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南京航空航天大学2011级硕士研究生 共 5 页 第 1 页2011 2012学年第1学期 矩阵论 课程考试A卷 考试日期：2012年1月9日，课程编号：A000003，命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩 一（20分）设。 （1） 求的特征多项式和的全部特征值； （2） 求的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；（3） 写出的Jordan标准形。（1）， 3的特征值； 3（2）的行列式因子； 3的不变因子； 3的初等因子； 2的最小多项式; 1（3）的Jordan标准形。 5共 5 页 第 2 页二（20分）（1）设，求；（2）设，证明：（i）对阶酉矩阵和阶酉矩阵，有； （ii）若，为的全部正奇异值，则。（1） 2; 4; 2. 2(2)(i) 5(ii) 因为，则由奇异值分解定理知，存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，使得，其中，从而 5共 5 页 第 3 页三（20分）设，.（1） 计算A的满秩分解；（2）计算广义逆矩阵；（3）用广义逆矩阵判定线性方程组是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。 （1）； 8（2） 2 6（3）因为，所以不相容。 2 的极小最小二乘解为。 2共 5 页 第 4 页四（20分）（1）设，判断是否是正定或半正定矩阵，并说明理由；（2）设是n阶Hermite正定矩阵，是n阶Hermite矩阵，证明：相似于实对角矩阵；（3）设，均为n阶Hermite矩阵，并且，是的特征值，证明：存在的特征值和的特征值，使得。（1）因为的顺序主子式，所以不是正定的。 4 因为有一个主子式或，所以也不是半正定的。 4（2）因为是n阶Hermite正定矩阵，则存在可逆Hermite矩阵，使得，从而相似于。 3又因为是Hermite矩阵，则是Hermite矩阵。由Hermite矩阵的谱分解相似于实对角矩阵，再由相似的传递性知，相似于实对角矩阵。 3（3）因为，均为n阶Hermite矩阵，并且，则存在n阶酉矩阵，使得 。 3从而，即相似于对角矩阵。因此，如果是的特征值，则存在的特征值和的特征值，使得。 3共 5 页 第 5 页五（20分）设表示实数域上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间。 （1） 确定的维数，并写出的一组基；（2） 对，在上定义线性变换如下：，求在（1）中所取基下的矩阵表示；（3） 求（2）中线性变换的值域和核，并确定它们的维数；（4） 在中定义内积求的一组标准正交基。（1） ， 2的一组基为。 3（
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