用拓扑理论来讨论数学分析中的一些问题毕业论文.doc

【标题】用拓扑理论来讨论数学分析中的一些问题 【作者】刘 佳 【关键词】极限点连续实数空间拓扑空间 【指导老师】林昌胜 【专业】数学与应用数学 【正文】拓扑理论中的基础理论点集拓扑，它作为大学数学本科的必修课程，对于培养抽象思维能力，拓宽视野，增进思维的严密性、逻辑性，提高解决问题和分析问题的能力，以及对于掌握近代数学的一些基础知识以及培养学习者进行理论研究的初步能力，都是一门不可缺少的专业知识，对于拓扑理论的学习不但是学习和继承的过程，同时也是科研训练的过程中最重要的阶段一个大学生，由于受习惯的影响，无论从欧几里德几何到笛卡儿的直角坐标系，还是数学分析原理到实变函数论，接触到的都是“度量”这一观念，因此度量的观念下思考问题、回答问题和解决问题，久而久之就形成了一种习惯，正是由于度量的观点在一些学习者脑海中根深蒂固，所以当初学拓扑理论时，就会感到拓扑这门学科简直是不可适从的此时，度量的观念不但不能成为训练思维的基础，反而成了理解和运用拓扑学原理及思想方法的主要障碍因此，弄清楚拓扑学的实数背景，了解拓扑学的发生、发展的概况肯定对学习拓扑理论有一定启发性作用拓扑学看起来有点“自在之物”的感觉，它的艰深与抽象甚至显得有些“玄”使不少人望而生畏，但拓扑学反映的人类思维形式实际上也和其它学科一样，与人类的认识过程相符合，决不是天上掉下来的拓扑学产生于十八世纪的一个七桥问题，欧拉将七桥问题抽象成四个点和七条线组成的几何图形，从而完成了从实际生活到数学模型的转化，正应了“数学来源于生活”这一句话发展到十九世纪，数学家发起了使微积分理论化的运动，他们力图使分析学尽量摆脱朴素的几何直观和机械论证，从而将分析学建立在更多坚实的基础上，从而产生了点集拓扑理论拓扑学发展到今天，它不仅仅在数学方面有所应用，在经济学、人工智能、生物学等方面都有了很大的发展其实拓扑学是从实数空间出发通过不断的抽象，最终形成的一门学科，因此拓扑空间也有其实数背景到现在为止，拓扑空间的定义有很多种，它们的建立都有其实数背景举最常用的一个例子如：由开集公理定义的拓扑空间设是一个集合，是的一个子集族，如果满足如下条件：（1） 全集和空集属于；（2） 任意两个开集族的交属于；（3） 任意一个开集族（即由开集构成的族）的并属于；则称是的一个拓扑，称为拓扑空间.显然，这里提到的开集不外是从数学分析中借用的一个名词，在数学分析中，所谓的开集就是开区间或某些开区间的并不难验证，以往讨论的实数的全体开集都满足公理，这就是拓扑空间的实数背景再看拓扑空间的邻域是这样的：是点的任意一个邻域，当且仅当存在开集,使,在数学分析中的一些教材里面，所谓实数的邻域往往被定义为实数的集合，使，换一句话说，实数的邻域是包含的一些开区间，把实数空间抽象得到度量空间，在度量空间中点的邻域定义为包含以为中心的某一开球的集合.实数集是的一个邻域应定义为存在使之有，这就是用实数推导出来的邻域不仅仅只有拓扑空间可以用实数空间作推导,拓扑理论中还有很多重要的内容,如序列收敛点、聚点、连续性等都是从实数空间中抽象出来的，这些都可以从实数空间中推导出来，同时实数空间也是拓扑空间的一种特殊情况，但是在拓扑空间中的一些性质、定理，而实数空间未必具有，所以需要对两者进行比较，在比较的过程中，对拓扑学和数学分析都会有一个更好的掌握，这样就可以帮助学习者理清思路，形成一个清晰明朗的概念域，便于以后的学习1基础知识拓扑学又名形势几何、连续几何学，它的本质是几何学的一个分支，作为一门数学学科，它与数学分析有着密切的联系通过对数学分析的学习，可以知道数学分析所研究的是实数空间，而拓扑理论研究的却是拓扑空间，它们两者之间有什么联系呢？通过对点集拓扑理论的学习可以证明出数学分析所研究的实数空间是拓扑空间的一种特殊情况对于实数集合，定义如下：对于任意，令为中的所有开集构成的集族，根据开集的性质：（）集合本身和空集都是开集（）；（）任意两个开集的交是开集（）若则；（）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集（）若则；则称是的一个拓扑，称为拓扑空间综合拓扑的定义可知是的一个拓扑，而是一个拓扑空间既然实数空间作为拓扑空间中的一种特殊情况，本文把它延伸出来，拓展到拓扑空间，那么实数空间存在的性质在拓扑空间中是否成立？