有限元分析基础

第一讲第一章有限元的基本根念basic concepts of the finite element method1.1 引言 (introduction)有限元 (fem或 fea) 是一种获取近似边值问题的计算方法。边值问题(boundaryvalue problems,场问题fieldproblem)是一种数学问题 (mathematicalproblems)( 在所研究的区域，一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界)。边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表一种物理模型。场变量是满足微分方程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。1.2 有限元法的基本思路(how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。等截面直杆在自重作用下的材料力学解答图 1.1受自重作用的等截面直杆图 1.2离散后的直杆精品资料受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为l，截面积为 a，弹性模量为e，单位长度的重量为 q，杆的内力为 n。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。n ( x)q(lx)dl(x)n(x)dx eaq( lx) dx ea2u(x)x n ( x)dxq( lxx)(1)0eaxduqdxeaea2( lx)xexq ( lx) a等截面直杆在自重作用下的有限元法解答(1) 离散化如图 1.2 所示，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第 i 个单元的长度为li，包含第 i，i+1 个结点。(2) 用单元节点位移表示单元内部位移第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，u(x)uiui 1liui (xxi )(2)其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第i 个单元的应变为i ，应力为i ，内力为n i ：duui 1uiidxli(3) (3)ieie(ui 1liui )(4)niaiea(ui 1ui )(5)li(3) 把外载荷集中到节点上把第 i 单元和第 i+1 单元重量的一半q( lili 1 )2，集中到第 i+1 结点上。图 1.3集中单元重量(4) 建立结点的力平衡方程对于第 i+1 结点，由力的平衡方程可得：令liili 1，并将 (5) 代入得：u(1nini 1)uuq( li2qli 1 )(11 ) l2(6)(7)iii 1ii 2i2 eai根据约束条件， u10 。对于第 n+1 个结点，nqlnn2unun 12ql n2 ea(1-11)建立所有结点的力平衡方程， 可以得到由 n+1 个方程构成的方程组， 可解出 n+1 个未知的接点位移。1.2.1 有限元解与解析解的比较(comparison of finite element and exact solutions)图 1.4用有限单元代表实际的物理区域过程称为网格化分过程，所划分的网格称为有限元网格。在通常情况下，单元的几何形状是直边的，因此假如所模拟的物理模型包含曲边，用有限元网格包括整个物理模型是不可能，具体如图1.4 所示，图 1.4(a)划分的网络比较粗，图1.4(b)划分的网络相对比较精细，其包含更多物理模型区域假如插入函数满足特定的数学条件(边值问题 )，随着单元数目的增加，有限单元解将收敛于解析解。为了说明这个问题，我们举一个例子来说明：图 1.5图 1.5(a) 描述锥形、实圆柱体，一端固定，另一端承受一拉力，假定在施加力的端部的位移是我们求解的问题。 (1) 图 1.5(b) 所示，假定圆柱体是均一，截面面积为圆柱体的平均面积，因此模型简化为一维的杆单元模型，其解可以通过材料力学求出。 (2) 图 1.5(c) 所示， 为两个单元的模型，单元长度为整个圆柱体长度的一半，单元面积为相应 1/2 圆柱体面积的平均值。 (3) 图 1.5(c) 所示，为四个单元的模型。图 1.6 有限元模型与解析解的比较图 1.6(a) 为各种有限元模型与解析解的比较，从图中我们可以知道，随着划分单元数目的增加，有限元解逐渐向解析解收敛。图 1.6(b) 为四单元模型与解析解的位移沿圆柱体长度变化情况，从图中我们知道 ,在限元模型中单元内部位移变化是线性的(这是由于插入函数是线性的)，且位移向解析解近似逼近。然而在大多数结构问题， 我们关注的是由加载引起应力的变化，而应力是通过应力 -应变相关关系计算出来的，应变分量由位移分量推导出来的。因此，应力和应变均是派生变量图 1.7 有限元模型与真实轴向应力解的比较如图 1.7 为有限元为 2、4 单元模型与真实轴向应力解，从图中可知， 在每个单元内应力是常数，在单元之间应力非连续的(discontinuity )，并且随着单元数的增加，单元之间的应力变化逐渐减少。