光孤子传输特性研究.doc

本科毕业设计（论文）说明书光孤子传输特性研究学 院：理学院 专 业：光信息科学与技术姓 名：黄国辉 指导老师：陈武喝 副教授 提交日期：2013-06-01需要matlab动画演示与程序的学弟们，可以发邮件到276204344联系摘要本文对光孤子的概念进行了较为详细的讨论。从最基本原理出发，给出了光孤子传输方程的详细推导，对传输方程中的每一项都阐述了其物理意义。利用数值方法仿真了无损光孤子传输，验证了理想情况下，光孤子巨大的通信潜力。接着通过数值计算中的差分法，仿真实验了孤子源啁啾对光孤子传输的影响，得出了当啁啾强度较大时，将严重影响通信质量。利用matlab数值计算仿真实验了单信道中相邻孤子的相互作用，得出了当相邻孤子相距较近时，将大大增大通信的误码率。关键词：光孤子；色散；非线性AbstractIn this paper, the concept of optical soliton are discussed in detail. From the most basic principle, the optical soliton transmission equation is derived in detail, for each item in the transport equation are expounded its physical meaning. Using numerical method to simulation the non-destructive optical soliton transmission, ideally, is verified its huge potential optical soliton communication. Then through numerical calculation of finite difference method, the simulation experiment in the effect of the soliton source chirp optical soliton transmission, concluded that when the chirp intensity bigger, will seriously affect the quality of communication. Using matlab software simulats adjacent solitons interaction in single channel commucation,and makes a conclusion thar the communication will be draw apart when adjacent solitons are relatively close, and will greatly increase communication error rate. Keyword: optical soliton; chromatic dispersion; nonlinear目录摘要IAbstractII第一章 绪论11.1课题研究背景11.1.1孤子的发现与相关概念11.1.2典型孤子方程及研究方法11.2光孤子介绍21.2.1光孤子分类21.2.2光孤子通信简介31.3论文内容的主要安排4第二章 孤子一般性质62.1本章简述与目的62.2孤子形状62.3孤子相互作用72.4本章小结10第三章 光孤子通信方程123.1光孤子通信方程123.2本章小结17第四章 光孤子传输特性研究184.1 NLS方程简介184.2色散效应184.3非线性效应214.4光孤子传输特性224.4.1无损光孤子传输224.4.2影响光孤子传输的因素244.4.3色散管理孤子264.4.4 准光孤子小论27总结30参考文献31第一章 绪论1.1课题研究背景1.1.1孤子的发现与相关概念英国科学家Scott Russell在1844年他所作的报告波动论中描了这样子的一个有趣现象：一个波形不变的单个凸起的水团在河水里传播了2英里后，在河的拐弯处消失。Scott Russell仔细研究了这种现象并且察觉到这种现象绝非一般的水波，不可能是波动方程的解，并将其命名为”孤立波”。经过后续的一系列的观察与实验，Scott Russell总结并给出了下面的结论：孤立波”处处正则，不存在奇异性，并且不扩散，它是流体力学中的一个稳定解1。