2000-2012年十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

1 2000 年全国高中数学联赛试题 第一试 10 月 15 日上午 8 00 9 40 一 一 选择题选择题 本题共有 6 小题 每题均给出 A B C D 四个结论 其中有且仅有一个是正确的 请将 正确答案的代表字母填在题后的括号内 每小题选对得 6 分 不选 选错或选出的代表字母超过一个 不论是否写在括号内 一律得 0 分 1 设全集是实数 若 A x 0 B x 则是 答 2 x 2 2 10 xx 10BA A 2 B 1 C x x 2 D 2 设 sin 0 cos 0 且 sin cos 则的取值范围是 答 3 3 3 A 2k 2k k Z B k Z 6 3 3 2 k 6 3 2 k 3 C 2k 2k k Z D 2k 2k 2k 2k k Z 6 5 4 3 6 5 3 已知点 A 为双曲线 x2 y2 1 的左顶点 点 B 和点 C 在双曲线的右分支上 ABC 是等边三角形 则 ABC 的面积是 答 A B C 3 D 6 3 3 2 33 33 4 给定正数 p q a b c 其中 p q 若 p a q 是等比数列 p b c q 是等差数列 则一元二次方程 bx2 2ax c 0 答 A 无实根 B 有两个相等实根 C 有两个同号相异实根 D 有两个异号实根 5 平面上整点 纵 横坐标都是整数的点 到直线的距离中的最小值是 5 4 3 5 xy A B C D 答 170 34 85 34 20 1 30 1 6 设 则以 3 7 9为根的方程是 答 5 sin 5 cos i A x4 x3 x2 x 1 0 B x4 x3 x2 x 1 0 C x4 x3 x2 x 1 0 D x4 x3 x2 x 1 0 二 填空题二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 本题共有 6 小题 要求直接将答案写在横线上 7 arcsin sin2000 8 设 an是 3 的展开式中 x 项的系数 n 2 3 4 则 n x n n n aaa 333 lim 3 3 2 2 9 等比数列 a log23 a log43 a log83 的公比是 10 在椭圆 a b 0 中 记左焦点为 F 右顶点为 A 短轴上方的端点为 B 若该椭圆的1 2 2 2 2 b y a x 离心率是 则 ABF 2 15 11 一个球与正四面体的六条棱都相切 若正四面体的棱长为 a 则这个球的体积是 12 如果 1 a b c d 都属于 1 2 3 4 2 a b b c c d d a 3 a 是 a b c d 中的最小值 那 么 可以组成的不同的四位数的个数是 abcd 三 解答题三 解答题 本题满分本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分分 2 13 设 Sn 1 2 3 n n N 求 f n 的最大值 1 32 n n Sn S 14 若函数在区间 a b 上的最小值为 2a 最大值为 2b 求 a b 2 13 2 1 2 xxf 15 已知 C0 x2 y2 1 和 C1 a b 0 试问 当且仅当 a b 满足什么条件时 对 C1上任1 2 2 2 2 b y a x 意一点 P 均存在以 P 为项点 与 C0外切 与 C1内接的平行四边形 并证明你的结论 加试加试 10 月 15 日上午 10 00 12 00 一 本题满分 50 分 如图 在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E F 满足 BAE CAF 作 FM AB FN AC M N 是垂足 延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 证明 四边形 AMDN 与三角 形 ABC 的面积相等 二 本题满分 50 分 设数列 a n 和 b n 满足 且 2 1 0 478 367 1 1 n bab baa nnn nnn 证明 a n n 0 1 2 是完全平方数 三 本题满分 50 分 有 n 个人 已知他们中的任意两人至多通电话一次 他们中的任意 n 2 个人之间通电话的次数相等 都是 3 k次 其中 k 是自然数 求 n 的所有可能值 20002000 年全国高中数学联合竞赛试题答案年全国高中数学联合竞赛试题答案 1 答案 D 由得 x 2 故 A 2 由得 故 B 1 2 所22 x xx 1010 2 2 02 2 xx 以 BA 2 答案 D 由 得0sin 0cos Zkkk 2 2 2 A B C D EF M N 3 2 112 2 1 1 2 O B A C D 3 从而有 3 Zk kk 33 2 63 2 又因为 所以又有 3 cos 3 sin 3 Zkkk 4 5 2 4 2 如上图所示 是 同时成立的公共部分为 3 2 4 2 kkZkkk 2 6 5 2 3 答案 C 如图所示 设 BD t 则 OD t 1 从而 B t 1 t 33 满足方程 可以得到 t 所以等边三角形 1 22 yx3 ABC 的面积是 33 4 答案 A 由题意知pq a2 2b p c 2c q b bc 3 2qp b 3 2qp c 3 2qp 3 2qp pq a2 3 2 3 2 pqqp 因为 p q 故 bc a2 方程的判别式 4a2 4bc 0 因此 方程无实 数根 5 答案 B 设整点坐标 m n 则它到直线 25x 