2009年上海中考数学试卷分析2.doc

中小学1对1课外辅导专家以几何图形为背景的压轴题 闵行中心 马德岩 近年中考试题或模拟考题能反映命题风格、命题热点、命题形式（特别是新题型）的新动向、新导向，以近年中考题为基本素材，有利于考生适应中考情境，提高中考复习的针对性。中考题型的创新形式主要有：情景题、应用题、开放题、操作题、探索题等，体现出“经历、体验、探索”的过程性目标。此类题目是学生得分的薄弱环节，主要涉及到的题目为：图形翻折、平移、旋转的运动变化、函数思想的形成、方程思想的建立等等。应对此类问题学生应该要用数学的眼光观察世界，用数学知识、数学思想方法去分析问题、解决问题。这类试题往往情景较为新颖，问题也较为灵活，每年的分值在25分左右。下面以2009年上海中考最后一题为点来分析这类问题解决的方法。已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；（2）在图8中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在重点考查最基本、通用的数学规律和数学技能的同时，这道试题突出考查学生对数学思想方法的领悟。解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，PBC=PDA，因为A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,（2）如图：根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD则QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，（t0）由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)2+(2-x)2=(3t)2直角三角形QBC中：32+x2=(5t)2整理得：(8x-7)(8x-43)=0得 x1=7/8 x2=(43/8)2(舍去) 所以函数:Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为0，7/8(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ垂直于PC，与AB交于Q点，则：Q，B， P，C四点共圆，由圆周角定理推知，三角形P QC相似于三角形ABD，根据相似三角形的性质得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q与点Q重合，所以角QPC=90。近三年以来，上海中考对数学这个科目的考察越来越重视加强对探究能力、获取信息和处理信息能力、空间观念操作能力和综合运用数学知识解决问题能力的考查力度，加强对学生数学思维过程和思维方法的考查；如有关图形运动变换试题，重点对空间观念和动态图形处理能力的考查，从对静态图形的想象、简单动态图形的想象、复杂动态图形的想象等几个不同层次对考生能力作恰当要求。而这样的题目对考生来说乍一看来是无从下手的，即使有的考生有能力完成，但限于时间上的要求往往不能全面的分析这类问题。想要有条理的分析解决这类问题应该注重以下技能的培养深刻理解基础知识，熟练掌握解题基本方法，努力形成解题基本技能。合理安排考试时间，书写做到数学语言是通用、精确、简约的科学语言。平时进行速度训练。以此来加快书写速度，降低思维难度，提高解题质量。而对于即将步入初三的学生来说，如何学会有效的学习，把学习效率发挥到及至，以下是几点建议：中考试题或模拟考题经过考生的实践检验和广大教师的深入研讨，科学性强（漏洞也清楚），解题思路明朗，解题书写规范，评分标准清晰，是优质的训练素材。中考试题或模拟考题都努力抓课程的重点内容和重要方法，并且每套中考试题或模拟考题能覆盖全部知识点的60%80%，几套试题一交叉，既保证了全面覆盖，又体现了重点突出。以下是今年来涉及到得以几何图形为背景的压轴题目1、正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，BAE的平分线交射线BC于点O（1）如图8，当CE= 时，求线段BG的长；（2）当点O在线段BC上时，设 ，BO=y，求y关于x的函数解析式；（3）当CE=2ED时，求线段BO的长（2008年中考真题25题） 2、如图，在RtABC中，C90，AC12，BC16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ设运动时间为t（秒）（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，请简要说明理由 APCQBD 3、如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CD-DA-AB于点E点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由、 2009年上海市中考压轴题解题方法之我见黄浦中心 朱合强今年中考试卷压轴题综合考察了平面几何和函数相结合等有关知识，对于本题的考察上海市延续了几年，故对此题我们有研究的必要性！【原题再现】25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；（2）在图8中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ 分析：这道压轴试题遵循了以往的考试风格，是结合一个动点问题加上相似的综合考查，出题目模型也很是简单，重点考查学生的分析能力，画图能力，动点问题的试题只要学生能画出题目所有需要的最终图像那问题也便游刃而解。从现在09年的几个区的二模压轴试题中也可以看到一些这类试题的影子。