这就是本文将要讨论的问题2序列存在唯一收敛点的条件在数学分析中研究的数列主要是那些具有稳定变化趋势的数列，这些所谓的具有“稳定变化趋势”的数列是指：当自然数无限增大时，数列无限趋于一个常数这可以用序列的收敛性来判断数列是否具有“稳定的变化趋势”通过数列的极限为1的定量定义，可用同样的思想方法和数学语言给出数列的极限为的定量定义定义2.1设有数列，若存在实数，对任意，总存在自然数，对任意的自然数，有，则称数列收敛于，其中收敛数列有一个最基本的，又是最重要的性质是：若数列收敛，则它的极限是唯一的，也就是说在数学分析中序列的收敛点唯一通过对数学分析的学习，这一点已经在学习者头脑中根深蒂固，那么站在拓扑学的角度上，运用拓扑理论来分析序列收敛的唯一性，讨论这一定理是否成立，拓扑学中明确说明这一点并不是一定成立的“在读者熟知的数学分析课程中，往往用序列收敛的概念作为出发点来刻画集合的凝聚点，而我们会看到这种做法在一般的拓扑空间中并不可行”（熊金诚点集拓扑讲义）定义2.2设是拓扑空间的一个序列（设是一个拓扑空间，每一个映射S：叫做中的序列，常记为），如果对于的每一个邻域，存在,使得当时有,则称序列收敛于,记作=其中值得注意的是：收敛序列如果序列至少有一个极限，就称序列是一个收敛序列显然，根据定义2.1和定义2.2作比较，会发现拓扑空间中序列的收敛性质与数学分析的收敛性质有很大的差别同时可举例：拓扑空间中的一些空间中序列收敛点不唯一例2.1平庸空间：设是一个集合，令，则称拓扑空间为一个平庸空间根据序列收敛的的定义可证平庸空间中任何一个序列都收敛，并且平庸空间中所有点均为收敛点，那么这就说明拓扑空间的序列不一定唯一，与数学分析中的收敛性质相矛盾同样也可以举例：拓扑空间中的一些空间中序列收敛点唯一例2.2度量空间：设点列是度量空间中的一个收敛序列如果=，=以下证明=对于0，使得iM时有：于是有：（-）又因为为任意大于0的数故有=0即度量空间是拓扑空间中最为重要的一类，而度量空间中序列收敛点唯一通过上面两个例子可以看出在拓扑空间中数学分析的性质并不是完全实用，在拓扑空间中不同的空间形成收敛点的情况不同，拓扑学告诉人们：在Hausdorff空间序列收敛点唯一Hausdorff空间又称空间，即指：设是一个拓扑空间，如果中任何两个不相同的点各种有一个开邻域使得开邻域互不相交（如果，则点有一个开邻域U，点有一个开邻域，使得），则称拓扑空间是Hausdorff空间证明：设是Hausdorff空间中的任意一个收敛序列假设有=，=，其中对于j=1,2点有一个开邻域，使得故存在，使得当时有任意选取M，可见故非空，与矛盾则有从上可以知道：Hausdorff空间序列收敛点唯一，而度量空间其实是Hausdorff空间中的一种特殊情况，而且拓扑学还告诉人们：设是一个满足第一可数性公理空间，中每一个收敛序列只有一个极限点的充要条件是是Hausdorff空间3数学分析中的“极限”与拓扑中的“开集”数学分析这门课程研究的对象是函数，那么在数学分析中用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限，从方法上来说，数学分析乃至分析系统各门课程的一个显著特征就是用极限方法来研究函数，而开集仅仅只是一个集合，那么极限与开集有何联系呢？定义3.1函数极限：设函数在的去心邻域有定义，若存在数，对任意的: 0有:则称函数或同时也可以写为:令设，当时即是说:它的意思是说:当趋向于时趋向于,或者说:当趋向于,趋向于对于“当时”这一句话，可以直接的理解为：当越来越接近时，越来越接近如果理解得再准确一点的话：若充分接近时，则接近那么理解的重点就放在“接近”一词上“接近”一词如果放在集合中，它有什么用途呢？由开集的定义：在度量空间中，如果的一个子集的每一点都有一个球形邻域包含于，则称为度量空间的一个开集可以知道开集是不包含它的边界点的集合，那么这样一来，如果，那么它一定不是边上的点，所以一定包含的所有“充分接近”的点假设，是两个拓扑空间，并设，其中S是的一个集合，设，对于有：当时（3-1）当且仅当对任意包含的开集，存在一个包含的开集H，使得：（3-2）只要（函数在处的导数可定义为，当时无意义，故不考虑）通过接近的程度来选择开集，如果取“充分接近”，即，那么“接近”，即故可以得到当时的开集含义为：（3-2）只要且在包含中所有“充分接近”的那些点的某些开集上有定义，同时也可以说对于包含的开集S，当在集合S上变化，时这样采用开集的思想就可以构造极限的定义，而这样定义极限最大的优点是：它运用到拓扑空间中时，仍然有意义4聚点的定义分析在各种资料书中可以看到有很多关于聚点的定义，可以举两种最常用的形式，如下：定义4.1设是数轴上的无限点集，是数轴上的一个定点（可属于，也可不属于），点的邻域总含有的无限多个点，则称是的聚点定义4.2设是