15y 12 0 的距离为 22 15 25 121525 nm d 345 12 35 5 nm 由于 m n Z 故 5 5m 3n 是 5 的倍数 只有当 m n 1 时 5 5m 3n 10 与 12 的和的绝对值最小 其值 为 2 从而所求的最小值为 85 34 6 答案 B 由知 5 sin 5 cos i 10 2 sin 10 2 cos i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 是 1 的 10 个 10 次方根 从而有 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x10 1 由因 2 4 6 8 10是 1 的 5 个 5 次方根 从而有 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x5 1 得 x x 3 x 5 x 7 x 9 x5 1 的两边同除以 x 5 x 1 得 x x 3 x 7 x 9 x4 x3 x2 x 1 所以 3 7 9为根的方程是 x4 x3 x2 x 1 0 二 填空题 满分 54 分 每小题 9 分 7 答案 20 sin2000 sin 5 360 200 sin200 sin20 故rcsin sin2000 rcsin sin20 rcsin sin20 20 aaa 8 答案 18 由二项式定理知 因此 22 3 n nn Ca nnnnan n 1 1 1 18 1 233 2 18 n n n aaa 333 3 3 2 2 lim n n 1 118 lim 4 9 答案 3 1 3log 3log 3log 3log 4 8 2 4 a a a a q 3log3log 3log3log 42 84 3 1 10 答案 90 如图所示 由c2 ac a2 0 2 15 a c 0 22 2 222 2 cos baa acaba ABF 则 ABF 90 11 答案 3 24 2 a 解 如图 设球心为 O 半径为 r 体积为 V 面 BCD 的中心为 O1 棱BC 的中心点为 E 则 AO1 2 1 2 BOa 22 3 1a a a 3 6 由 OB O1O O1B O1B 得 222 2 1 OBBO 2 OB 故 OB 2 3 2 aa 3 62 0 3 1 2 a 4 6 62 3 aa 于是 r OE 22 BEOB 22 4 1 8 3 aa 22 1 a V r 3 4 22 216 1 3 4 a 3 24 2 a 12 答案 28 中恰有 2 个不中数字时 能组成 C 6 个不中数字 abcd 2 4 中恰有 3 个不中数字时 能组成 C 12 4 16 个不中数字abcd 1 3 1 2 C 1 2 C 1 2 C 1 2 C 中恰有 4 个不中数字时 能组成 P 6 个不中数字abcd 3 3 所以 符合要求的数字共有 6 16 6 28 个 13 答案 50 1 解 由已知 对任何 nN 有 f n 1 32 N n Sn S 232 nn Sn 又因 n 34 34 50 6434 2 nn n n n 64 34 1 n 64 n n 64 2 故对任何 nN 有 f n 由于 f 8 故 f n 的最大值为 n n 64 34 1 50 1 50 1 50 1 14 答案 所求区间为 1 3 或 2 17 4 13 解 化三种情况讨论区间 a b 1 若 0a b 则 f x 在 a b 上单调递减 故 f a 2b f b 2a 于是有 55 a 5 5 b OA B c F 10 A B C D 0 E O H 11 5 解之得 a b 1 3 2 13 2 1 2 2 13 2 1 2 2 2 ba ab 2 若 a 0 b f x 在 a b 上单调递增 在 0 b 上单调递减 因此 f x 在 x 0 处取最大值 2b 在 x a 或 x b 处取最小值 2a 故 2b b 由于 a 0 2 13 4 13 又 f b 2 1 4 13 2 2 13 0 32 39 故 f x 在 x a 处取最小值 2a 即 2a 2 2 1 a 2 13 解得 a 2 于是得 a b 2 1717 4 13 2 当 a b0 时 f x 在 a b 上单调递增 故 f a 2a f b 2b 即 2a 2b 2 2 1 a 2 13 2 2 1 a 2 13 由于方程x 2x 0 的两根异号 故满足 ab0 的区间不存在 2 1 2 2 13 综上所述 所求区间为 1 3 或 2 17 4 13 15 答案 所求条件为 1 2 1 a 2 1 b 证明 必要性 易知 圆外切平行四边形一定是菱形 圆心即菱形 中心 假设论成立 则对点 a 0 有 a 0 为项点的菱形与 C1内接 与Co外 切 a 0 的相对顶点为 a 0 由于菱形的对角线互相垂直平分 另 外两个顶点必在 y 轴上 为 0 b 和 0 b 菱形一条边的方程为 1 即 bx ay ab 由于菱形与 CO外切 a x b y 故必有 1 整理得 1 必要性得证 2 2 ba ab 2 1 a 2 1 b 充分性 设 1 P 是 C1上任意一点 过 P O 作 C1的弦 2 1 a 2 1 b PR 再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS 则 PQRS 为与 C1内接菱 形 设 OP r1 OQ r2 则点 O 的坐标为 r1cos r1sin 点 Q 的 坐标为 r2cos r2sin 代入椭圆方程 得 2 2 1 2 