直到1895年kortewey和devries建立的kdv方程才从理论上面解释了”孤立波”现象。其后，卡维特等人对此现象进行了进一步的深入研究，致使人们对孤子有了更清楚深刻的认识，并先后发现了声孤子、电孤子和光孤子等现象。从今天的物理学的观点来看，孤子是物质非线性效应的一种特殊产物。从数学的观点上看，它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解。也就是说，这类特殊解能始终保持其波形和速度不变。孤立波在互相碰撞分离后，仍能保持各自的形状和速度不变，就好像粒子相互作用后的结果一样，故人们又把孤立波称为孤立子，简称孤子。后来类似的现象在光纤通信中被发现。从此，逐渐产生了新的基于光纤通信的电磁理论光孤子理论，从而把通信有线性通信引向非线性光纤孤子传输系统这一新领域。光孤子（soliton）就是这种能在光纤中传播的长时间保持形态、幅度和速度不变的光脉冲。利用光孤子特性可以实现超长距离、超大容量的光通信。对于非线性效应，人们经过反复的实验与研究，总结出一些比较有趣现象，只要存在非线性效应，系统就会由非平衡态向平衡态过度，或者这样说，系统会反复地遍历各种状态。流体孤子是这种非线性效应的一个特例，因而我们可以这样子来认识孤子，孤子效应是非线性效应的一个特殊解或者说成是一个非线性效应的一个重要的分支。尽管从孤子的第一次发现到现在已历百余年，但历史上还没有人给孤子下过准确的定义。下面我们可以引用李政道教授的一番话以加深对孤子的感性理解。”在一个场论系统中，如果有一个经典解，它在任何的时间都束缚于空间的一个有限区域内，那么，这样的解就叫做孤立子解”。1.1.2 典型孤子方程及研究方法下面将给出一些存在孤子解的非线性方程。描述浅水波的kdv方程： (1-1)该方程也可以描述冷等离子体的磁流体波运动、非谐振晶格的振动、等离子体离子声波等。描述无损耗光纤通信中的光孤子的非线性薛定谔方程(NLS)（1-2）上面给出了两种十分典型的孤子方程，当然还有很多非线性的偏微分方程存在孤子解，这里就不一一列举了。历史上有一大批科学家对这些方程的孤子解做出过很多贡献。其中包括孤子的行波解，然而行波解只能说是这些非线性方程最简单解，但还远远不能够完全描述孤子的各种性质。对于求解孤子方程的解析解，有一些很经典的方法，其中包括逆散射、Hirota、Backlund变换、Darboux变换、微扰法等。然而这些方法都存在着诸多限制于局限性，第一，对于方程的初始波注入的要求非常严格，也就是说对于一种特殊的注入可以得到解析解，而对另外一种稍微有一点改变的注入就不能得到解析解，因而其对于一般的初始注入，就描述不了其注入后的演化过程；第二，真正能严格得到解析解的非线性方程屈指可数。鉴于此，数值计算理论所起的作用就不可忽视了，甚至可以说在现代的孤子研究中，数值方法占了主导位置。一般来说数值方法可以分成两类，有限差分法与函数逼近法。一般来说，由于计算机的发展，数值计算理论对于各种偏微分方程的求解过程似乎是无所不能的，不像求解解析解那样受到那么多的限制2。然而最好的方法也有其弊端，再笨的方法也有其有利的一面，关键是看怎么用。比如后面将要看到的高阶光孤子空间周期性的问题，数值解只能给我们看到现象却不能告诉我们为什么会出现周期性，但是解析解却能告诉我们其中的原因。1.2光孤子介绍1.2.1 光孤子分类光孤子效应是光纤中线性效应与非线性效应达到平衡时所出现的一种现象，可以分成两类。时间光孤子（时间域），非线性自相位调制（光强引起光纤折射率变化）和光的色散效应达到平衡时所产生的光孤子，表现为光脉冲在传输过程中形状不变。时间光孤子主要应用潜力在于长距离高速率的光通信传输上面。空间光孤子（空间域），通过自聚焦或自散焦效应平衡衍射效应得到的空间光孤子，表现为与传播方向正交的横向光束保持不扩散3。空间光孤子应用于集成光学元件之间的连接和光信息储存处理（例如光开关）。光孤子通信里面研究的对象主要是时间光孤子，本文的研究对象因而是时间光孤子。1.2.2 光孤子通信简介以光孤子为信息载体的光纤通信称为光孤子通信。在无损耗光纤中，光孤子传输方程满足非线性薛定谔方程(NLS),由于光孤子的性质，从理论上讲，如果光纤是无损耗的，那么光孤子的通信距离将是不受限制的，这样子的通信效果将是十分具有诱惑性的。