最新平面向量的概念及线性运算讲义

平面向量的概念及线性运算求实数 与向量 a(1)|a| ； (2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向( a) ；( )a数乘的积的运算 ；当 |b|，则 ab；(2) 若|a | |b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3) 若|a | |b|，且 a 与 b 方向相同，则a b；(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5) 若向量 a 与向量 b 平行，则向量a 与 b 的方向相同或相反；(6) 若向量 ab 与向量 cd 是共线向量，则a， b， c，d 四点在一条直线上；(7) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8) 任一向量与它的相反向量不相等 题型二向量的线性运算例 2如图，在 abc 中， d、e 分别为 bc、ac 边上的中点，g 为 be 上一点，且gb 2ge，设 ab a， ac b，试用 a， b 表示 ad ，ag.探究提高(1) 解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果如图，在 abc 中， e、f 分别为 ac、ab 的中点， be 与 cf 相交于 g 点，设 ab a， ac b，试用 a， b 表示 ag .题型三平面向量的共线问题例 3设两个非零向量a 与 b 不共线，ab(1) 若 a b， bc 2a 8b， cd 3(a b)，求证： a、b、 d 三点共线；(2) 试确定实数k，使 kab 和 a kb 共线探究提高(1) 证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2) 向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使 1a 2b 0 成立，若1a 2b 0，当且仅当1 2 0 时成立，则向量a、b 不共线，13如图所示， abc 中，在 ac 上取一点n，使得 an ac在 ab 上取一点 m，使得 am 1ab，在 bn 的延长线上取点p，使得32np 1bn，在 cm 的延长线上取点q，使得 mq cm 时， ap qa，试确定的值11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题： (13 分)如图所示，在abo 中， oc 1oa ，od 1ob，42ad 与 bc 相交于点m，设 oa a， ob b.试用 a 和 b 表示向量 om .审题视角(1) 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2) 既然 om 能用 a、b 表示，那我们不妨设出(3) 利用共线定理建立方程，用方程的思想求解 规范解答解设om ma nb，om ma nb.则am om oa manb a (m 1)a nb.11ad od oa 2 ob oa a 2b.3 分又 a、m、 d 三点共线， am 与ad 共线 存在实数t，使得 am tad ，1即(m 1)a nbt a 2b .5 分 (m 1)a nb ta 1tb.2m 1 ttn2，消去 t 得， m 1 2n，即 m 2n 1. 7 分a又 cm om oc ma nb 1 m1a nb，44cb ob oc b 1 1a b.4a4又 c、m、 b 三点共线， cm 与cb 共线10 分4 存在实数t1，使得 cm t1cb ， m14a nb t1 1ab ，方法与技巧1. 将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如ab cd ；若 ab bc ，则 a、 b、c 三点共线失误与防范ab cd 且 ab 与 cd 不共线，则1. 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2. 在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误课时规范训练一、选择题1. 给出下列命题：(时间： 60 分钟 )a 组专项基础训练题组两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a 0 (为实数 )，则 必为零；， 为实数，若a b，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为()a 1b 2c 3d 42. 设 p 是 abc 所在平面内的一点， ba 2bp ，则()bca. pa pb 0b.pc pa 0c.pb pc 0d.pa pb pc 03. 已知向量a， b 不共线， c ka b (k r)，d a b.如果 c d，那么() a k 1 且 c 与 d 同向b k 1 且 c 与 d 反向c k 1 且 c 与 d 同向d k 1 且 c 与 d 反向二、填空题4. 设 a、b 是两个不共线向量，ab 2a pb， bc a b， cd a 2b，若 a、b、d 三点共线，则实数p 的值为 5. 