2 1cos a r 2 2 1sin b r 2 22 2 cos a r 2 22 2 sin b r 1 于是 2 1 OP 2 1 OQ 2 2 2 1 11 RR 2 2 2 2 sincos ba 2 2 2 cos a 2 2 2 sin b 1 2 1 a 2 1 b 22 2 2 O P R Q S 15 22 2 2 O P R Q S M 15 6 CB A F D N M E 又在 Rt POQ 中 设点 O 到 PQ 的距离为 h 则 1 故得 h 1 h 1 2 1 OP 2 1 OQ 同理 点 O 到 QR RS SP 的距离也为 1 故菱形 PQRS 与 C0外切 充分性得证 注 对于给出 1 等条件者 应同样给分 2222 baba 22 ba ab 20002000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试加试 一 证明 连结 MN BD FM AB FN AC A M F N 四点共圆 AMN AFN AMN BAE AFN CAF 90 即 MN AD SAMDN AD MN 2 1 CAF DAB ACF ADB AFC ABCAB AC AD AF AD AC AB AF 又 AF 是过 A M F N 四点的圆的直经 AFAF sin BAC MN BAC MN sin AB AC sin BAC 2 1 abc S AD AF sin BAC 2 1 AD M N 2 1 SAMDN 二 证法一 由假设得 a1 4 b1 4 且当 n1 时 2an 1 1 14an 12bn 7 8an 7bn 4 1 3 n b3 2an 1 7 4 n b33 依次类推可得 2an 1 7 2a1 1 7 4 n b3 1 34 n 1 3b n 3 同理 2an 1 7 4 n b3 n 3 从而 an 7 4 7 4 4 1n 3 4 1n 3 2 1 由于 74 2 3 2 3 所以 an 2 2 2 1 n 3 2 1 3 2 n 由二项式展开得 c n 2 2 2 1 n 3 2 1 3 n nk k n C 20 2k 3 kn 2 2 显然 Cn为整数 于是 an为完全平方数 证法二 由已知得 an 1 7an 6bn 3 7an 6 8an 1 7bn 1 4 3 7an 48an 1 42bn 1 27 7 由 an 7an 1 6bn 1 3 得 42bn 1 7an 49an 1 21 从而 an 1 7an 48an 1 7an 49an 1 21 27 14an an 1 6 也就是 an 1 14an an 1 6 设 an 1 kan t p an kan 1 t 则有 6 1 1 14 pt pk kp 解得或 323 32347 32347 2 2 t p k 323 32347 32347 2 2 t p k 分别代入 根据数列 an 1 kan t 是以 a1 ka0 t 为首项 p 为公比的等比数列 整理得 nn nn aa 2 1 32 32 347 32 323 347 nn nn aa 2 1 32 32 347 32 323 347 整理得 2 32 2 1 32 2 1 nn n a 由二项式展开得 c n 2 2 2 1 n 3 2 1 3 n nk k n C 20 2k 3 kn 2 2 显然 Cn为整数 于是 an为完全平方数 三 解析 显然 n5 记 n 个人为 A1 A2 AN 设 A1通话的次数为 m1 Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij l 则 nji m i m j y i j c n s s m 1 2 1 k 3 其中 c 是常数 l nji 根据 知 1 l ji mm sjsi mmmm sjsi yy nji l 1 ji mm nji 设 mi max ms 1 m j min ms 1sn ns 则 m i m j1 若 m i m j 1 则对于任意 s 1sn ji 都有 m i ms y I s m j ms y I s 1 y I s y j s 0 即 y I s y j s 1 故 y I s 1 y j s 0 s 1sn ji 因此 mi n 2 m j 1 于是 m i m j n 32 出现矛盾 故 m i m j 0 即 ms 1sn 恒为常数 根据 知 y I j 0 或 y I j 1 若 y I j 0 则 ms 0 1sn 与已知条件矛盾 因此 y I s 1 ms n 1 1sn 所以 n n 1 2n 3 即 n 2 n 3 2 2 1 k 3 k 3 设 n 2 2 n 3 k1k2 则 2 1 于是 1 3k 2 3k 1 3k 2 3k 1 1 得 1 1 1 因此 k2 0 k1 0 2 3k 21 32 kk 2 3k 21 32 kk 这与 k1 矛盾 8 设 n 2 n 3 2 k1k2 1 则 2 1 于是 1 3k 2 3k 1 3k 2 3k 2 1 得 1 2 1 因此 k2 0 k1 1 n 5 2 3k 21 3 kk 2 3k 21 3 kk 此时 若 5 人中每两人之间都通话一次 则其中任意 3 个人之间通话的总次数为次 1 3 综上所述 n 5 为 n 的所有可能值 二二 一年全国高中数学联合竞赛题一年全国高中数学联合竞赛题 10 月 4 日上午 8 00 9 40 三 题号一二 131415 合计加试总成绩 得分 评卷人 复核人 学生注意 学生注意 1 本试卷共有三大题 本试卷共有三大题 15 个小题 个小题 