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一元二次方程的实根分布问题问题1. 试讨论方程的根的情况。（1） 根的个数：b、c满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？（2） 根的大小：b、c满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？一根为0？（3） 根的范围：b、c满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根大于1？说明 对于一元二次方程的根的研究，主要分为四个方面（A）有没有实数根；（B）有实数根时，两根相等还是不等；（C）根的正负；（D）根的分布范围。利用根的判别式，可以解决（A），（B），结合运用韦达定理，可以解决（C）。而要解决（D），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。思路1 （方程思想）设（1） 方程有两个大于1的实根的充要条件是： （2） 方程有两个小于1的实根的充要条件是：（3） 方程有一根大于1，一根小于1的充要条件是思路2 （函数思想）设，结合图形，则（1） 方程有两根都大于1的条件是： （2） 方程有两根都小于1的条件是：（3） 方程有两根一个大于1，小于1的条件是：令，导出下题。问题2 关于x的方程，分别在下列条件下，求实数n的取值范围。（1）有一个根小于1，一个根大于1；（2）两根均在内。解：（1）设为使有一个根小于1，一个根大于1，则有即为所求。（2）两根均在内的充要条件是即为所求。思考：（1）中为什么不考虑？（2）中为什么要考虑四个条件，缺一行吗？问题3 若关于x的方程有两个不同的实数根，且只有一根在1，2内，求a的取值范围。解：令，（1） 若方程在（1，2）上有一根。（2） 若，此时a=8, 方程的两根为适合题意。（3） 若，此时a=4，方程的两根为不适合题意。综上所述，a的取值范围是说明：在进行一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进行的，所以“D0”千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况：（1）有两个正根的条件是（当a0时，简化为）（2）有两负根的条件是（当a0时，简化为）（3）两根异号的条件是0a0，简化为c0（4）两根异号，且正根绝对值大的条件是（当a0时，简化为）（5）两根异号，且负根绝对值大的条件是（当a0时，简化为）例4如果关于x的方程3x5m0的两个实数根都小于1求实数m的取值范围分析：我们知道，两数、都为负数的条件是，那么是不是，就可由来决定呢？不，不能我们通常是将，转化为，从而由来解决解：设原方程的两个根为、，则+=，=m由题意，知1，1， 10，10 （1）（1）0，（+）+10，m+10 m1又 =9425m=940m0 m， 1m说明：利用根与系数的关系确定方程
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