必修5解三角形和数列测试题及答案

.必修五解三角形和数列综合练习解三角形一、选择题1. 在 abc 中，三个内角a， b， c 的对边分别是a， b， c，若 b2 c2 a2 bc，则角 a 等于 ();.(a)6(b)32(c)35(d)62. 在 abc 中，给出下列关系式： sin( a b) sinccos(a b) cosc 其中正确的个数是()sin ab 2cos c2(a)0(b)1(c)2(d)33. 在 abc 中，三个内角a， b， c 的对边分别是a， b， c. 若 a 3， sina2 ， sin( a c)33 ，则 b 等于()4(a) 4(b)8(c)6(d) 27384. 在 abc 中，三个内角a，b，c 的对边分别是a，b，c，若 a 3，b4， sinc (a)8(b)6(c)4(d)32 ，则此三角形的面积是()35. 在 abc 中，三个内角a，b， c 的对边分别是a， b， c，若(a b c)(b c a) 3bc，且 sin a 2sinbcosc，则此三角形的形状是()(a) 直角三角形(b) 正三角形(c) 腰和底边不等的等腰三角形(d) 等腰直角三角形二、填空题6. 在 abc 中，三个内角a， b， c 的对边分别是a， b， c，若 a2 ， b 2，b 45，则角a .7. 在 abc 中，三个内角a， b， c 的对边分别是a， b， c，若 a 2， b 3， c19 ，则角 c .38. 在 abc 中，三个内角 a，b，c 的对边分别是a，b，c，若 b 3，c 4，cosa9已知 abc 的顶点 a(1， 0)， b(0 ，2)， c(4， 4)，则 cosa .，则此三角形的面积为 .510. 已知 abc 的三个内角a，b，c 满足 2ba c，且 ab 1，bc 4，那么边 bc 上的中线ad 的长为 . 三、解答题11. 在 abc 中， a， b，c 分别是角a， b， c 的对边，且a 3， b 4， c 60 . (1)求 c；(2)求 sin b.12设向量 a， b 满足 a b 3，|a| 3， |b| 2. (1)求 a， b；(2)求|a b|.13设 oab 的顶点为o(0，0) ，a(5， 2)和 b( 9， 8)，若 bd oa 于 d. (1)求高线 bd 的长；(2)求 oab 的面积 .14. 在 abc 中，若 sin2asin2b sin2c，求证： c 为锐角 .(提示：利用正弦定理a sin ab sin bc sin c2r ，其中 r 为 abc 外接圆半径 )15. 如图，两条直路ox 与 oy 相交于 o 点，且两条路所在直线夹角为60，甲、乙两人分别在ox、oy 上的 a、b 两点， | oa | 3km ， | ob | 1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿xo 方向，乙沿oy 方向 .问： (1)经过 t 小时后，两人距离是多少(表示为 t 的函数 )？ (2)何时两人距离最近？16. 在 abc 中， a，b， c 分别是角a，b， c 的对边，且(1) 求角 b 的值；(2) 若 b13 ， a c 4，求 abc 的面积 .cos b cos cb.2ac数列一、选择题1在等差数列 an 中，已知a1 a2 4， a3 a4 12，那么 a5 a6 等于() (a)16(b)20(c)24(d)362. 在 50 和 350 间所有末位数是1 的整数和 ()(a)5880(b)5539(c)5208(d)48773. 若 a， b， c 成等比数列，则函数y ax2bx c 的图象与x 轴的交点个数为() (a)0(b)1(c)2(d) 不能确定4. 在等差数列 an 中，如果前5 项的和为s5 20，那么 a3 等于 ()(a) 2(b)2(c) 4(d)45若 an 是等差数列， 首项 a1 0，a2007 a2008 0，a2007a20080，则使前 n 项和 sn 0 成立的最大自然数n 是() (a)4012(b)4013(c)4014(d)4015二、填空题6已知等比数列 an 中， a33， a10 384，则该数列的通项an .7等差数列 an 中， a1 a2 a3 24， a18 a19 a20 78，则此数列前20 项和 s20 .8. 数列 an 的前 n 项和记为sn，若 sn n2 3n 1，则 an .9. 等差数列 an 中，公差 d 0，且 a1， a3， a9 成等比数列，则a3a6a4a7a9 a10 .n110. 