全卷满分 全卷满分 150 分 分 2 用圆珠笔或钢笔作答 用圆珠笔或钢笔作答 3 解题书写不要超过装订线 解题书写不要超过装订线 4 不能使用计算器 不能使用计算器 一 一 选择题 本题满分选择题 本题满分 36 分 每小题分 每小题 6 分 分 本题共有本题共有 6 个小是题 每题均给出 个小是题 每题均给出 A B C D 四个结论 其中有且仅有一个是正确的 请 四个结论 其中有且仅有一个是正确的 请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内 每小题选对得将正确答案的代表字母填在题后的括号内 每小题选对得 6 分 不选 选错或选的代表字母超过一个分 不选 选错或选的代表字母超过一个 不论是否写在括号内 不论是否写在括号内 一律得 一律得 0 分 分 1 已知 a 为给定的实数 那么集合 M x x2 3x a2 2 0 x R 的子集的个数为 A 1 B 2 C 4 D 不确定 2 命题 1 长方体中 必存在到各顶点距离相等的点 命题 2 长方体中 必存在到各棱距离相等的点 命题 3 长方体中 必存在到各面距离相等的点 以上三个命题中正确的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 在四个函数 y sin x y cos x y ctgx y lg sinx 中以 为周期 在 0 上单调递增的偶函数是 2 A y sin x B y cos x C y ctgx D y lg sinx 4 如果满足 ABC 60 AC 12 BC k 的 ABC 恰有一个 那么 k 的取值范围是 A k 8 B 0 k 12 C 2 D 0 12 或338 k 5 若 1 2 1000的展开式为 2000 2000 则 3 6 9 1998的值为 A 3333 B 3666 C 3999 D 32001 6 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较 结果是 A 2 枝玫瑰价格高 B 3 枝康乃馨价格高 C 价格相同 D 不确定 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 7 椭圆 1 2 的短轴长等于 8 若复数 z1 z2满足 z1 2 z2 3 3z1 2z2 I 则 z1z2 2 3 9 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 则直线 A1C1与 BD1的距离是 9 10 不等式的解集为 2 3 2 log 1 2 1 x 11 函数的值域为 23 2 xxxy 12 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 如图 要求同一场块中种同一种植 物 相邻的两块种不同的植物 现有 4 种不同的植物可供选择 则有 种栽种方案 二 解答题 本题满分解答题 本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分 分 13 设 an 为等差数列 bn 为等比数列 且 a1 a2 又 2 11 ab 2 22 ab 2 33 ab 试求 an 的首项与公差 12 lim 21 n n bbb 14 设曲线 C1 a 为正常数 与 C2 y2 2 x m 在 x 轴上方公有一个公共点 P 1 2 2 2 y a x 1 求实数 m 的取值范围 用 a 表示 2 O 为原点 若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A 当 0 aa2 a3 a4 a5 a6 的电阻组装成一个如图的组件 在组 装中应如何选取电阻 才能使该组件总电阻值最小 证明你的结论 F A B C D E 10 二二 一年全国高中数学联合竞赛加试试题一年全国高中数学联合竞赛加试试题 10 月 4 日上午 10 00 12 00 学生注意 学生注意 1 本试卷共有三大题 全卷满分 本试卷共有三大题 全卷满分 150 分 分 2 用圆珠笔或钢笔作答 用圆珠笔或钢笔作答 3 解题书写不要超过装订线 解题书写不要超过装订线 4 不能使用计算器 不能使用计算器 一 一 本题满分 本题满分 5050 分 分 如图 ABC 中 O 为外心 三条高 AD BE CF 交于点 H 直线 ED 和 AB 交于点 M FD 和 AC 交于点 N 求证 1 OB DF OC DE 2 OH MN 二 二 本题满分 本题满分 5050 分 分 设 xi 0 I 1 2 3 n 且 求的最大值与最小值 12 11 2 njk jk n i i xx j k x n i i x 1 三 三 本题满分 本题满分 5050 分 分 将边长为正整数 m n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形 每个正方形的边均平行于矩形的相应 边 试求这些正方形边长之和的最小值 11 2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一 选择题 CBDDCA 1 已知 a 为给定的实数 那么集合 3 2 0 的子集的个数为 1 2 4 不确定 讲解 讲解 M 表示方程 3 2 0 在实数范围内的解集 由于 1 4 0 所以 含有 2 个元素 故集合 有 2 4 个子集 选 2 命题 1 长方体中 必存在到各顶点距高相等的点 命题 2 长方体中 必存在到各条棱距离相等的点 命题 3 长方体中 