一个拓扑空间，如果点的每一个邻域中都含有中异于的点，即，则称点是集合的一个凝聚点很明显第一种定义来自于数学分析，第二种来自于拓扑理论，将这两种聚点的定义作一下比较分析，发现4.1中指出的任意一个邻域中必须包含的无限多个点；而在4.2中却只要求的每一个邻域中都有异于的点，并没有像4.1那样明确要求多少个点这样看来的话，两者之间岂不是存在矛盾，但是只要仔细的分析一下就能找出它们之间的关系，从拓扑学的角度来看它们是统一的，也就是说4.1、4.2是可以等价的，但必须在一定的条件下，其条件是：拓扑空间是一个空间，即是说：是一个空间，则点的子集的一个凝聚点的充要条件是的每一个邻域U中都含有中的无限多个点，即是一个无限集证明：（充分性）首先实数空间是度量空间，同时度量空间也是空间的一种，根据数学分析聚点的定义可知：的每一个邻域中都含有中无限多个点，可知是空间的子集的凝聚点（必要性）已知是空间的子集的凝聚点，假设有一个开邻域，使得是一个有限集令集合，也是一个有限集因此是一个闭集，而是一个开集，且是的一个邻域，显然：，即是说不是的凝聚点，与已知矛盾得到：是一个无限集由上述可知拓扑空间是一个空间时，定义.与.等价虽然聚点在数学分析中与收敛点的定义不同，而实际上它与收敛点未加区分，因此在数学分析中聚点也就是收敛点，它的重要性可想而知而在拓扑空中，聚点与收敛点是两个不同的概念，它们只有空间的条件下才能等价，有了上述两种定义，把空间特殊化，特殊到度量空间，那么在讨论聚点的时候，就可以相互应用了5连续性数学分析研究的对象是函数，首先研究的就是连续函数，因为连续函数一方面在显示生活中连续变化的现象有很多，如：气温升降、压力的连续变化；另一方面数学分析即使要研究连续函数也要直接或间接的借助于连续函数，因此连续函数的重要性可想而知，而连续性作为连续函数的一个重要性质，当然是不容忽视的定义5.1连续在数学分析中指:有：即则称函数在连续，把数学分析中的连续推广到拓扑空间的连续来看，拓扑空间的连续指：设和是两个拓扑空间，如果中的每一个开集的原象是的一个开集，则称映射连续，这样一来连续就可以用开集来定义，而不再限制于度量，将度量推广出来，那么连续的性质是否会有所改变呢？以数学分析中对连续性的描述中的一个著名定理归结原则为例分析如下：归结原则是指：函数在上连续的充要条件是实数空间中任意收敛的数列其象点也收敛且收敛于若学习者在数学分析中学习了归结原则，在以后的学习过程中不加任何说明就将这一定理运用到度量空间以及其它空间中，则将造成一种误导，使学习者直观的认为它在任何情况下都成立其实不是这样的，在一般的拓扑学中明确给出：如果从拓扑空间到拓扑空间的映射在点连续，则中任意收敛于的序列，其象收敛于，但是这个定理的逆命题在拓扑空间中是不成立的那么其充分性在何种情况下才能成立呢？拓扑中也回答了这一问题：在第一可数的空间下时，这一条件才是充要的6度量与图形拓扑学作为几何学的一个分支，而几何学中对图形的研究是极其重要的，所以拓扑学自然也离不了图形，而对拓扑理论的研究更有利于对度量与图形以及现代抽象画的理解，更有利于学科之间的整合现在要问一个问题：单位圆的图形一定是圆周吗？在空间中，欧几里德度量是由下式定义的：（6-1）采用这种度量来定义是因为它与欧几里德几何中两点之间的距离的概念一致，但是拓扑理论中：欧几里德度量并不是中唯一度量，同样可以定义另一种度量定义：（6-2）用度量的定义可证均为度量且可诱导出同一拓扑空间欧氏平面在该空间中取定一个直角坐标系，作坐标原点的距离等于定长为1的点的轨迹图形，那么在度量空间条件下，作出来的轨迹图形是一个圆周（图.1）而在度量的条件下，作出来的轨迹图形为边长为1的正方形（图.2）也就是说度量的开球看上去与欧几里德度量很不相同拓扑学也告诉了人们答案，在一个可度量化空间中，若存在着形式不同的度量诱导出来的度量空间，在同一集合不同度量下，做出来的轨迹图形是不同的尽管作出的轨迹图形不同，但从拓扑的观点来看，这些开球的几何形状是没有关系的，任意给定一个上面图形中的一个开球，都可以找到另外的一种开球与它有同一中心，并且在原来的开球里面，这样一来，一个集合相对于这些度量之一是开的，当且仅当它相对于所有的度量都是开的即三种度量在都产生相同的开集，因为在度量空间中，任意一个开集是它所包含的所有开球的并这就说明了单位圆的图形并不一定是一个圆周，但是在拓扑中，集合形状不同的开球也可能是不同度量在中的相同开集7康托尔（Cantor）集是一个闭集在直线上开区间是开集，虽然开集一般说来不一定是一个开区间，但容易看出非空开集是一系列开区间的和集，那么从直线上挖掉有限