然而现实中存在着几个不能忽视的问题，第一，非线性薛定谔（NLS）方程对初始注入非常的敏感，初始注入如果有稍微的偏差（比如中心频率的漂移与抖动），对光孤子的演变将产生一定的甚至是破坏性影响，这里对应的就是激光器的啁啾问题，因而这对孤子源来说是一个很大的考验，本文将对啁啾所产生的影响做一个仿真实验。第二，光孤子与光孤子之间是存在着相互作用的（主要表现为孤子间的相互排斥或者相互吸引，主要取决于两者间的相位），而且这相互作用在整个通信传输上不停滴重复，这对接受终端来说是一个很大的考验，为了不影响通信的质量，一般的解决方法是加大孤子间的间隔(一般为孤子脉宽的六倍左右)或者使相邻孤子采取不等幅度传输或者对相邻孤子的相位采取精确的控制，还有一种方法就是采用准光孤子通信，这里不展宽讨论。当然还有其他的影响，这里就不展开了。光纤中不可能没有损耗，因而光损耗对光孤子的影响是不可忽视的，现在采用的解决方法是掺饵光纤放大器(EDFA)，因为这项技术，光孤子的通信已经能在不降低速率的前提下传输上万公里。色散管理孤子是一项已经投入实际应用的传输方式，本文将对色散管理孤子理论做初步的探索。光孤子通信的研究至今为止以历40多年，时间光孤子概念自1973 年产生后，掀起了孤子通信的研究热潮。直到1980 年观察到光纤中光孤子的形成和变化，并且初步完备了光纤孤子的实验和理论研究。1981 年Hasegawa 与Kodama 提出在光纤通信中使用光孤子作为信息载体，正式揭开光孤子通信的序幕。20 世纪90 年代，随着可以消除群速度色散对光纤通信速度限制的色散位移光纤和结构简单可以较高频率重复的半导体孤子激光器的出现，光孤子通信技术日趋完善，进入实用化阶段。21 世纪以来，通过采用了色散管理孤子系统、拉曼放大器、动态增益均衡等新技术，实现了超大容量和超长距离的传输4。在光孤子通信研究上面，相对于我国来说，欧美日国家处于绝对领先的地位，这些国家的研究已经走出了实验室。2001 年6 月, 英国Marconi 公司更是推出基于孤子的Smart PhotoniX UPL160 商用系统，似乎意味着光孤子通信指日可待。我国对于光孤子的研究始于上世纪八十年代末，由于种种的原因，研究进展缓慢，并且仅仅集中于基础理论的研究5。总体上说，研究的水平与国际先进水平还存在着较大差距。鉴于我国的经济发展与光孤子通信在我过的巨大应用前景，相信在不久的将来，光孤子通信理论的研究与应用会在我国迎来一个另一个春天。1.3论文内容的主要安排在毕业设计的学习阶段，将通过对一些基础课程理论和针对性很强的专业课程进行相关学习，将要完成以下的任务。在第一章简要介绍一下本课题的研究背景及研究方法与研究现状还有本课题的任务。第二章将要利用matlab软件仿真实验浅水波方程kdv的传输过程，以便对孤子的特性有一个感性的认识。第三章将从最基本的原理出发详细推导出光孤子的传输方程，以便更好地理解传输方程中每一项的物理意义。第四章将结合现实的情况从简单到复杂地给出各种修正的非线性薛定谔(NLS),并对其进行数值仿真，以便对实践提供一些参考的意见。接着将对色散管理孤子以及准光孤子通信理论进行简要的讨论。第五章，将对本设计做一个全面的总结，总结一下在这个过程中的所领与所悟。第二章 孤子一般性质（多信道通信性质）2.1第二章简述与目的在此之前我们在第一章给出了两类孤子方程，分别是浅水波方程kdv与非线性薛定谔方程(NLS)，我们注意到NLS方程式是涉及到复数的，而kdv方程中不出现复数系数，也就是说kdv方程涉及到真正的水波幅度，不涉及到频率，而后者涉及到的是脉冲包络。显然分析后者显得更加容易，然而得出来的孤子性质同样适用于光孤子的光脉冲包络，因而我们首先利用kdv方程对孤子的性质做一个初步分析，以便对孤子的性质有一个感性的认识。2.2孤子形状根据已有的观察现象，我们可以做以下的合理的想象与假设，流体孤子在传播过程中应该保持形状不变，再结合流体孤子在水波中传播的物理性质，我们可以大胆地提出孤子的传播速度是不变的。假如我们跟着流体孤子以同样的速度前进，那么我们就能看到一个”静止”的水波，在这种假设下根据kdv方程得到的孤子解就是我们在数学物理方程中常常遇到的行波解，下面我们就探讨孤子的行波解。浅水波kdv方程(2-1)为简单起见，可以kdv方程中的我们取为1，这将不影响下面经行的讨论，并进行以下的坐标变换，这样子我们就可以跟着流体孤子一起前进，从而看到静止的水波。