必存在到各个面距离相等的点 以上三个命题中正确的有 0 个 1 个 2 个 3 个 讲解 讲解 由于长方体的中心到各顶点的距离相等 所以命题 1 正确 对于命题 2 和命题 3 一般的长方体 除正方体外 中不存在到各条棱距离相等的点 也不存在到各个面距离相等的点 因此 本题只有命 题 1 正确 选 3 在四个函数 中 以 为周期 在 0 2 上单调递增的偶函数是 讲解 讲解 可考虑用排除法 不是周期函数 可通过作图判断 排除 的最小正周期为 2 且在 0 2 上是减函数 排除 在 0 2 上是减函数 排除 故应选 4 如果满足 60 12 的 恰有一个 那么 的取值范围是 0 1238 k 12 0 12 或38 k 讲解 讲解 这是 已知三角形的两边及其一边的对角 解三角形 这类问题的一个逆向问题 由课本结论知 应选结论 说明 说明 本题也可以通过画图直观地判断 还可以用特殊值法排除 5 若 1 2 1000的展开式为 2000 2000 则 3 6 9 1998的值为 3333 3666 3999 32001 讲解 讲解 由于要求的是展开式中每间降两项系数的和 所以联想到 1 的单位根 用特殊值法 取 1 2 2 则 1 1 0 令 1 得 31000 2000 令 得 0 1 2 2000 2000 令 得 0 2000 4000 三个式子相加得 31000 3 1998 1998 3999 选 6 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较 结果是 2 枝玫瑰价格高 3 枝康乃馨价格高 价格相同 不确定 讲解 讲解 这是一个大小比较问题 可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为 元 元 则由题设得 2436 2254 YX YX 12 问题转化为在条件 的约束下 比较 2 与 3 的大小 有以下两种解法 解法解法 1 1 为了整体地使用条件 令 6 3 4 5 联立解得 5 3 18 3 2 9 2 3 11 12 9 24 22 11 12 11 24 12 22 0 2 3 选 图 1 解法解法 2 由不等式 及 0 0 组成的平面区域如图 1 中的阴影部分 不含边界 令 2 3 2 则 表示直线 2 3 2 在 轴上的截距 显然 当 过点 3 2 时 2 有 最小值为 0 故 2 3 0 即 2 3 选 说明 说明 1 本题类似于下面的 1983 年一道全国高中数学联赛试题 已知函数 满足 4 1 1 1 2 5 那么 3 应满足 7 3 26 4 3 15 1 3 20 28 3 3 35 3 2 如果由条件 先分别求出 的范围 再由 2 的范围得结论 容易出错 上面的 解法 1 运用了整体的思想 解法 2 则直观可靠 详见文 1 二 填空题 7 8 9 3 32 i 13 72 13 30 6 6 10 11 12 732 4 2 1 1 0 7 2 2 2 3 1 7 椭圆 1 2 的短轴长等于 讲解 讲解 若注意到极点在椭圆的左焦点 可利用特殊值法 若注意到离心率 和焦参数 焦点到相应准线的距离 的几何意义 本题也可以直接求短半轴的长 解法解法 1 1 由得 1 0 3 1 ca ca 13 2 3 从而 故 2 3 3 3 32 解法解法 2 2 由 1 2 2 1 及 2 2 2 得 从而 2 3 3 3 32 说明 说明 这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题 8 若复数 满足 2 3 3 2 3 2 则 讲解 讲解 参考答案给出的解法技巧性较强 根据问题的特点 用复数的三角形式似乎更符 合学生的思维特点 而且也不繁 令 2 3 则由 3 2 3 2 及复数相等的充要条件 得 2 3 cos cos6 1sin sin6 即 2 3 2 sin 2 sin 12 1 2 sin 2 cos 12 二式相除 得 2 3 2 由万能公式 得 12 13 5 13 故 6 30 13 72 13 说明 说明 本题也可以利用复数的几何意义解 9 正方体 1 的棱长为 1 则直线 与 的距离是 讲解 讲解 这是一道求两条异面直线距离的问题 解法较多 下面给出一种基本的解法 图 2 14 为了保证所作出的表示距离的线段与 和 都垂直 不妨先将其中一条直线置 于另一条直线的垂面内 为此 作正方体的对角面 则 面 且 面 设 0 在面 内作 垂足为 则线段 的长为异面直线 与 的距离 在 中 等于斜边 上高的一半 即 6 10 不等式 1 1 2 2 3 2 的解集为 讲解 讲解 从外形上看 这是一个绝对值不等式 先求得 1 2 2 或 2 7 1 2 0 或 1 2 0 从而 4 或 1 22 7 或 0 1 11 函数 的值域为 讲解 讲解 先平方去掉根号 由题设得 3 2 则 2 2 3 由 得 2 2 3 解得 1 3 2 或 2 由于能达到下界 0 所以函数的值域为 1 3 2 2 说明 说明 1 参考答案在求得 1 3 2 或 2 后 还用了较长的篇幅进行了一番验 证 确无必要 2 本题还可以用三角代换法和图象法来解 不过较繁 读者不妨一试 图 3 12 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 如图 3 要求同一块中种同一种植物 相邻的 两块种不同的植物 现有 4 种不同的植物可供选择 则有 种栽种方案 讲解 讲解 为了叙述方便起见 我们给六块区域依次标上字母 按间隔三块 种植植物的种数 分以下三类 1 若 种同一种植物 有 4 种种法 当 种植后 