设数列 an 是首项为 1 的正数数列，且(n1) a 2 na 2 an 1an 0(n n*) ，则它的通项公式an .n三、解答题11. 设等差数列 an 的前 n 项和为 sn，且 a3a7a108， a11 a4 4，求 s13.12. 已知数列 an 中， a1 1，点 (an， an 1 1)( nn *)在函数 f(x)2x 1 的图象上 . (1)求数列 an 的通项公式；(2) 求数列 an 的前 n 项和 sn；(3) 设 cn sn，求数列 cn 的前 n 项和 tn.13. 已知数列 an 的前 n 项和 sn 满足条件 sn 3an2. (1)求证：数列 an 成等比数列；(2)求通项公式an.14. 某渔业公司今年初用98 万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12 万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4 万元，该船每年捕捞的总收入为50 万元 .(1) 写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2) 该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3) 若当盈利总额达到最大值时，渔船以8 万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？15. 已知函数f(x)(1) 求 an；1x24(x 2)，数列 an 满足 a1 1，anf(1an 1*)( nn ).n1(2) 设 bn a 2 a 2 a 2，是否存在最小正整数m，使对任意n n *有 bnm 成立？若存在，求出m25n2 n21的值，若不存在，请说明理由.*16. 已知 f 是直角坐标系平面 xoy 到自身的一个映射，点 p 在映射 f 下的象为点 q，记作 q f( p) .设 p1(x1，y1 )，p2 f(p1)，p3 f( p2 )， ， pn f(pn1 )， . 如果存在一个圆，使所有的点 pn( xn， yn)(n n ) 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 pn(xn， yn)的一个收敛圆 . 特别地，当 p1 f(p1)时，则称点 p1 为映射 f 下的不动点 .若点 p(x， y)在映射 f 下的象为点q(x 1，(1) 求映射 f 下不动点的坐标；1y).2(2) 若 p1 的坐标为 (2， 2)，求证：点pn(xn ，yn)(n n*) 存在一个半径为2 的收敛圆 .解三角形1 b2 c3 d4 c5 b提示：5化简 (a bc)( bc a) 3bc，得 b2 c2 a2 bc，222由余弦定理，得cosa bca1 ，所以 a 60 .2bc2因为 sina2sin bcosc，a b c 180， 所以 sin(b c) 2sinbcosc，即 sinbcosc cosbsinc2sinbcosc.所以 sin(b c) 0，故 b c.故 abc 是正三角形 .二、填空题6 307 1208三、解答题24955103511 (1)由余弦定理，得c13 ；(2)由正弦定理，得sinb239 .1312 (1)由 a b |a | |b| cosa， b，得 a， b 60； (2)由向量减法几何意义，知|a|， |b|， |a b|可以组成三角形，所以 |a b|2 |a|2 |b|2 2|a| |b| cosa， b 7， 故|a b|7 .13. (1) 如右图，由两点间距离公式，得 oa(50) 2(20) 229 ，同理得 ob145 , ab232 .由余弦定理，得oa 2ab 2ob 22cos a2 oa ab2 ,所以 a 45.故 bdab sina 229 .(2)s oab1 oa bd21 29 229 29.214. 由正弦定理asin absin bcsin c2 r ，得asin 2 ra,b 2 rsin b,c2rsin c .