这一现象是有限元法特有现象，即场变量是连续的，而派生的场变量却未必是连续的 。这个例子表明随着单元数目的增加，有限元解如何收敛于真实解，但问题是对复杂问题真实解是未知，因此如何评价有限元解是否收敛于准确解？(1) 数值收敛；(2) 数值解的合理性；(3) 是否满足物理法则如结构是否处地平衡状态；(4)在单元边界上的派生变量的值的非连续性是否合理。1.2.2 有限单元法与有限差分法的比较有限差分法是另一种求解由微分方程控制的问题的数值方法。详细的介绍将在第八章进行介绍。在这里，为了与有限单元法比较，仅仅介绍一些基本概念。有限差分法基于函数f ( x) 的导数的定义：df ( x)limf (xx)f ( x)(1.1)dxx0xx 是独立变量。使用较小，有限步长x 得：df ( x)f ( xx)f ( x)(1.2)dxx假如有一微分方程：使用差分法式 (1.3) 表示为：dfx00x1 dx(1.3)f ( xx) xf (x)x0(1.4)式(1.4) 改写为：f ( xx)f(x)x(x)(1.5)由差分原理知，一阶差分方程的解包含一积分常数，积分常数由边界值或初始值确定。在这个例子中，认为x(0)a常数 。假如选择一积分步长x ，为一常数 (不要求必须为常数 )，因此，xi 1xixi0, n(1.6)n 为整个域上的步数。式 (1.6) 可改写成：fi 1fixi (x)f 0ai0, n(1.7)式 1.7 为递归关系 (recurrence relation)，提供函数 f ( x) 求解域上一些离散点的近似值。图 1.8有限差分解与解析解的比较(式 1.4 ， a1 )图 1.8，描述了解析解f ( x)1x/ 2 和步长为x0.1 有限差分解的关系。有限差分解2仅仅以函数估值的离散点形式表示。在限差分方法中在计算点之间变化方式是不知道的。当然，可以在积分点线性插入一些近似值，以达到对真实曲线的逼近，但投入插值函数是事先不知道的。比较有限差分法与有限元法知：有限元法在整个物理模型区域求解，基于插值函数， 场变量在求解域的变化是作为求解过程一部分，而在有限差分法中，场变量仅仅在离散点处 求解在有限单元法中， 派生变量可以求解， 而在在有限差分法中仅仅场变量本身可以求解， 例如在结构分析中，两种方法均提供位移解，但在有限单元法采用数学方法可以直接对应变 分量(straincomponents )求解，而差分法中把应变作为场变量重新求解有限差分中的积分点与有限元法的节点相类似,所关注变量在该点处进行计算在有限差分中，随着积分步长的减小如有限分单元中随着网格的加密一样，数值解向准解解收敛，精细化过程代表数学模型从有限向无穷小缩减，求解过程均将微分方程转化为代数方程求解。1.3 有限元法的一般计算步骤(ageneralprocedureforfinite element analysis)无论在结构分析、热分析、还是在流体分析过程中，其一般的计算步骤基本相同，这些步骤体现在计算软件包中包括：1.3.1 前处理 (preprocesssing)(1) 定义求解问题的几何形状；(2) 定义单元类型；(3) 定义单元的材料属性；(4) 定义单元几何属性，如长度、面积、惯性矩等；(5) 划分网格(6) 定义物理约束 (边界条件 )；(7) 定义荷载。1.3.2 求解(solutions)在求解阶段，有限元程序以矩阵的形式组装控制代数方程，计算场变量的值，然后再计算派生变量如应变、应力、节点反力、热流通量等。1.3.3 后处理 (postprocessing)分析计算结果称为后处理，一般的有限元计算程序包括如下过程：(1) 按大小排列单元应力；(2) 检查平衡；(3) 计算安全系数；(4) 绘制结构的变形形状；(5) 以动画的形式描述研究模型的变化(6) 绘制应力、变形、应变云图。1.4 有限元法的进展与应用有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。1.4.1 算法与有限元软件从二十世纪60 年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法、非线性问题的解法、动力问题计算方法。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：软件名称简介msc/nastran著名结构分析程序，最初由nasa 研制msc/dytran动力学分析程序msc/marc非线性分析软件ansys通用结构分析软件adina非线性分析软件abaqus非线性分析软件另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件deform 、autoform ，焊接与热处理分析软件sysweld等。1.4.2 应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。