例如09年的杨浦区的二区最后一题25（本题14分）（第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，梯形ABCD中，AD/BC，CDBC，已知AB=5，BC=6，cosB=点O为BC边上的动点，联结OD，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，联结MN（1） 当BO=AD时，求BP的长；（2） 点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；（3） 在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作C，请直接写出当C存在时，O与C的位置关系，以及相应的C半径CN的取值范围。ABCDOPMNABCD（备用图）今年的中考试题的解答如下：解：分析.因为有Q点与B点重合,重点抓住题目的这一重要条件: PQ/PC=AD/AB便知PQC为等腰直角三角形,故易求的PC=3 /2（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，PBC=PDA，因为A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,（2）分析.第二小题重点靠抓住作出两个三解形的高,设而不求,在结果中可以消去,从而达到求解的目的.如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2), 或者是y=（2-x）/4定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)2+(2-x)2=(3t)2直角三角形QBC中：32+x2=(5t)2整理得：64x2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)2(舍去) 所以函数:Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为0，7/8注意：在运动过程中应该保持PQ垂直PC(3)分析.第三问可以直观的观察到=90度.再想法利用比例关系不难证的.因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ垂直于PC，与AB交于Q点，则：B，Q，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q与点Q重合，所以角QPC=90。 ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ解法二：作PM垂直AB，PN垂直BC先证明PM/MB=AD/AB于是PM/MB=PQ/PC再证MB=PN于是PM/PN=PQ/PC由直角三角形相似的判定可得PMQ相似于PNC得角MPQ=角NPC于是可得角QPC=90度. 上海市中考题中的平移和旋转闵行中心 周华平移和旋转的题目是近几年的中考的热点，大多是围绕平移和旋转的规律设计，若单独考则以填空题和选择题的形式出现，综合考查多以设计题为主上海中考试题中每年均有两道关于平移和旋转的题出现在填空题中.图3图4例1（07上海3分）如图3，在直角坐标平面内，线段垂直于轴，垂足为，且，如果将线段沿轴翻折，点落在点处，那么点的横坐标是 分析：因为AB垂直于y轴，所以翻折之后CB依然垂直于y轴，且C点在第二象限。由AB=2可得CB=2,所以C的横坐标是-2.例2（07上海3分）图4是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图4中黑色部分是一个中心对称图形 分析：此题关键是找对称中心，可以根据局部图形也满足中心对称的性质找对称中心，即在正方形的中心，于是所要找的方格位于第二列第四行。例3（08上海4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）； （B）； （C）； （D）分析：主要是灵活运用轴对称和旋转例4（08上海4分）如图1，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析式OPx12y图1为 分析：这是一道函数平移题，此类型的题无论是现在还是以后阶段学习都是常考的。直线OP的解析式很容易得到：y=2x.根据上加下减规律，可得直线平移后的解析式为y=2x-3.例5（09上海4分 ）将抛物线向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 分析：此题是继08年之后的又一函数平移题/，函数类型变为抛物线，同理可得平移后的解析式为：+1.A图2BMC例6（09上海4分）在中，为边上的点，联结（如图2 所示）如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点M到的距离是 分析： 此类题突出了“观察、操作、试验、探究”方面的考 查，体现了动态题中“变”中求“不变”的辩证思想。做此类 题是学生能力的比拼。 设点B翻折后落在AC上为B1.则ABMAB1M.因为B1是边AC的中点，所以AB1=B1C，且AC=6. AB1M和CB1M的边AB1和B1C上的高相等，所以AB1M和CB1M的面积相等。由上可得AB1M的面积等于面积的三分之一，由这个关系式可得点M到AC的距离是2.FCBA图3DE例7（08年上海4分）如图3，矩形纸片ABCD，BC=2，ABD=30将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为 分析：在翻折过程中ABDBDEBCD,所以ABD=BDC=DBE,可得DF=BF.在ABD中，tanABD= tanDBE= tan30，再由BD的长度即可求出距离。以上两题均利用图形翻折的不变性，探索图形在翻折过程中的有关规律，让学生体验图形变换的性质。中考中出现的平移和翻折类型的题主要是对基础知识和基本技能的考查，所以平时要培养学生观察、分析、判断能力和探究创新能力，培养学生严谨的思维习惯和缜密的学习态度。2009年上海市中考数学试卷分析虹口中心 杨辉一、 总体概况 2009年上海市中考数学总分150分，考试时间为100分钟。试卷结构上，题型分布与去年（08年）一致，其中有选择题(4*6=24);填空题(4*12=48);解答题(10+10+10+10+12+12+14)。总体难度亦与去年（08年）差别不大（易、中、难题的分值比还是约为811）。考试内容上，代数和几何的分值比依然保持在约6：4的水平上。