可从剩余的三种 植物中各选一种植物 允许重复 各有 3 种方法 此时共有 4 3 3 3 108 种方法 2 若 种二种植物 有 2种种法 当 种好后 若 种同一种 则 有 3 种方法 各有 2 种方法 若 或 种同一种 相同 只是次序不同 此时共有 3 3 2 2 432 种方法 3 若 种三种植物 有 种种法 这时 各有 2 种种方法 此时共有 2 2 2 192 种方法 根据加法原理 总共有 108 432 192 732 种栽种方案 说明 说明 本题是一个环形排列问题 三 解答题 13 设所求公差为 d a1 a2 d 0 由此得 化简得 4 1 2 1 2 1 2 dadaa 042 2 1 2 1 ddaa 15 解得 5 分 1 22 ad 而 故 a1 0022 若 则 1 22 ad 2 2 1 2 2 12 a a q 若 则 10 分 1 22 ad 2 2 1 2 2 12 a a q 但存在 故 q 1 于是不可能 12 21 n n bbblim 2 12 q 从而2 12 222 12 12 1 2 1 2 2 1 a a 所以 20 分222 22 2 11 ada 14 解 1 由 消去 y 得 2 1 2 2 2 2 mxy y a x 022 2222 amaxax 设 问题 1 化为方程 在 x a a 上有唯一解或等根 2222 22 amaxaxxf 只需讨论以下三种情况 1 0 得 此时 xp a2 当且仅当 a a2 a 即 0 a 1 时适合 2 1 2 a m 2 f a f a 0 当且仅当 a m a 3 f a 0 得 m a 此时 xp a 2a2 当且仅当 a a 2a2 a 即 0 a 1 时适合 f a 0 得 m a 此时 xp a 2a2 由于 a 2a2 a 从而 m a 综上可知 当 0 a 1 时 或 a m a 2 1 2 a m 当 a 1 时 a m a 10 分 2 OAP 的面积 p ayS 2 1 0 a 故 a m a 时 0 a 2 1 maaa21 22 由唯一性得 maaaxp21 22 显然当 m a 时 xp取值最小 由于 xp 0 从而 yp 取值最大 此时 2 2 1 a xp 2 2aayp 2 aaaS 当时 xp a2 yp 此时 2 1 2 a m 2 1a 2 1 2 1 aaS 下面比较与的大小 2 aaa 2 1 2 1 aa 令 得 22 1 2 1 aaaaa 3 1 a 故当 0 a 时 此时 3 1 2 aaa 2 1 2 1 aa 2 1 2 1 aaSmax 当时 此时 20 分 2 1 3 1 a 22 1 2 1 aaaaa 2 aaaSmax 15 解 设 6 个电阻的组件 如图 3 的总电阻为 RFG 当 R i a i i 3 4 5 6 R1 R2是 a1 a2的 任意排列时 RFG最小 5 分 16 证明如下 1 设当两个电阻 R1 R2并联时 所得组件阻值为 R 则 故交换二电阻的位置 不 21 111 RRR 改变 R 值 且当 R1或 R2变小时 R 也减小 因此不妨取 R1 R2 2 设 3 个电阻的组件 如图 1 的总电阻为 RAB 21 323121 3 21 21 RR RRRRRR R RR RR RAB 显然 R1 R2越大 RAB越小 所以为使 RAB最 小必须取 R3为所取三个电阻中阻值最小的 个 3 设 4 个电阻的组件 如图 2 的总电阻为 RCD 若记 则 S1 S2为定值 于是 41 1 ji jiR RS 41 2 kji kji RRRS 431 3212 RRS RRRS RCD 只有当 R3R4最小 R1R2R3最大时 RCD最小 故应取 R4 R3 R3 R2 R3 Rl 即得总电阻的阻值最 小 15 分 4 对于图 3 把由 R1 R2 R3组成的组件用等效电阻 RAB代替 要使 RFG最小 由 3 必需使 R6 R5 且由 1 应使 RCE最小 由 2 知要使 RCE最小 必需使 R5 R4 且应使 RCD最小 而由 3 要使 RCD最小 应使 R4 R3 R2且 R4 R3 R1 这就说明 要证结论成立 20 分 2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准 一 证明 1 A C D F 四点共圆 BDF BAC 又 OBC 180 BOC 90 BAC 2 1 OB DF 2 CF MA 17 MC 2 MH 2 AC 2 AH 2 BE NA NB 2 NH 2 AB 2 AH 2 DA BC BD 2 CD 2 BA 2 AC 2 OB DF BN 2 BD 2 ON 2 OD 2 OC DE CM 2 CD 2 OM 2 OD 2 30 分 得 NH 2 MH 2 ON 2 OM 2 MO 2 MH 2 NO 2 NH 2 OH MN 50 分 另证 以 BC 所在直线为 x 轴 D 为原点建立直角坐标系 设 A 0 a B b 0 C c 0 则 b a k c a k ABAC 直线 AC 的方程为 直线 BE 的方程为 cx c a y bx a c y 由 得 E 点坐标为 E cx c a y bx a c y 22 2 22 22 ca abcac ca bcca 同理可得 F 22 2 22 22 ba abcab ba cbba 直线 AC 的垂直平分线方程为 2 2 c x a ca y 直线 BC 的垂直平分线方程为 2 cb x 由 得 O 2 2 2 cb x c x a ca y a abccb 2 2 2 bca acab cbba abcab