(1) 转 向 机 构 支 架 的 强 度 分 析 ( 刘 道 勇 ， 东 风 汽 车 工 程 研 究 院 动 ， 用msc/nastran完成 )图 1.7转向机 构 支架的强 度 分析(2)金属成形过程的分析 (用 deform软件完成 )分析金属成形过程中的各种缺陷。图 1.8型材挤压成形的分析 (型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲)。图 1.9螺旋齿轮成形过程的分析图 1.10 t 形锻件的成形分析(3)焊接残余应力分析 (用 sysweld 完成)图 1.1结构与焊缝布置图 1.12焊接过程的温度分布与轴向残余应力第二、三讲第二章刚度矩阵，弹簧和杆单元stiffness matrices,spring and bar elements2.1 引言 (introduction)有限元主要特性体现在单元的刚度矩阵。如对于结构有限元分析中，刚度矩阵包含几何和材料信息，这些信息表明结构抵抗外部荷载的变形能力如轴向、剪切、扭转变形。在非结构分析中，如流体和热传导，当受外部作用时，刚度矩阵代表单元抵抗变化的能力。在本章中，主要介绍两个相对简单、一维结构单元(线弹性弹簧单元和弹性压缩-张拉杆单元)的特性。它们作为基本单元进行介绍， 是由于它们是静力学和材料力学经常研究的对象， 而不会使学生对有限单元法感到陌生，而是通过工程定理介绍有限元。同时利用这两种单元介绍一下插入函数的概念。根据分析对象的不同， 有限单元法根植于不同数学物理法则。 ，首先针对简单的弹簧和杆系统，利用静力平衡建立有限元模型，然后针对比较复杂结构，我们采用卡式定理和最小势能定理建立有限元模型。2.2 线弹簧单元 (linear spring as a finite element)线性弹簧是一种只能承受轴向加载，在量程范围内，轴向伸长和收缩正比于所受的轴向荷载。荷载与变形的比例常数为弹簧的刚度k (单位：force per unit length)图 2.1线弹簧单元如图 2.1 所示，为描述的方便把沿弹簧长度的方向作为单元坐标系(局部坐标系，与这相对应的整体坐标系，在一维空间，整体坐标系与局部坐标系重合)的 x 轴， u1 、u2 、f1 、f2 为作用在单元节点 1 和 2 的位移和力，因此单元发生的变形为：u1u2(2.1)因此弹簧单元承受力为：fk(u1u2 )(2.2)考虑到平衡条件f1f 20 ，(2.2) 式改写为f1k(u2f2k(u2u1)u1 )(2.3)写成矩阵形式 (matrix form )kku1u1f1 kekku2u2f2(2.4)keuf(2.5)kk其中：kekk(2.6)式 2.6 表明线弹簧单元的刚度矩阵是22，单元有两个节点位移 (自由度)且这两个位移不是相互独立的 (物体是连续的且是弹性的)； 矩阵是对称的，这一特性表明物体是线弹性且节点位移相互关系是对等，如节点1 固定，节 2 上施加一轴向力 f，产生的相对位多与节点 2 固定，节 1 上施加一轴向力f 产生的位移是相等； 当一个单元有n 个自由度时， 其对应的刚度是 nn。一般情况，节点是已知，需要求解的是节点位移，式(2.4) 可改写成：ku11f1ufe22(2.7)但是刚度矩阵是对称，是奇异矩阵，其物理是：当一个单元没有受到任何位移约束量， 产生运动 (从图(2.1a) 知，在节点处没有任何位移约束(弹簧没有与任何物体相连)，因此要求解节点的位移是不可能，仅仅两个节点相对位移(代表弹簧的伸长或缩短)求解出。在第六章插入函数和第八章动力学中我们知道，单元的场变量必须是一常数。根据牛顿第二定理，当一个单元没有受到约束时，不仅产生变形而且要产生加速运动)2.2.1 总刚度矩阵的组装 (system assembly in global coordinates)单元刚度矩阵的推导是基于力学平衡建立，因此在单元刚度矩阵形成总刚度矩阵也可以 基于力学平衡建立。然而我们并不通过画受力图，来建立系统的平衡方程，可以首先假定仅 有单独的单元存在，然后再根据单元节点力的分担情况，将单元节点力加到整个系统的节点 方程中。我们把这一过程称这为组装(单刚合成总刚的过程 )，为了说明这一过程，我们用一简单的例子来说明。图 2.2由两个弹簧组成的系统图 2.3各单元和节点的受力图如图 2.2 ，弹簧 1 和 2 刚度值为 k1 和 k2 ，节点号为 1、2、3，弹簧 1 和 2 共用一个节点2，在整体坐标系下单元节点1、2、3 的位移为u 1 、u 2 、u 3 ，节点力为f1 、f 2 、f 3 。