，(2-2)其中是流体孤子传播速度，通过具体的物理条件我们可以得出其具体值，代进去我们得到(2-3)两边同时进行第一次积分可以得到(2-4)当， ，结合上式可以得到(2-5)令,即，再利用分离变量积分的方法，我们得到(2-6)基于同样的理由最后得到(2-7)有(2-8)查阅相关的数学手册比结合相关的条件我们得到下列的流体孤子形状方程(2-9)为双曲正割函数，其形状如下图所示图2-1：流体孤子形状到现在我们可以再来回味一下李政道先生对孤子解的理解，我们将会有一番更加深切的体会。然而我们依然要记得，孤子解只是非线性方程的一类特殊解。2.3孤子的相互作用在以前的学习中，特别是数学物理方程的学习中，有一个概念在我们的脑海中深深扎根，那就是”波”的相互作用满足叠加性，分离后互不干扰对方，然而这是有前提条件的，那就是这样的”波”满足的偏微分或者是微分方程是线性的。孤子方程满足的是非线性方程，叠加性当然就不满足了6。然而在通信的角度来说，特别是波分复用中，不同频率的光孤子的传播速度不同，重叠分离后所产生的影响是很重要的一个需要考虑的因素。下面我们就仿真实验流体孤子间的相互作用。其结果同样适用于光孤子。在相互作用的过程中，想求其解析解，已经是一件非常困难甚至是不可能的的事情了，在此我们可以利用数值方法仿真模拟流体孤子间的相互作用。在这里我们可以做一些合理的假设，当两个流体孤子相距很远时，它们可以看做两个相距很远的单个流体孤子，那么在2.2中得出的结论仍然可以使用，此时使用叠加性也不会影响仿真的结果，但是当相距很近时，就要利用动力学方程经行仿真了。对于一阶偏导我们用中心差商近似，对于高阶偏导，原则上也可以用高阶差商近似，然而此时它的精度已经不满足要求了，因此采用局部多项式插值求导的方法，多项式的次数我们取到4，这样子就可以保证精度要求了。建立矩阵幅度，其表示在距离、时间处的孤子高度。浅水波孤子方程：(2-10)做以下近似变换(2-11)为时间步长，精度为(2-12)对于，我们采用局部多项式插值求导的方法取为样本点则多项式插值函数为则有如下变换(2-13)我们把2-11，2-12，2-13代入2-10得到下列地推关系式 (2-14)有了2-14式，我们便可以编写matlab程序对其进行数值计算了。上述递推公式有一个需要注意的问题，对于我们用不了中心差商，这里我们利用一阶差商。由于采样点涉及到5点，对于边缘上两点，我们用不了2-14式，这里我们采取一个办法，那就是把矩阵的左边缘和右边缘的点连接起来，这就好比如把一条直线的两端连接起来，构成一个圆。这样子边缘点的问题就解决了，公式2-14就可以用了。这样子做有其合理的一面，当空间取到到时，两端的数值其实是相等的，这就相当于两端是连起来的一样。因而上面的做法是对现实情况的一种合理模拟。我们建立下列的情景，有两个相邻的流体孤子，在初始时刻时，他们的流体孤子波峰分别位于处。初始时刻，结合2.2的结论，我们有下列表达式 (2-15)综合利用2-14和2-15我们便可以仿真模拟整个孤子相互作用的过程。下面直接给出仿真结果。图2-2：孤子相互作用 ( a)t=0s时流体孤子相互作用 (b) )t=3s时流体孤子相互作用(c) )t=6s时流体孤子相互作用 (d) )t=9s时流体孤子相互作用(e) )t=12s时流体孤子相互作用(f) )t=15s时流体孤子相互作用图2-3孤子相互作用在此仿真实验中，我们发现了孤子的一些有趣现象，孤子越窄，孤子越高，传播速度越快，当两个孤子完全重叠在一起时，孤子的峰部居然下降了，这与我们平常所了解的波的叠加完成不同，这就是非线性效应的有趣现象。分离后，孤子的形状几乎不变，只能说相互作用的期间，他们的相位发生了变化，可以说成是相互作用期间，速度发生了抖动，因而其也会引起到达终端的时间抖动。上面研究的是两个传播速度相差较大的孤子相互的作用，如果他们传播速度一样，且相距很近，那么会出现如何的现象，这将在光孤子传播中讨论。2.4本章小结在这里第一次感觉到了数值计算的威力，然而在写程序的过程中依然遇到了一些严重的问题，就是精度与收敛问题，而且这个问题常常会引起计算结果的发散以至于完全仿真不了流体孤子的运动情况。开始写程序时，我利用的是左差商或者是右差商直接代替微商，其精度为自变量的一阶无穷小，关于边缘点的处理，开始的时候也没有把左右边缘给连接起来，而是直接把他定义为零不随时间而变化，这样子就破坏了初始注入的条件，这样做导致的结果就是计算结果发散，过不了一会就趋向无穷大。尝试把步长缩小，结果还是发散。