第二章 点集论

第二章点集论 1度量空间 n维欧式空间 2聚点 内点 界点 3开集 闭集 完备集 4直线上的开集 闭集及完备集的构造 1度量空间 n维欧式空间 1 度量空间 设是一个集合 若对于中任意两个元素 都有唯一确定的实数与之对应 而且这一对应关系满足下列条件 的充要条件为 对任意的都成立 则称是之间的距离 称为度量空间或距离空间 中的元素称为点 如果是度量空间 是的一个非空子集 则也是一个度量空间 称为的子空间 2 欧几里得空间 欧几里得距离 对中的任意两点 规定距离则称为n维欧几里得空间 其中称为欧几里得距离 中所有和定点之距离小于定数的点的全体 即集合称为点的邻域 称为邻域的中心 称为邻域的半径 3 邻域 3 对于 存在 邻域性质 1 2 对于和 存在 4 对于 存在和 使 4 点列收敛 设为中一点列 如果当时有 则称点列收敛于 即为 即 对于的任一邻域 存在某个自然数 使得当时 点列收敛等价于按坐标收敛 5 点集间的距离 1 两个非空点集A B的距离定义为 2 一个非空点集E的直径定义为 3 如果 则称E为有界点集 空集也是有界点集 E为有界点集的充要条件就是存在常数 对所有有这里0 0 0 称为n为空间的原点 4 开区间I 5 区间I的体积 I 2聚点 内点 界点 1 内点 外点和界点 1 如果存在的某一邻域 使得 则称为E的内点 2 如果是的内点 则称为E的外点 3 如果既非E的内点又非E的外点 也就是说 的任意邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称为E的界点或边界点 注 从定义可知 E的内点一定属于E E的外点一定不属于E E的界点可以属于E 也可以不属于E E的内点与E的余集的外点是一致的 E的界点与E的余集的界点是一致的 2 聚点 孤立点 1 设E是中一点集 为中一定点 如果的任一邻域内部都含有无穷多个属于E的点 则称为E的一个聚点 2 设E是中一点集 为中一定点 如果属于E但不是E的聚点 则称为E的一个孤立点 注 1 聚点和孤立点是相对立的 但是应该注意 E的孤立点一定属于E 而E的聚点未必属于E 2 E的内点必为E的聚点 而E的聚点未必是E的内点 还可能是E的界点 3 有限集无聚点 4 E的孤立点必为E的边界点 而E的边界点不是E的聚点 就是E的孤立点 定理1 下面三个陈述是等价的 1 是E的聚点 2 的任一邻域内 至少含有一个属于E而异于的点 3 存在E中互异的点所成点列 使 3 开核 边界 导集 闭包 1 E的全体内点所成的集合 称为E的开核 记为 2 E的全体界点所成的集合 称为E的边界 记为 3 E的全体聚点所成的集合 称为E的导集 记为 4 称为E的闭包 记为 4 开核 导集 闭包之间的关系 定理4 Bolzano Weierstrass定理 任意有界无穷点集至少有一个聚点 空集没有聚点也没有孤立点 例题1设为非空集合 求证 1 若A是孤立点集 则 孤立点集必为有限集或可数集 2 3 若 则 E为一集合 则为开集 3开集 闭集 完备集 1 开集 定义 设 如果E的每一点都是E的内点 则称E为开集 E为开集的充要条件是 即 例如 a b a b 有理数点集 开集性质 任意多个开集之和仍是开集 有限多个开集之交仍是开集 注意 任意多个开集的交不一定是开集 例如 是开集 但不是开集 是开集 2 闭集 定义 设 如果E的每一个聚点都属于E 则称E为闭集 E为闭集的充要条件是 例如 a b a b 闭集性质 1 任意多个闭集之交仍是闭集 有限多个闭集之和仍是闭集 注意 任意多个闭集的和不一定是闭集 例如 是闭集 但不是闭集 是闭集 2 对任何 和都是闭集 3 开集和闭集的对偶性 设E是开集 则是闭集 设E是闭集 则是开集 4 完备集 自密集 自密集 设 如果 则称E为自密集 另一种描述 当集合中每点都是这个集合的聚点时 这个集就是自密集 或没有孤立点的集就是自密集 完备集 设 如果 则称E为完备集 没有孤立点的闭集就是完备集 即自密闭集称为完备集 例如 空集是自密集 也是完备集 a b 以及全直线都是完备集 疏朗集 空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域 其中不含E的点 则称E为疏朗集合或无处稠密集合 即没有内点 5 Heine Borel有限覆盖定理设F是一个有界闭集 是一族开集 它覆盖了F 即 则中一定存在有限多个开集 它们同样覆盖了F 即 6 紧集 设M是度量空间X中一集合 是X中任一族覆盖了M的开集 如果必可从中选出有限个开集仍然覆盖M 则称M为X中的紧集 性质 设M是中的紧集 则M是中的有界闭集 紧集一定是有界闭集 反之不然 4直线上的开集 闭集及完备集的构造 1 直线上开集构造定理 构成区间 设G是直线上的开集 如果开区间 而且端点不属于G 那么称为G的构成区间 开集构造定理 直线上任意一个非空开集可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的和集 即 若G是直线上的开集 则存在使 注 1 这些开区间为G的构成区间 2 对于R1中的无界开集 将也算作构成区间 2 闭集构造定理 邻接区间 设A是直线上的闭集 称A的余集的构成区间为A的余区间或邻接区间 闭集构造 直线上的闭集F或者是全直线 或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间 即F的余区间 所得到的集 注 1 去掉的那些区间称为F的邻接区间或是余区间 2 x为闭集F的孤立点 则x必为两个相邻的邻接区间的公共端点 3 完备集 是不含孤立点的闭集 就是没有相邻接的余区间的闭集 3 康托三分集 构造如下 将闭区间三等分 去掉中间的开区间 剩下两个闭区间又将这两个闭区间分别三等分 去掉中间的两个开区间 如此无限进行下去 就从中去掉了可数个互不相交且没有公共端点的开区间 剩下的必为一个闭集 它至少包含个邻接区间的端点及其聚点 这个闭集称为康托集 记为P 被