具体各较重点章节的内容在分值上的分布如下：2006年2007年2008年2009年方程22分28分34分36分函数34分37分29分30分统计10分10分14分14分锐角三角比7分10分11分10分其他代数二次根式3分7分10分8分因式分解0分4分4分0分不等式3分12分4分4分几何（总）68分64分60分64分二、 主要考点分析1、 方程往年情况：（1）解方程（组）：主要是解分式方程、无理方程及二元二次方程组（2）换元（化为整式方程）（3）一元二次方程根与系数关系的应用：主要是求方程中的系数。（二期课改选学内容）（4）列方程解应用题。09年的具体情况：（1）解方程：根式方程（第8题）和一元二次方程根的判断（第9题）、二元二次方程组（第19题）（2）换元法（第3题）（3）一元二次方程的应用（第14题）2、函数往年状况：（1）求函数值（2）二次函数与一元二次方程结合求系数的值（3）函数与几何结合求值或证明（4）求函数解析式及定义域09年的具体情况：（1）求函数值（第10题）（2）函数图像问题（第4、11、12题）（3）求一次函数及反比例的比例系数或表达式（第24（1）题）（4）综合题中求面积类的函数解析式及定义域。（第25（2）题）3、几何证明及计算往年状况：（1）特殊三角形的边、角计算（2）特殊三角形的边、角计算（3）特殊三角形、特殊四边形的性质应用（4）中位线（5）全等三角形、相似三角形的判定和性质应用（6）正多边形的对称性问题（7）圆的垂径定理，圆的切线判定及性质（8）图形运动问题（平移、旋转、翻折）（9）几何图形与锐角三角比结合证明或计算（10）几何图形与函数结合证明或计算09年的状况：（1）对称问题。（第5题）（2）平行线的性质定理（第6题）（3）特殊三角形、特殊四边形的性质应用（第16题）（4）梯形中位线（第21（2）题）（5）翻折问题，几何概念的应用（第18题）（6）全等三角形的证明和判定（第23题）（7）等腰三角形的应用（第24（2）题）（8）两圆位置关系（第24（3）题）（9）相似三角形的性质定理的考察（第25（3）题）4、统计往年状况：（1）求平均数（2）求中位数（3）求数据总数（4）求频率（5）与方程结合（6）根据图像回答有关问题（7）用统计学知识判断某些统计方法的合理性09年的具体情况：（1）求众数（2）根据图像回答有关问题三、 出现得比较多的考点上海市中考数学分值由120分改制为150分之后，出现频率较高的知识点如下：1、 圆与正多边形知识的考查2006年在第11题、第21题、第25题。2007年在第10题、第25（3）题。2008年在第6题、第18题、第25（2）题。2009年在第5题、第24题（2）（3）题2、 统计方面的知识点每年至少有一道大题是关于统计方面。而且都与图表相联系。3、 一元二次方程根与系数关系、根的判别式由于一元二次方程和二次函数有较大的关系，因此，这方面的内容有较多的考查点及考查形式，但是新教材中由于一元二次方程根与系数关系出现在拓展2中，已经不在属于或不会进入考试范围。4、 几何图形运动往年多出现在综合题中，但在以后几年中除综合题外在其它题型也出现了。预测此类考点可能有增多的趋势。5、 几何和代数结合单纯的考查几何证明题比较少，很多都是与代数的内容相结合，特别是和函数的内容结合起来，综合考查数形结合、分类讨论及方程思想。压轴题多采用该形式。四、 2009年真题选讲 例1、抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD答案：B讲解：本题主要涉及二次函数顶点式的理解，学生在理解基本概念的基础上一般不会犯错。但只要概念模糊，很容易犯错。如很多学生会选择A作为答案。例2、如图2，在中，是边上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么= 图2ACDB答案：+0.5讲解：本题从内容上属于向量的运算，该内容是二期课改的新增内容。考题的难度不大，但同样要求学生熟悉并掌握向量加减运算的基本法则。试题再现：计算的结果是（ ）（2008年上海中考题）ABCD答案：B例3、某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是，那么该商品现在的价格是 元（结果用含的代数式表示）答案：100（1-m）2讲解：该题为应用题，它与增长率问题和统计结合，虽然难度不打，但是是一道强调问题解决的好题。很好地体现了上海中考数学的命题风格和方向：注重学生分析问题、解决问题的能力的培养。例4、在四边形中，对角线与互相平分，交点为在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 答案：四边形ABCD有一个内角是直角 或者对角线AC与BD相等 等等讲解：该题主要考察了初中平面几何中平行四边形和矩形的判定定理以及其运用。该题属于较开放的题型，答案不只一个。近年的中考比较流行此类题型，它在考察学生对书本上相关定理的理解的同时，要求学生能根据实际情况进行相应的判断，可以看出学生的分析问题、解决问题的能力。试题再现：如图2，为平行四边形的边延长线上一点，连结，交边于点在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： 图2（2007年上海中考题）答案：三角形ABE和三角形FCE 或者三角形ADF和三角形ECF 或者三角形ADF和三角形EBA 等等例5、已知线段与相交于点，联结， 为的中点，为 的中点，联结（如图6所示）（1）添加条件，求证：（2）分别将“”记为，“”记为，“”记为，添加条件、，以为结论构成命题1，添加条件、，以为结论构成命题2命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）图6ODCABEF答案：（1）证明略 （2）真；假讲解：该题考察了全等三角形的证明以及全等三角形判定定理的灵活应用。第一小题属于常规题型，一般学生不失误的话不会丢分，但第二小题属于今年的新题型，以往的中考没有出现过类似题目。但只要理解一般全等三角形的三个判定定理（S.A.S; A.S.A; A.A.S），该题也就不会成为大问题。该题非常鲜明地体现了上海中考数学题的出题特点：紧抓基本概念，灵活运用，主要以考察学生学习能力为主