因为 sin2a sin2b sin2c，所以 (a ) 22r( b ) 22r( c ) 2 ，22r即 a2 b2 c2.a 2所以 coscb 22abc0，由 c (0， )，得角 c 为锐角 .15. (1)设 t 小时后甲、乙分别到达p、q 点，如图，则|ap| 4t， |bq| 4t，因为 |oa |3，所以 th 时， p 与 o 重合.4故当 t 0 ，时，4|pq|2 (3 4t)2 (1 4t )2 2 (34t) (1 4t) cos60；当 th 时， |pq|2 (4t 3)2 (1 4t)2 2 (4t 3) (1 4t) cos120.4故得 |pq|48t 224t7 (t 0).241(2)当 th 时，两人距离最近，最近距离为2km .216. (1) 由正弦定理484a sin ab sin bc sin c2 r ，得 a2rsina， b 2rsinb，c 2rsinc.所以等式cos bb可化为cos b2 rsin b，即 cos bcos c2acsin b，cosc2 2r sin a2r sin ccosc2 sin asin c2sinacosb sinccosb cosc sinb，故 2sinacosb coscsinb sinccosb sin(b c) ， 因为 a b c ，所以 sin a sin( b c)，故 cosb 1 ，2所以 b 120 .(2)由余弦定理，得b2 13 a2 c2 2accos120， 即 a2 c2 ac 13又 ac 4，a解得c1a33 ，或c1 .所以 s abc1acsinb21 1 323 33 .24数列一、选择题1 b2 a3 a4 d5 c二、填空题n36 3 27 1808 an 1,(n1)692n4, (n2)710 an1*(n n )n2提示：210由 (n 1)a n1 na n an 1an 0，得 ( n 1)an1 nan( an 1 an) 0，因为 an0，所以 (n 1)an 1 nan 0，即an 1nann1 ，所以 ana2a3a1a2an12an 123n11 .nn三、解答题11 s13 156.12 (1) 点(an， an 1 1)在函数 f(x)2x 1 的图象上， an 1 1 2an1，即 an1 2an. a1 1， an 0，an 1 2，an an 是公比 q 2 的等比数列，n a 2n 1.1 (1(2)sn12n ) 22 n1 .(3) cn sn 2n 1， tn c1c2 c3 cn (2 1) (22 1) (2n 1)2n2(12 n )n1 (2 2 2) nn 2n 2.1213当 n1 时，由题意得s1 3a1 2，所以 a1 1； 当 n2 时，因为sn 3an 2，所以 sn 1 3an1 2；两式相减得an 3an 3an 1， 即 2an 3an 1.由 a1 1 0，得 an0.an所以 an 13*(n 2， n n ) .2由等比数列定义知数列 an 是首项 a1 1，公比 q3 的等比数列 .2所以 an (3 ) n 1214 (1) 设第 n 年所需费用为an(单位万元 )，则a1 12， a2 16， a3 20， a4 24 (2)设捕捞 n 年后，总利润为y 万元，则y 50n 12nn(n21) 4 98 2n2 40n 98由题意得y 0， 2n2 40n 98 0， 1051 n 1051 . nn *， 3 n 17，即捕捞3 年后开始盈利. (3) y 2n240n 98 2(n 10)2 102，当 n 10 时， y 最大 102即经过 10 年捕捞盈利额最大，共盈利102 8 110(万元 ).15 (1)由 an f(1)，得1aa 214 (an 1 0)，a 2n 1n 1n1a 2n 为等差数列，11 (n1) 4aa22n1 a1 1， an14n3(n n*).(2)由 bn22aan 1n 212a2n 1114n1114n511，8n1111得 bn bn14n138n58n97(8n2)8n5(8n2)8n9(8n2)(8n5)(8n2)( 8n9)* nn ， bn bn 1 0， bn bn 1( n n *)， bn 是递减数列 . bn 的最大值为 b12214aa23.45若存在最小正整数m，使对任意n n*有 bnm 成立，25只要使 b1 14m 即可， m 70 .45259对任意nn *使 bnm 成立的最小正整数m 82516 (1) 解：设不动点的坐标为p0(x0， y0) ，x0由题意，得yx011 y，解得 x01 ， y0 0，2020所以此映射f 下不动点为p0(1 ，0) .2xn 1xn1(2)证明：由pn 1 f(pn)，得1，ynyn 12所以 xn 11 ( xn21)， yn121 yn.2因为 x1 2， y1 2，所以 xn 1 0， yn 0，2xn 1所以12121,xyn 1yn1 .2n由