韦达定理的应用.doc

韦达定理及其应用【趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0且1-ab20,求()2004的值。 解析 由知1+2-=0, 即()2-2-1 =0, 由知(b2)2-2b2-1=0, ,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根. 由韦达定理,得 +b2=2, b2=-1. =(+b2)+ 2004=(2-1)2004=1.点评 本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,难点是将变形成,易错点是忽视条件1-ab20,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.一、 知识要点1、若一元二次方程中，两根为，。则，；补充公式2、以，为两根的方程为3、用韦达定理分解因式【知识延伸】 例1 已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7,求a的值. 解析 设方程的两实根为x1,x2,根据韦达定理,有 于是,x=(x1+x2)2-2x1x2 =(-)2-2 =（a2+8a-4）依题设,得(a2+8a-4)=7. 解得a=-11或3. 注意到x1,x2为方程的两个实数根,则0,但a=-11时,=(-11)2+16(-11)-8=-630,故a=3.点评 韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式0,本题容易忽视的就是求出a的值后,没有考虑a的值满足0这一前提条件. 例2 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 解析 (1)据题意知,m应当满足条件 即 由,得m2或m-1, m-2. (2)m应当满足的条件是 即 -2m-1. (3)m应当满足的条件是 即 mbc,2b=a+c,b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值. 解析 依题设,有 a+c=2b, a2+b2+c2=84. 可变为(a+c)+2-2ac=84-b2, 代入,得 ac=, a、c是关于x的一元二次方程x2-2bx+=0的两个不相等的正实数根. 即16b228. 又b为正整数,故b=5.点评 韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=-，x1x2=,那么x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84转变为ac=,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.中考真题欣赏 例1 (2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以，为根的一元二次方程. 解析 关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, =(4b)2-447b=0, 即b2-7b=0. b1=0,b2=7. 当b=0时,关于y的方程化为y2+2y+4=0, 因=4-16=-120,x20,则 即 m1且m0,此时,m且m0; 若x10,x20, 方程有两个不相等的实数根; (2)(x1-1)(x2-1)=x1x2(x1+x2)+1=2-k2-4+1=-k2-10, n的值为0. 6.0或. (1)当a=b时, -=1-1=0;(2)当ab时,a、b是方程x2+11x+16=0两实根，从而有原式=(b-a)=.B卷1.已知, 是方程x2-7x+8=0的两根,且,不解方程,求+32的值.2.已知两数之积ab1,且2a2+12234 567 890a+3=0,3b2+1234 567 890b+2=0,求.3.已知x1,x2是方程x2-2(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两实根,求的最小值.4.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,求实数m的取值范围.5.若方程(x2-1)(x2-4)=k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,求k值.6.已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.B卷答案1. (403-85).由题意知+ =7, =8.于是2+2=(+)-2=33,(-)2=( +)2-4=17,又,故-=. 令A=+32,B=+32,则A+B=+3(2+2) = +3(2+2)= +333=, A- B=-+32 -32=+3(-)(+)=(-)+3(+)=- (+37)=- . ,两式相加,得A=(403-85).2. .设1 234 567 890=m,则有2a2+ma+3=0,3b2+mb+2=0,即2()2+m+3=0 ,又a, 故a与是二次方程2x2+mx+3=0的两个不等实根,故=a=.3. .由韦达定理得,x1+x2=2(k-2),x1x2=k2+3k+5.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-2)2-2(k2+3k+5)=2(k-)2-又=4(k-2)2-4(k2+3k+5)=-28k-40,即k-,故只有k=-时,x12+x22取最小值为.4. x3-x2即1=,解得m. 又=(-2)2-4m0,m1, m1.5. . 设x2=y,原方程变为y2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根,(00.6.-1. (a+c)(a+d)=1,(b+c)(