线x2c : y与直线4l : ykxa(a0) 交与m , n 两点，（）当 k0 时，分别求c 在点 m 和 n 处的切线方程；（） y 轴上是否存在点p，使得当 k 变动时，总有opm= opn？说明理由 .3. 设动直线l 与抛物线e： x24 y 相切于点p，与直线y1 相交于点q，证明：以pq为直径的圆恒过y 轴上某定点 .x2y2x0 xy0 y4. 已知结论：若点p( x0, y0) 为椭圆1 上一点，则直线l :1 与椭圆相a 2b 2a 2b 2x 2y 295切，现过椭圆c:1上一点 p 作椭圆的切线交直线x于点 a，试判断以线945段 ap 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.x25. 已知椭圆2a2y1的两个焦点为b 2f1 (c,0 ), f2 (c,0) ，其中 a,b,c 都是正数， 长轴长为4，原点到过点a(0,- b)和 b(a,0)两点的直线的距离为(1) 求椭圆的方程；221.7(2) 若点 m,n 是定直线x=4 上的两个动点， 点，并求定点坐标.f1mf2 n0 ，证明： 以 mn 为直径的圆过定x25.(2015 广东汕头二模)如图， 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆 c：2ay 221(abb0) 的离心率为2 ，左顶点a 与上顶点 b 的距离为6 .2（1） 求椭圆c 的标准方程；（2） 过原点o 的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆c 交于 p， q 两点，直线pa、qa 分别与 y 轴交于 m 、n 两点，问：以mn 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.x2y226. 如图，椭圆e:221(ab ab0) 的离心率是，过点 p(0， 1)的动直线 l 与椭圆2交于 a、b 两点当直线l 平行于 x 轴时，直线l 被椭圆 e 截的线段长为22（）求椭圆e 的方程（）在平面直角坐标系中是否存在与点p 不同的定点q,使得qapaqbpb恒成立，若存在，求出 q 点的坐标，若不存在，说明理由.x 27. 已知椭圆c:2a2y1(a b 2b1) 的离心率e2 ，右焦点到直线22axby202的距离为.3（）求椭圆c 的方程；（）已知直线xym0 与椭圆 c 交于不同的两点m、n，且线段mn 的中点不在圆x2y 21 内，求实数m 的取值范围；（）过点p(0,1) 的直线 l 交椭圆 c 于 a、b 两点，是否存在点q，使得以 ab 为直径的3圆恒过这个定点？若存在，求出点q 的坐标；若不存在，请说明理由.8. 已知圆f1 : ( x1) 2y 2r 2 与圆f2 : ( x1) 2y2( 4r ) 2 (0r0)的t3直线交 e 于 a,m 两点，点n 在 e 上， ma na .（ i）当 t=4， aman 时，求 amn 的面积；（ ii）当2 aman 时，求 k 的取值范围 .1. 若过点a(4,0)2的直线 l 与曲线 (x2)y1 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为2（）33a 3,3b (3,3)c ,3333d (,) 332. 已知 p 为抛物线y1 x 22上的动点，点p 在 x 轴上的射影为m，点 a 的坐标是(6,17 ) ，2则 papm 的最小值是（）1921a. 8b.2x2y2c. 10d.233. 椭圆 c：221 （a b 0）的左、右焦点分别是f1、f 2,离心率为ab，过 f 1 且垂2直于 x 轴的直线被椭圆c 截得的线段长为l .（）求椭圆c 的方程；（）点 p 是椭圆 c 上除长轴端点外的任一点，连接pf 1、pf 2,设 f1pf2 的角平分线pm 交 c 的长轴于点m（ m， 0），求 m 的取值范围；（）在（）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线 l，使得 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点， 设直线 pf 1,pf2 的斜率分别为k1，k2，若 k 0，试证明11为定值，并求出这个定值 .x23. 已知椭圆2y21上两个不同的点a,b 关于直线 y=mx+ 12kk1对称kk2（1） 求实数m 的取值范围；（2） 求 aob 面积的最大值（o 为坐标原点） x24. 已知椭圆2y 21 的左焦点为f，o 为坐标原点 .设过点 f 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 a， b 两点，线段ab 的的垂直平分线与x 轴交于点g，求点 g 横坐标的取值范围.5. 在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c 的中心在原点o，焦点在 x 轴上，短轴长为2，离心率为2 .2(i )求椭圆 c 的方程；6(ii )a,b 为椭圆