k abac abc b cb a abc k DFOB 222 22 2 2 2 OB DF1 DFOBk k 同理可证 OC DE 在直线 BE 的方程中令 x 0 得 H 0 bx a c y a bc acab bca cb a bc a abc kOH 3 2 2 2 2 直线 DF 的方程为x bca acab y 2 18 由 得 N 2 cx c a y x bca acab y 22 2 22 22 2 2cbca acabc cbca bcca 同理可得 M 22 2 22 22 2 2bbca ababc bbca cbba bca acab bcabcabc bcacba kMN 3 3 222 222 kOH kMN 1 OH MN 二 解 先求最小值 因为 1 n i i njk jk n i i n i i xxx j k xx 111 22 1 12 等号成立当且仅当存在 i 使得 xi 1 xj 0 j i 最小值为 1 10 分 n i i x 1 再求最大值 令 kk ykx n knjk jkk ykyky 11 2 12 设 令 n k n k kk ykxM 11 nn n n ay ayy ayyy 22 121 则 30 分1 22 2 2 1 n aaa 令 0 则 1 n a n k kk aakM 1 1 n k n k n k n k n k kkkkk akkakakakak 11111 1 1 1 由柯西不等式得 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 n k n k k n k kkakkM 等号成立 2 2 2 22 1 1 1 1 nn a kk aa nk 2 2 22 22 2 2 1 1 1 12 1 kk a nn aaa kn k 1 2 n 2 1 1 1 1 2 n k k kk kk a 由于 a1 a2 an 从而 即 xk 00 1 11 2 2 1 1 2 1 n k kkk kk kkk aay 所求最大值为 50 分 2 1 1 1 2 n k kk 三 解 记所求最小值为 f m n 可义证明 f m n rn n m n 19 其中 m n 表示 m 和 n 的最大公约数 10 分 事实上 不妨没 m n 1 关于 m 归纳 可以证明存在一种合乎题意的分法 使所得正方形边长之和恰为 rn n m n 当用 m 1 时 命题显然成立 假设当 m k 时 结论成立 k 1 当 m k 1 时 若 n k 1 则命题显然成立 若 n k 1 从 矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D 如图 由归纳假设矩形 A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和 恰为 m n n m n n m m n 于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为 rn n m n 20 分 2 关于 m 归纳可以证明 成立 当 m 1 时 由于 n 1 显然 f m n rn n m n 假设当 m k 时 对任意 1 n m 有 f m n rn n m n 若 m k 1 当 n k 1 时显然 f m n k 1 rn n m n 当 1 n k 时 设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形 其边长分别为 al a2 ap 不妨 a1 a2 ap 显然 a1 n 或 a1 n 若 a1 n 则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 或其边界 于是 a1 a2 ap不小于 AB 与 CD 之和 所以 a1 a2 ap 2m rn n m n 若 a1 n 则一个边长分别为 m n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2 ap的正方形 由 归纳假设 a2 ap m n n m n n rn m n 从而 a1 a2 ap rn n m n 于是当 rn k 1 时 f m n rn n m n 再由 1 可知 f m n rn n m n 50 分 二二 二年全国高中数学联合竞赛二年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 说明 说明 1 评阅试卷时 请依据本评分标准 选择题只设评阅试卷时 请依据本评分标准 选择题只设 6 分的分的 0 分两档 填空题只设分两档 填空题只设 9 分和分和 0 分两档 其它各分两档 其它各 题的评阅 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分 不要再啬其他中间档次 题的评阅 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分 不要再啬其他中间档次 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评卷时请参照本评分标准适当档次如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评卷时请参照本评分标准适当档次 评分 可以评分 可以 5 分为一个档次 不要再增加其它中间档次 分为一个档次 不要再增加其它中间档次 三 三 选择题 本题满分选择题 本题满分 36 分 每小题分 