二次函数与相似三角形综合题20160203.doc

二次函数与相似三角形例1 如图1，已知抛物线的顶点为A，且经过原，与x轴交于点O、B。（1）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。例1题图图1图2分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。解:图1如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D点的横坐标为6 将x6代入,得y3,D(6,3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(2,3), 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)如图2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO.若BOP与AOB相似,必须有POBBOABPO 图2设OP交抛物线的对称轴于A点,显然A(2,1)直线OP的解析式为 由,得.P(6,3)过P作PEx轴,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO与BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得BOP与AOB相似. 例2 （2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=x2+x+4交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（2）在（1）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax22ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于PFC和AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论：PFCAEM，CFPAEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM的形状解答：解：（1）抛物线y=ax22ax+c（a0）经过点A（3，0），点C（0，4），解得，抛物线的解析式为y=x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，A（3，0），点C（0，4），解得，直线AC的解析式为y=x+4点M的横坐标为m，点M在AC上，M点的坐标为（m， m+4），点P的横坐标为m，点P在抛物线y=x2+x+4上，点P的坐标为（m， m2+m+4），PM=PEME=（m2+m+4）（m+4）=m2+m，即PM=m2+m（0m3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似理由如下：由题意，可得AE=3m，EM=m+4，CF=m，PF=m2+m+44=m2+m若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似，分两种情况：若PFCAEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2+m）：（3m）=m：（ m+4），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AME，AME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90，PCM为直角三角形；若CFPAEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（m2+m）：（m+4），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AME，AME=CMF，CPF=CMFCP=CM，PCM为等腰三角形综上所述，存在这样的点P使PFC与AEM相似此时m的值为或1，PCM为直角三角形或等腰三角形点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解练习1、已知抛物线经过及原点（1）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（2）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？（1）存在设点的坐标为，则，要使，则有，即解之得，当时，即为点，所以得要使，则有，即解之得，当时，即为点，当时，所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为（2）在中，因为所以当点的坐标为时，所以因此，都是直角三角形又在中，因为所以即有所以，又因为，所以2.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点yxBEAOCD（1）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；yCxBA练习3图（2）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围（1）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为要使或，已有，则只需，或成立若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（2）设过点的直线与该二次函数的图象交于点将点的坐标代入中，求得此直线的函数表达式为设点的坐标为，并代入，得解得（不合题意，舍去）xBEAOCP点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角O3.如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，过点A作APCB交抛物线于点P 在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由图1CPByA解： 假设存在A B C PAB=BAC = PAACMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则GM图2CByPA() 当AMG PCA时，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去） GM图3CByPAM 点M在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，4.（2013曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线y=x23x+4点D为线段AB上一动点，过点D作CDx轴于点C，交抛物线于点E（1）当DE=4时，求四边形CAEB的面积（2）连接BE，是否存在点D，使得DBE和DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO，可以简化计算；（3）由于ACD为等腰直角三角形，而DBE和DAC相似，则DBE必为等腰直角三角形分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=4，A（4，0），B（0，4）点A（4，0），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，解得：b=3，c=4，抛物线的解析式为：y=x23x+4（2）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，AC=4+mOA=OB=4，BAC=45，ACD为等腰直角三角形，CD=AC=4+m，CE=CD+DE=4+m+4=8+m，点E坐标为（m，8+m）点E在抛物线y=x23x+4上，8+m=m23m+4，解得m=2C（2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO=26+（6+4）224=12（3）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，CD=AC=4+m，BD=OC=m，则D（m，4+m）ACD为等腰直角三角形，DBE和DAC相似DBE必为等腰直角三角形i）若BED=90，则BE=DE，BE=OC=m，DE=BE=m，CE=4+mm=4，E（m，4）点E在抛物线y=x23x+4上，4=m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=3，D（3，1）；ii）若EBD=90，则BE=BD=m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=2m，CE=4+m2m=4m，E（m，4m）点E在抛物线y=x23x+4上，4m=m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=2，D（2，2）综上所述，存在点D，使得DBE和DAC相似，点D的坐标为（3，1）或（2，2）点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点5.（2013绍兴压轴题）抛物线y=（x3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点（1）求点B及点D的坐标（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E若线段BD上一点P，使DCP=BDE，求点P的坐标若抛物线上一点M，作MNCD，交直线CD于点N，使CMN=BDE，求点M的坐标考点：二次函数综合题3718684分析：（1）解方程（x3）（x+1）=0，求出x=3或1，根据抛物线y=（x3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x22x3=（x1）24，即可确定顶点D的坐标；（2）根据抛物线y=（x3）（x+1），得到点C、点E的坐标连接BC，过点C作CHDE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明BCD为直角三角形分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R根据两角对应相等的两三角形相似证明BCDQOC，则=，得出Q的坐标（9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=x3，直线BD的解析式为y=2x6，解方程组，即可求出点P的坐标；分两种情况进行讨论：（）当点M在对称轴右侧时若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点G，先证明MCNDBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN设CN=a，再证明CNF，MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（）当点M在对称轴左侧时由于BDE45，得到CMN45，根据直角三角形两锐角互余得出MCN45，而抛物线左侧任意一点K，都有KCN45，所以点M不存在解答：解：（1）抛物线y=（x3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），当y=0时，（x3）（x+1）=0，解得x=3或1，点B的坐标为（3，0）y=（x3）（x+1）=x22x3=（x1）24，顶点D的坐标为（1，4）；（2）如右图抛物线y=（x3）（x+1）=x22x3与与y轴交于点C，C点坐标为（0，3）对称轴为直线x=1，点E的坐标为（1，0）连接BC，过点C作CHDE于H，则H点坐标为（1，3），CH=DH=1，CDH=BCO=BCH=45，CD=，CB=3，BCD为直角三角形分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，RBDE=DCP=QCR，CDB=CDE+BDE=45+DCP，QCO=RCO+QCR=45+DCP，CDB=QCO，BCDQOC，=，OQ=3OC=9，即Q（9，0）直线CQ的解析式为y=x3，直线BD的解析式为y=2x6由方程组，解得点P的坐标为（，）；（）当点M在对称轴右侧时若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点GCMN=BDE，CNM=BED=90，MCNDBE，=，MN=2CN设CN=a，则MN=2aCDE=DCF=45，CNF，MGF均为等腰直角三角形，NF=CN=a，CF=a，MF=MN+NF=3a，MG=FG=a，CG=FGFC=a，M（a，3+a）代入抛物线y=（x3）（x+1），解得a=，M（，）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点GCMN=BDE，CNM=BED=90，MCNDBE，=，MN=2CN设CN=a，则MN=2aCDE=45，CNF，MGF均为等腰直角三角形，NF=CN=a，CF=a，MF=MNNF=a，MG=FG=a，CG=FG+FC=a，M（a，3+a）代入抛物线y=（x3）（x+1），解得a=5，M（5，12）；（）当点M在对称轴左侧时CMN=BDE45，MCN45，而抛物线左侧任意一点K，都有KCN45，点M不存在综上可知，点M坐标为（，）或（5，12）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度（2）中第问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键6.（2013恩施州压轴题）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线y=x24x+3过点B、C和D（3，0）（1）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标（2）在抛物线上是否存在点P，使SPBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；（2）首先确定MCD为等腰直角三角形，因为BND与MCD相似，所以BND也是等腰直角三角形如答图1所示，符合条件的点N有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出PBD面积的表达式，然后根据SPBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解解答：（1）抛物线的解析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）直线BD：y=x+3与抛物线的对称轴交于点M，