后来翻阅了肖筱南先生写的现代数值计算，采取了一些优化方法，例如中心差商代替左差商或右差商和多项式局部插值法代替高阶差商，效果才有了比较大的改善，但是发散的问题还没有解决，后来我把问题定格在边缘点的处理上边去，认为刚开始的方法不能很好的模拟现实的情况，采取的解决方法就是，把左右边缘点给连接起来计算，这不是随便乱来的，而是由依据的，思想基本上就是来源于直线与圆在一定情况下是可以互换的思想。在仿真模拟过程中发现步长的取法也是要讲究的，对于某一些步长结果是不发散的，对于另外一些步长结果却是发散的，至今我还是不能够回答为什么，可能是因为理论不够扎实吧，自己要亲自尝试一下才知道结果。对于初次接触数值计算，在这一章中得到了好大的锻炼。第三章 光孤子通信方程3.1光孤子通信方程下面将结合所学的相关知识对光孤子的通信方程非线性薛定谔方程（NLS）做一个全面的了解，认清其物理内涵。介质中的麦克斯韦方程组为： (3-1)(3-2) (3-3) (3-4)在光纤介质中，自由电荷密度和自由电流密度都为07。所以光纤介质中的麦克斯韦方程组为 (3-5) (3-6) (3-7) (3-8)其中有如下的关系式 (3-9) (3-10)在光纤中，传输介质对磁场并不敏感，所以这里的相对磁导率由于光接收器件对磁场并不敏感，故这里只关注光电场的变化。结合3-63-10有 (3-11) (3-12)在同一均匀介质中可认为束缚电荷，故可认为故，应此光孤子在光纤中传输时满足以下方程。 (3-13)当一定频率的外来电磁波作用到电子上面时，电磁波的振荡电场作用到电子上面（相对于光来说，电子做的是低速运动，因而相对于电场来说，磁场对电子的作用可以忽略不计），使电子以相同的频率振动同时把入射波的能量部分辐射出去，叠加到原来的电场上面。宏观的表现即是介质的折射率发生了变化，其决定于极化强度和磁化强度，对此我们着重研究与入射光频率关系。当入射光波的强度不大和脉宽较宽的情况下，折射率的非线性效应并不明显可以忽略不计。由于入射光场的作用，引起介质的电极化效应，极化率为： (3-14)虚部代表着介质对入射光的吸收 (3-15) (3-16)所以折射率 (3-17)其中为吸收系数为入射光波的频率，该公式的具体推导可以参考电电动力学书籍中关于电磁场与电子相互作用的一章当入射光波为窄脉冲高强度光波时，介质的非线性效应表现出来，对于克尔型光纤介质，存在以下的非线性效应。(3-18)对于更加高阶情况我们不考虑，则有 (3-19) (3-19)为相对电容率，则(3-20)有了上述准备后，现在我们尝试建立模型：建立柱坐标，轴沿着光纤中心。入射波的为准单色波，中心角频率为 ，对于入射光波，我们设 (3-21) 为慢变包络，表征电场的瞬变，这里的频率以负频来表示，表示矢径，不是柱坐标中的一个分量，真实的电场取实部，这里为表示方便，用复数表示，下同同理可设 (3-22) (3-23)把3-213-23分别代入3-18对应相等的 (3-24)= (3-25)式3-13可进一步变形为 (3-26)在这里我们进行下列的推导假设 (3-27)因为为慢变包络，所以实际处理时我们可以认为为常数，同时我们假设为的微小扰动，这些假设对于近似描述光孤子的传输都是合理的8。把式3-213-23代入式3-27并且根据式3-24，3-25和以上假设这里的到下面的式子 (3-28)由于这里的线性色散是入射光的非单色性引起的，故我们转到频率去研究，并且由于上式是线性方程，故我们可以利用傅里叶把其变换到频域去研究。 (3-29)由于前面的电场表示采用的负频率表示，故这里的变换反了过来9。对3-28进行傅里叶变换得到(2-30)即 (3-31)利用分离变量法设 (3-32)其中为慢变包络，为瞬变部分，这里采用的是正频表示。由电动力学及光纤通信的知识可以知道与光纤的边界条件决定的光波的模式，因此也决定了传播，把3-32代入3-31得到如下的方程。 (3-33) (3-34)为使方程3-33满足的系数，由于为慢变的包络，故其二阶导可以忽略10。即 (3-35)在这里我们只考虑单模光纤的光孤子传输方程因为 (3-36)我们不妨设方程在方程3-33的其对应的本征值为即有(3-37)对于，有近似公式(3-38)把该近似式应用到3-35我们进一步化简了频域内的波动方程 (3-39)由于入射光是准单色光 (3-40)对上式经行傅里叶逆变换，我们得到 (3-41)其中 (3-42)代入3-41整理的 (3-43)通过观察上述式子，我们可以说反应了色散效应对包络的影响，反应了非线性项对包络的影响。