在平行四边形abcd 中， e 和 f 分别是边 cd 和 bc 的中点，若， r ，则 .ac ae af ，其中6. 如图，在 abc 中， an 1nc ， p 是 bn 上的一点，若32 ac ，则实数m 的值为 11三、解答题ap mab 7. 如图，以向量oa a， ob b 为边作 ?oadb ，bm 1bc ， cn 1cd ，33用 a、b 表示 om 、on 、mn .18. 若 a， b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当t 为何值时， a， tb， 3(a b)三向量的终点在同一条直线上？b 组专项能力提升题组一、选择题1. 已知 p 是 abc 所在平面内的一点， 若cb pa pb ，其中 r，则点 p 一定在 () a abc 的内部b ac 边所在直线上c ab 边所在直线上d bc 边所在直线上2. 已知 abc 和点 m 满足 ma mb mc 0，若存在实数m 使得 ab ac mam 成立，则 m 等于()a 2b 3c 4d 53. o 是平面上一定点，a、b、c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足：op oa abac， 0 ， )，则 p 的轨迹一定通过abc 的()|ab |ac |a 外心b 内心c重心d 垂心二、填空题4. 已知向量a， b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、 b 共线的条件是 ( 将正确的序号填在横线上)2a 3b4e，且 a2b 3e；存在相异实数、，使 a b0；xayb 0(实数 x， y 满足 x y0)；若四边形abcd 是梯形，则ab 与cd 共线5. 如图所示，在abc 中，点 o 是 bc 的中点过点o 的直线分别交直线 ab、ac 于不同的两点m、n，若 ab mam ， ac nan ，则 mn 的值为 6. 在 abc 中，已知d 是 ab 边上一点，若则 .ad 2db ， cd 1ca cb ，37. 已知直线x y a 与圆 x2 y2 4 交于 a、b 两点，且 |oa ob| |oa ob |，其中 o 为坐标原点，则实数a 的值为 三、解答题8. 已知点g 是 abo 的重心， m 是 ab 边的中点(1) 求ga gb go ；(2) 若 pq过 abo的重心 g，且 oa a， ob b，op ma， oq nb，求证：11n 3.m答案要点梳理1大小相同方向相等长度相反模零01 个单位相同相反方向相同或相反平行相等2三角形a a平行四边形a b(1)b a(2) a(b c)三角形(1)|a |(2) 相同相反0a基础自测1.os12.b2a3.4. 25.a题型分类 深度剖析例 1变式训练1解(1) 不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小(2) 不正确， 因为向量模相等与向量的方向无关(3)正确 (4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行 (5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的(6)不正确，因为ab 与cd 共线，而ab 与 cd 可以不共线即ab cd .(7) 正确 (8) 不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等例 2解ad 1(ab ac ) 1a 1 ；222bag ab bg ab 2be31 ab 3( ba bc ) 2ab 1(ac ab )33 1ab 1ac 1 1ab.3333变式训练2解ag ab bg( ba ab be ab bc )2 1 ab ab )2( ac 2 (1 )ab (1 )a 2 ac2b.又 ag ac cg ac mcf ac m cb )2 ( ca (1 m)ac mab ma(1 m)b，2221 m21 m2，解得 m ，3 ag 1a1b.33例 3(1)证明ab a b， bc 2a 8b， cd 3(ab)， bd bc cd 2a 8b3( a b) 2a8b 3a3b 5(ab)5ab . ab 、bd 共线，又 它们有公共点b， a、b、d 三点共线(2) 解 ka b 与 akb 共线， 存在实数，使 ka b(a kb)， 即 ka b akb. (k ) a( k1)b. a、b 是不共线的两个非零向量， k k 1 0， k2 1 0. k 1.变式训练312课时规范训练a 组1 c2.b3.d4.6. 311415.37.om 15 22 116，abon 6abmn，332a 6b8 解设oa a， ob tb， oc 1 b)，3(aac oc oa 2a 1 ，b33ab ob oa tb a.要使 a、b、 c 三点共线，只需ac ab .2即a313b bt a.2 ，3有2 3，?t.1 ，t 132当 t 1时，三向量终点在同一直线上 2b 组1 b2 b3 b2345 26.7 28 (1) 解 ga gb 2gm ，又 2gm go ，ga gb go go go 0.2(2) 证明显然