附--倒立摆简介与模型

倒立摆简介倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。一. 系统组成及参数：MxmF倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入为驱动力F（N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角（rad）和小车的位移x（m）。实际倒立摆系统的模型参数：M ：小车的质量，1.096kg；m ：摆杆的质量，0.109kg；b ：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)；L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25mJ ：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kgm2；T ：采样周期，0.005秒；二设计指标：摆的角度小于0.02 rad，响应时间小于1秒倒立摆系统的数学模型应用牛顿欧拉法对倒立摆进行数学建模。1小车的运动方程对小车进行受力分析，如图1所示。图中P和N分别表示摆杆运动在水平方向和垂直方向上对小车的作用力(N)，fv是小车的摩擦力，等于。MxFfvPN图1 小车的受力分析图根据牛顿定律，小车水平方向上的力平衡方程为： (1)2摆的运动方程摆的运动由水平方向、铅直方向以及旋转方向的运动构成。以小车与摆的节点为坐标原点取坐标系，对摆杆进行受力分析，如图2所示。mgNP图2 摆的受力分析图摆杆水平方向上的力平衡方程如下 (2)将式(2)代入式(1)就得到系统的第一个运动方程 (3)摆杆垂直方向上的力平衡方程如下即 (4)由定轴转动定律：得摆杆的转矩平衡方程式为 (5)将式(2)(4)代入式(5)，约去P 和 N ，得到系统的第二个方程： (6)由式(3)与式(6)联列得到一级倒立摆动力学非线性方程组 (7)因，故可假设和，并忽略项，得倒立摆系统线性方程 (8)对方程(8)进行Laplace变换得到： (9) (10)由式(9)可得 (11)将式(11)代入式(10)，整理得摆角的传函为： = - (12)其中。将式(12)代入式(11)，得小车位移的传函为： (13)倒立摆系统设计与仿真一系统的开环特性将实际系统参数M =1.096、m=0.109、b=0.1、L=0.25、J=0.0034代入式(12)和式(13)，并用u来代表被控对象的输入力，从而得到倒立摆系统的数学模型为 (16) (17)当时，对应的响应曲线如下：可见，响应发散，系统不稳定，故需要进行闭环控制系统设计。二系统PID控制器设计f(t)=F+u(t)(t)r(t)=0K(s)G(s)1. 对摆杆角度的控制采用如下结构图：考虑到r(t)=0，将上面系统框图变成如下形式：f(t)=F+u(t)(t)K(s)G(s)图中K(s)是控制器传递函数，G(s)是摆角的传递函数。将K(s)、G(s)分别表示如下， (18)式中分别表示K(s)的分子分母多项式，分别表示G(s)的分子分母多项式。则摆杆的角度为 (19)具体设计时，根据式(15)可设、， Kp、Ki和Kd分别为比例、积分、微分系数，其中，。由式(16)知、。应用试凑法仔细调节PID参数(Kp、Ki和Kd)，使时的响应满足控制指标要求。f(t)=F+u(t)(t)r(t)=0K(s)G(s)x(t)Gx(s)2. 对小车位移的控制采用如下结构图：f(t)=F+u(t)(t)K(s)G(s)x(t)Gx(s)考虑到r(t)=0，将上面系统框图变成如下形式： (20)由式(17)知,，可见，所以式(20)可简化为 (21)具体设计时，调节PID参数，使小车的位移稳定。三 PID参数的确定 1取Kp=1000、Ki=50、Kd=5可见系统稳定，但响应振荡强，且不满足精度要求。2取Kp