每小题 6 分 分 1 函数 f x 的单调递增区间是 32 log 2 2 1 xx A 1 B 1 C 1 D 3 解 由 x2 2x 3 0 x3 令 f x u x2 2x 3 故选 A u 2 1 log 2 若实数 x y 满足 x 5 2 y 12 2 142 则 x2 y2的最小值为 A 2 B 1 C D 32 解 B 3 函数 f x 221 xx x A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数 解 A AA1B CD1D m n 20 4 直线椭圆相交于 A B 两点 该圆上点 P 使得 PAB 面积等于 3 这样的点1 34 yx 1 916 22 yx P 共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解 设 P1 4cos 3sin 0 即点 P1在第一象限的椭圆上 如图 考虑四边形 P1AOB 的面积 S 2 S 6 sin cos 11 OBPOAP SS cos43 2 1 sin34 2 1 4 sin 26 Smax 62 S OAB 6 626 max 1 ABP S 3626 点 P 不可能在直线 AB 的上方 显然在直线 AB 的下方有两个 点 P 故选 B 5 已知两个实数集合 A a1 a2 a100 与 B b1 b2 b50 若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个元素都有原象 且 f a1 f a2 f a100 则这样的映射共有 A B C D 50 100 C 50 90 C 49 100 C 49 99 C 解 不妨设 b1 b2 b50 将 A 中元素 a1 a2 a100按顺序分为非空的 50 组 定义映射 f A B 使得 第 i 组的元素在 f 之下的象都是 bi i 1 2 50 易知这样的 f 满足题设要求 每个这样的分组都一一对应 满足条件的映射 于是满足题设要求的映射 f 的个数与 A 按足码顺序分为 50 组的分法数相等 而 A 的分 法数为 则这样的映射共有 故选 D 49 99 C 49 99 C 6 由曲线 x2 4y x2 4y x 4 x 4 围成图形绕 y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为 V1 满足 x2 y2 16 x2 y 2 2 4 x2 y 2 2 4 的点 x y 组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2 则 A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 2V2 2 1 3 2 解 如图 两图形绕 y 轴旋转所得的旋转体夹 在两相距为 8 的平行平面之间 用任意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转体 设截面与原 点距离为 y 则所得截面面积 S1 42 4 y S2 42 y2 4 2 y 2 42 4 y S1 S2 由祖暅原理知 两个几何体体积相等 故远 C 四 四 填空题 本题满分填空题 本题满分 5454 分 每小题分 每小题 9 9 分 分 7 已知复数 Z1 Z2满足 Z1 2 Z2 3 若它们所对应向量的夹角为 60 则 21 21 zz zz 解 由余弦定理得 Z1 Z2 Z1 Z2 197 21 21 zz zz 7 133 8 将二项式的展开式按 x 的降幂排列 若前三项系数成等差数列 则该展开式中 x 的指 n x x 2 1 4 数是整数的项共有 个 解 不难求出前三项的系数分别是 1 8 1 2 1 1 nnn 1 8 1 1 2 1 2 nnn P9 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P10 x y OA B P1 y x x y o o4 4 4 4 4 4 4 4 21 当 n 8 时 r 0 1 2 8 4 316 1 2 1 r rr nr xCT r 0 4 8 即有 3 个 9 如图 点 P1 P2 P10分别是四面体点或棱的中点 那么在同一平面上的四点组 P1 Pi Pj Pk 1 i j0 所以只须求 x y 的最小值 令 x y u 代入 x2 4y2 4 中有 3y2 2uy 4 u2 0 y R 03 u 当时 u 故 x y 的最小值是 3 3 3 3 4 yx33 12 使不等式 sin2x acosx a2 1 cosx 对一切 x R 恒成立的负数 a 的取值范围是 解 sin2x acosx a2 1 cosx 4 1 2 1 cos 2 22 a a a x a 0 当 cosx 1 时 函数有最大值 2 2 1 cos a xy 2 2 1 1 a a2 a 2 0a 2 或 a 1 4 1 2 1 1 2 22 a a a a1 使得存在 t R 只要 x 1 m 就有 f x t x 解 f x 4 f 2 x 函数的图象关于 x 1 对称 b 2a1 2 a b 由 知当 x 1 时 y 0 即 a b c 0 由 得 f 1 1 由 得 f 1 1 f 1 1 即工 了 以 1 又 a b c 0 a b c 4 1 2 1 4 1 f x 5 分 4 1 2 1 4 1 2 xx 假设存在 t R 只要 x 1 m 就有 f x t x 取 x 1 时 有 f t 1 1 t 1 2 t 1 1 4 t 0 4 1