反映了光损耗。我们引入参考下，其以群速度沿着光轴方向传播，所以可以做如下变换，这样做就相当于让时间静止了下来，以便更好地观察光脉冲随传输距离的变化是如何变化的。(3-44)代入得到下式 (3-45)下面我们进行归一化处理，设输入脉冲的峰值功率为，脉宽为，令 (3-46)代入3-45得(3-47)下面在对距离进行归一化处理令，不妨称为色散长度，代入3-47的 (3-48)令，不妨称其为归一化光损耗系数，,这里称为孤子的阶数，具体为何这样称呼，可以参考逆散射法对NLS方程的讨论。这样子便得到了带损耗系数的关于光脉冲包络的非线性薛定谔方程(3-49)当为负数时，也就是说光脉冲在反色散区传播时，并且为0即光损坏为0时，上式变简化为第一章所提到的非线性薛定谔（NLS）方程。3.2本章小结本章对光孤子通信方程的来龙去脉做了一个较为全面的了解，但是在这个过程中还是有一些不全面的地方，比如，如果二阶色散为零时，那么是不是可以说就不存在色散效应了，那么色散效应与非线性效应如何做到平衡了，这时候就应该把三阶色散效应考虑进去。在下一章，我们将根据各种实际的情况对3-49式进行修正，并进行仿真实验。第四章 光孤子传输特性研究（单信道）4.1NLS方程简介可以这样说，光孤子通信的理论基础是非线性薛定谔(NLS)方程，前人已经对其经行过深刻的研究，在这里我们回顾一下，并且利用一些前人已经的出来的结果。美国贝尔实验室的A.Hasegawa大胆地预言了在光纤地负色散区可以观察到光孤子的存在，也就是说。结合光孤子应该满足的性质，前人已经推导出初始注入为，也就是双曲正割函数。我们把做以下的变形 (4-1) (4-2)观察上述式子，把各项单独出来考虑，光损耗项为实数，直观的认识告诉我们，光损坏项目将影响包络的幅值，即影响其能量，使能量减小，但不影响其相位，即不影响包络形状；色散项与非线性项都为虚数，它们都影响包络的相位，也就是使其形状发生变化，但这两项并不会随着时间而改变光脉冲包络的总能量。通过上面的分析，这里便有一个这样的结论，如果色散项与非线性项能够时时达到平衡，那么包络就可以不改变现状地传播，这正是光孤子通信所诱人的地方。下面我们正式针对NLS做一些讨论。4.2色散效应忽略光损耗项与非线性项目，下面我们仅仅针对色散效应做一个仿真实验，我们取用负色散区，则4-2式变为(4-3)为了观察其随时间的演化过程，利用数值计算方法做近似，建立点阵，则采用中心差商近似一阶偏微分，则有(4-4)对于，我们同样采用第二章中提到的局部多项式插值求导法近似，同样采用四次多项式逼近，通过计算得到下式(4-4)把4-3，4-4代入4-2得如下递推公式(4-5)利用上面的递推公式便可以仿真色散效应对传输包络的影响，下面直接给出仿真的结果，设初始注入为双曲正割函数，如下图所示图4-1：初始位置注入包络形状图4-2：色散效应对包络的影响 (a) (b)图4-3：色散效应二维图由图4-2和图4-3验证了色散效应对光脉冲包络的一般性认识，即随着时间的延长或者说随着传播距离的增加，色散效应将时本来空间有限的光脉冲包络在整个空间上扩展，并且最终使信号不可被接受终端识别。从通信的角度来看，脉冲的展宽必将限制通信的距离。光纤线性通信中的各种设备很多是针对波形的整形与再发送的，这严重地影响了通信的速率。现代通信中有采用色散管理来改善通信的质量，比如采用正负色散交替变化的光纤，这样子光脉冲包络就能够先扩展后压缩的过程，并且不停地重复，但其也有几个缺点，第一就是空间上的周期性不明显，这就给接受终端带来了麻烦，第二，对于超短光脉冲超高速率通信将造成通信质量的下降。4.3非线性效应忽略色散项与光损耗项，仅考虑非线性项，并令则3-49式变为 (4-6)基于同样的方法，则能得到下面的递推公式 (4-7)下面直接给出仿真实验的结果。图4-4：时域非线性效应通过仿真实验我们发现了一个有趣的现象，非线性效应对光脉冲的包络（仅限于特殊的初始注入）毫无影响，那么我们是否可以说，非线性对光脉冲真的一点影响也没有呢？不见得，我们转到频域去研究，下面给出初始位置时刻的光脉冲的频谱与经过五个归一化距离后的频谱。(a)初始位置处的fft变换 (b)五个归一化距离处的fft变换图4-5：非线性效应的频域分析通过观察图4-5，我们发现由于非线性效应的作用，光脉冲包络在频率域出现了比原来更加大的频率范围，这可以用正啁啾作用来解析。