2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算教案文新人教A版.docx

第1讲平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量注意(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|0.2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算| a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与 a的方向相反；当0时， a0( a)()a；()aa a；(ab)ab3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba常用结论1两特殊向量(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模是确定的，但方向不确定(2)非零向量a的同向单位向量为.2几个重要结论(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()(2)(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.(3)若G为ABC的重心，则有0；()二、习题改编1(必修4P86例4改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则 ， (用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：baab2(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为 解析：如图，因为，所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形答案：矩形一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误1对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立故前者是后者的充分不必要条件2点D是ABC的边AB上的中点，则向量()ABC. D答案：A平面向量的有关概念(师生共研) 给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab或ab；若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中真命题的序号是 【解析】是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点是错误的，|a|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反是正确的，因为，所以|且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形是错误的，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件【答案】平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量1给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；|a|b|ab|a与b方向相同；若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同其中叙述错误的命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.对于：当a0时，不成立；对于：当a，b之一为零向量时，不成立；对于：当ab0时，ab的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同故选C.2下列与共线向量有关的命题：相反向量就是方向相反的向量；a与b同向，且|a|b|，则ab；两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件其中错误命题的序号为 解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题是正确的答案：平面向量的线性运算(师生共研) (1)(一题多解)(2020合肥市第二次质量检测)在ABC中，若a，b，则()A.ab B.abC.ab Dab(2)(2020河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，2，点E是线段的中点，若，则 ， 【解析】(1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以.因为，所以，所以ab，故选A.优解一：()ab，故选A.优解二：由，得()，所以()ab，故选A.(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CFAD，且CFAD.因为()，所以，.【答案】(1)A(2)向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解1下列四个结论：0；0；0；0.其中一定正确的结论的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C.0，正确；，错；0，正确；0，正确故正确2已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足0，则实数的值为 解析：因为D为边BC的中点，所以2，又0，所以2，所以2，所以2.答案：2平面向量共线定理的应用(典例迁移) 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线【解】(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以kk10，所以k210，所以k1.【迁移探究】(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)，所以所以k1.又0，k，所以k1.故当k1时，两向量反向共线提醒证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点1已知向量a与b不共线，amb，nab(m，nR)，则与共线的条件是()Amn0 Bmn0Cmn10 Dmn10解析：选D.由amb，nab(m，nR)共线，得amb(nab)，即所以mn10.2.(一题多解)(2020广东六校第一次联考)如图，在ABC中，P是BN上一点，若t，则实数t的值为()A. B.C. D解析：选C.通解：因为，所以.设，则()(1)，又t，所以t(1)，得，解得t，故选C.优解：因为，所以，所以tt，因为B，P，N三点共线，所以t1，所以t，故选C.基础题组练1向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则ab()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2解析：选C.结合图形易得，ae14e2，b2e1e2，故abe13e2.2已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A点P在线段AB上 B点P在线段BC上C点P在线段AC上 D点P在ABC外部解析：选C.由，得，即2，故点P在线段AC上3(2020唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心若，其中，R，则()A2 BC D解析：选A.AB，所以1，因此2.4在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B.C. D解析：选D.设y，因为yy()y(1y).因为3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y，因为x(1x)，所以xy，所以x.5已知平面内四点A，B，C，D，若2，则的值为 解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有1，.答案：6若|8，|5，则|的取值范围是 解析：，当，同向时，|853；当，反向时，|8513；当，不共线时，3|13.综上可知3|13.答案：3，137已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为 解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；所以baabba0.故正确所以正确命题的序号为.答案：38如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若a，b，2.(1)用a，b表示；(2)证明：A，M，C三点共线解：(1)abab，又E为AD中点，所以ab，因为EF是梯形的中位线，且2，所以()a，又M，N是EF的三等分点，所以a，所以abaab.(2)证明：由(1)知a，所以ab，又与有公共点M，所以A，M，C三点共线综合题组练1已知等边三角形ABC内接于O，D为线段OA的中点，则()A. B.C. D解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则().故选A.2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：2；.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()A BC D解析：选B.在ON上取点C，使得OC2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AEOA，作EFO