这里我们再一次返回色散效应，在反常色散区，色散效应对光脉冲的影响，可以用负啁啾作用来解析。当色散效应与非线性效应共同作用时，一正一负的啁啾效应就有可能抵消，从而就出现了能过稳定传输的光孤子通信。若在正色散区域，由于色散效应产生了正啁啾，非线性效应也出现了正啁啾，因而我们可以下这样的结论，在正色散区域，非线性效应将加速光脉冲的扩宽素的，而在负色散区域，色散效应与非线性效应有可能达到平衡。下面我们就来研究光孤子通信。4.4光孤子传输特性4.4.1 无损光纤光孤子传输对于无损光纤，则4-2中的，在反常色散区域光孤子的传输方程满足下列形式。 (4-8)基于同样的方法，下面直接给出上公式的离散递推公式。 (4-9)下面我们直接给出仿真的结果，初始注入为双曲正割函数。(a)一阶无损光孤子传输 (b) 二阶无损光孤子传输(c) 三阶无损光孤子传输图4-6：无损光孤子传输观察上面三张图片，提取其共同的性质，现在再一次回忆一下李政道教授的话，我们可以说图九的三种情况都能说成是孤子解，因为在任何的一个时刻上，它们都被限制在有限的空间上，二阶光孤子，三阶光孤子呈现周期性变化，不断地遍历各态，这也算便验证了非线性效应的一个重要特性从非平衡态向平衡态过度。由于二阶，三阶光孤子在传播过程中形状发生变化，尽管具有周期性，但对于传输来说依然造成了影响，而一阶光孤子能实现无形变传输，故一阶光孤子被用于进行光信号的传输。通过不停地在正色散区和反色散区改变的值，可以得出下面的规律。在正色散区，非线性效应加速了光脉冲的弥散速度，在反色散区，当N较小时，非线性效应减缓了光脉冲的弥散，但弥散依然存在，当N较大时，即非线性效应较明显时，光脉冲被限制在一定的空间上，并且随着时间的推移，不断地遍历各态。对于高阶光孤子，其光脉冲时而被压缩，时而被展宽，但其展宽的程度不会超过初始注入时的脉宽。4.4.2 影响光孤子传输的因数虽然光孤子具有十分诱人的传输特性，但其依然受限于现实中各种实实在在的限制，这也是为什么光孤子通信的理论虽然十分深入，但实际上的应用却迟迟没有来到的原因，下面给出这些影响光孤子传输的因素，并分析其对光孤子传输的影响。在理论上，光纤的光损耗是不可消除的，只能无限地接近其极限值。非线性效应与光强度成正比，光损耗将使随着传播距离的增加而减弱非线性效应，因而可以说光损耗的一个重要影响就是使光脉冲展宽。下面直接给出仿真实验的结果，初始注入依然为双曲正割函数，光损耗不在为0，如下图所示。可见随着传播距离的增加，光脉冲逐渐展宽。图4-7：光损耗对光孤子影响一个严重限制着光孤子传输带宽利用的因数就是相邻孤子间的相互作用，光孤子间存在着吸引或排斥作用，这取决于相邻孤子间的相对相位11。当相邻孤子靠的太近，由于相互作用，势必严重增加误码率，孤子相隔太远又将影响带宽的利用。下面给出不考虑光损耗时的孤子间相互作用的仿真实验图。如下图所示。可见，相邻孤子不断地重复着相互吸引接着又相互排斥的过程，这对接受终端来说是一个很大的挑战。有通过控制相邻孤子相对相位的方法来减少相邻孤子相互作用的做法，但这涉及到精密控制，必将增加成本。图4-8：相邻光孤子相互作用光孤子对初始注入非常敏感，因而孤子源的啁啾将是一个不可忽视的因素，由于孤子源不可能是理想的，因而初始注入时存在啁啾将是不可避免的。设初始注入为，用来描述啁啾强度。啁啾对光孤子包络的影响如下图所示。其将要经历一个先压缩后展宽的过程，且展宽超过了初始位置。不停地改变啁啾强度，发现当较少时，啁啾的影响可以忽略不计，较大时，因其而产生的展宽就严重影响通信的质量。图4-9：相邻光孤子相互作用时间抖动，在多信道中，由于不同信道的群速率不同，当不同信道的光脉冲包络相遇时，其相互作用就如第二章中对流体孤子的讨论那样，其分离后，各脉冲包络形状几乎不变，然而在相互作用时将会引起各脉冲的相位变化，其到达接收器的时间也引起产生抖动。除了多信道会引起时间抖动外，放大器的自发辐射噪声（ASE），也就是著名的G-H效应也会光脉冲到达接收端的时间发生抖动，而且其正比于色散。上述两者都给通信造成了一定的影响12。4.4.3色散管理孤子虽然基态光孤子传输是理想的，但是要在现实中实现基态光孤子的传输是不现实的，理由如下，其一基态光孤子只存在于无损光纤中，这明显不能满足；其二，孤子间的相互作用将严重地限制了带宽的利用，有通过控制相邻孤子的相位来减少他们的相互作用，但是这需要十分精密的控制仪器，对于现有的技术和成本来说是一个挑战；其三，实现光孤子传输是否意味着要重新铺设光缆，这也是一个很重要的问题。当然还有各种原因限制这基态光孤子的应用，这里就不一一列举。为了在现有的光纤上面实现通信升级，光孤子传输将会是一个很好的选择，然而传输基态光孤子是不现实的，为此通过色散管理孤子来实现通信的升级就是一个可行的方法13。在日本的东京，就有一个项目是在色散管理的基础上通过已铺设的光缆实现了孤子通信升级，这对全世界来说是一种巨大的鼓舞。在色散管理情况下，光脉冲在一个空间周期中经历展宽与压缩最后恢复原状，其周期性比传统意义上的色散管理明显的多，这为接受终端提供了方便。下面就色散管理孤子的数学理论做一个简要的描述。在(31)式的基础上，可以直接得出色散管理孤子所满足的传输方程(4-10)，分别是归一化光损耗系数，归一化放大距离，归一化色散函数。观察4-10式，我们可以这样子对其解析，放大器的作用就是使光脉冲每次经过放大器时是光脉冲的能量恢复到原来的值。函数决定了色散管理的方式，一般来说是周期函数，经过每一个周期，光脉冲形状恢复到原来模样。由于光损耗与光放大项的存在，对于如何比较好地分析变的不容易，想办法把光损耗项目消去是一种较好的分析方法，一般引入如下的变换。(4-11)其中为实函数，其对应光损耗项与光放大项对光脉冲包络的影响。把上式代入4-10得(4-12)令(4-13)上式的解为 其中， (4-14)即有下面关于包络的包络方程。(4-15)对于一个色散管理周期（与放大周期一致），平均的非线性系数(4-16)对应于光纤的色散管理。其可以为现有的标准光纤。一般来说色散管理孤子传输方程只有在确定了光脉冲形状和光纤的色散管理图后，然后通过不断地通过调整脉宽，初始啁啾和光脉冲峰值功率的情况下寻找其有意义的解14。传统意义上的色散管理仅仅针对色散效应的，虽然其光脉冲也经历先扩宽后压缩的过程，但相对于色散管理孤子来说，前者的空间周期性与传输速率就明显地逊色了4.4.4准光孤子传输小论从理论上来说光孤子具有十分诱人的传输特性（稳定传输，高速率，大容量），甚至可以作为理想的通信传输手段，但是由于现实条件的种种限制，致使其尽管在理论上出现了近半个世纪并且十分完善了，应用却迟迟没有来到。为了对现有的光纤通信系统进行升级，除了在对色散管理孤子进行大量研究外，最近十几年出现的准光孤子通信理论被认为是下一代光纤通信领域中一个非常具有前途的发展方向。准光孤子的概念是Kumar和Hasegawa与1997年首先提出的。关于准光孤子的概念应该这样子来理解：在光孤子满足的传输方程的基础上（考虑了光损耗），用一个合适的，持续的色散管理方法，可以从一个修正的非线性薛定谔方程通过数值方法得到一个精确解，用这个精确解可以构造一个能在光纤中稳定传输的光脉冲15。下面就其数学理论做一个简要分析。考虑光纤损耗，对于无中继传输，传输方程为： (4-17)其中U为归一化振幅，左边第二项为随光纤位置而变化的色散变量，左边第二项为非线性项，右边的一项为光损耗项。为了去除光损耗项目。做以下的变换 (4-18)其中=exp(4-19)把上式代入4-17式并整理的 (4-20)引入以下的变量 (4-21)并引入一个带有啁啾的初始注入脉冲 (4-22)其中，p，v都是关于距离的实函数，选择合适的色散分布 (4-23)把式4-22，4-23代回式4-20，从而得到 (4-24)为简化4-24式，做以下的假设(4-25)则4-24式可以话为标准的非线性薛定谔方程。设(4-26)把式4-25，4-26代回式4-24得到 (4-27)通过解4-27式就可以确定准光孤子的波形。理论研究表明，相对于传统意义上的光孤子，准光孤子克服了光孤子的许多缺点，比如准光孤子的脉冲宽度比光孤子窄，从而可以更好地利用带宽，同时准光孤子对输入脉冲的要求也没有光孤子严格，这样子就可以在发送端降低成本。第五章 总结光孤子及其衍生的通信方式因具有低成本、高速路、大容量等潜在的诸多优点，正被越来越多的通信领域科研工作着所重视。本课程设计主要做了以下几方面的工作。（1） 从基本原理出发对光孤子传输方程做了详细的推导，对光孤子传输方程中的每一项解释了其物理意义。（2） 用matlab软件利用差分递推方法对理想一阶、二阶、三阶光孤子的性质经行了仿真实验，验证了光孤子作为下一下通信方式的应用潜力。（3） 用matlab软件仿真实验了影响光孤子通信的因素，其中包括光损耗对光孤子的影响，初始啁啾对光孤子的影响，孤子