假定两个单元处于平衡状态，根据受力图(2.3a) 和(2.3b) ，利用式 2.4 可建立单元的平衡方程：kku (1)f (1)1111kku (1)f (1)1122(2.8)k2k2k2k2(2)u1u(2)2(2)f2f(2)3根据位移相容条件u (1)uu (1)uu (1)uu (2)u(2.9)11221223将式(2.9) 代入式 (2.8) ，可得k1k1u 1f (1)1k1k1u 2(1)f2f(2.10)k2k2u 2(2)2k2k2u 3(2)f3将式(2.10) 扩展成 3 3 矩阵形式kk0uf(1)1111kk0uf (1)(2.11)112200000000000kkuf(2)(2.12)22220kkuf(2)2233将式(2.11) 和式(2.12) 相加kk0uf(1)1111kkkkuf (1)f (2)(2.13)11222220kkuf(2)2233由受力图 2.3(c) 、2.3(d) 、2.3(e) ，可得1122233f (1)ff (1)f (2)ff (2)f(2.14)将(2.14) 代入(2.13) ，可得k1k1k1k1k20k20u 1f1k2u 2f2k2u 3f3(2.15)k1kk10k10k1k2k2 k2k2(2.16)例 1如图 2.2，节点 1 固定，其位移u 10 ， k150lb . / in , k275lb. / in , f2f375lb ，求u 2 和u 3将具体的数值代入 (2.15) 式，得505000f150u 2f1f11505012575u 207575u 375125u 27575u 275u 37575u 375u 23u 34例 2由三个弹簧组成的系统，每个弹簧下面挂一个重为w 的物体，将弹簧作为有限单元，求各个重物的位移。图 2.4将整个系统作为一个有限单元问题，按图2.4(a) ，对各单元和节点标上编号，由顶端固定，因此 u 10 ，由 2.4 式知每个单元的刚度矩阵：k(1)(2)3k3k3k3k2k2 kk2k2kk(3)kkkk考虑单元位移和整体位移的关系：u(1)uu (1)u (2)uu (2)u (3)uu (3)u1121221324写出各个单元的平衡方程得：3k3k00u 1(1)f13k3k00u(1)f220000u 300000u 400000u1002k02k2k0u 22k0u(2)f1f (2)320000u 400000u100000u 2000kk00kk(3)uf31uf(3)42将以上公式相加得，uw233000f1k3520k2wu 2wu 3k0231u 3w0011u 4wu3w k4f13w因此整个有限单元系统求解过程，可归纳如下：(1) 形成单元刚度矩阵；(2) 写出单元节点位移与整体位移关系；(3) 以矩阵的形式组装整体平衡方程；(4) 根据约束条件，缩减矩阵方程；(5) 求解未知的位移；(6) 反代入整体平衡方程求解出反力。例 3如图 2.5 所示，由三个弹簧组成的平衡系统，单元号和节点号已由图标出，其中节点 1 固定，节点 3 给定一初始位移， f2f ， f42f ，求各个节点处的位移和在节点 3 的反力。图 2.5三弹簧组成的平衡系统kk00u1f1k4k3k0u 2f203k5k2ku 3f3002k2ku 4f4由边界条件知：kk000f1uf324k4u 4fk4k3k0u 2fk03k5k2kf3ff3 k002k2ku 42f1443f5 f3 k442.3 杆单元 (elastic bar,spar/link/truss element)线弹簧单元在有限单元法中使用是十分有限，前面我介绍线弹簧单元仅仅是为了引作刚度矩阵的概念。当然，弹簧在大多数情况在机械工程中使用，同时在复杂系统中，使作用线弹簧单元仅仅代表支撑结构弹性本性。使用最多是杆单元，其只能承受轴向力。线性杆单元的建立基于如下假定：(1) 杆在几何形态上是直的；(2) 材料遵循胡克定律；(3) 力只能在杆的端部施加；(4) 杆只能承受轴向力。最后的假定是非常严格的，但不符合实际，当杆通过铰或球座与其它结构相连，这种情况才能满足。 1 和 4 的假定，意味着单元是一维的，沿着杆上的任何点的位移可能通过单一变量来表述。图 2.6 杆单元如图 2.6 所示，一弹性杆，长为l ，一单轴坐标系 (单元坐标系 )沿着杆长方向，其原点在左端。为了表示沿杆长上的任何节点处的轴向位移，我们定义在节点1和 2上的位移：u1u( x0) 和u2u( xl ) 。引入插入函数， 沿杆长上的任何节点处的轴向位移可以表述为：u(x)n1( x)u1n 2 ( x)u2(2.17)必须要强调，虽然式 (2.17) 是等号，但两者这间只是近似相等。考虑到边界条件：u( x0)u1u(xl )u 2(2.18)因此可以得到如下关系n1 (0)1n1( l )0(2.19)n 2 (0)0n 2 (l )1(2.20)插入函数只要能满足边界条件，任何表达式都允许的，其中最为简单形式是：n1 (x)a0a1x(2.21)由(2.19) 和(2.20) 得n2 (x)b0b1x(2.22)n1 (x)1x / l(2.23)n 2 ( x)x / l(2.24)因此，位移函数方程可表示为u( x)(1x / l)u1( x /l)u2(2.25)(2.25 式)表示成矩阵的形式u( x)u1n ( x)n ( x)nu(2.26)u122根据材料力学原理，对于均一截面杆，当一端部受到一轴向力p 时，其产生的位移为因此，弹性杆的等效刚度常数可表示为考虑到应变与位移的关系将(2.25) 代入上式可得pl aekpae lduxdxu2u1xl(2.27)(2.28)(2.29)(2.30)这表明杆单元是常应变单元，同时根据材料力学的原理：当一单元，其截面为常数，当在端点受到一轴向力是，其应变为常数。根据胡克定律，其轴向应力为：因此，轴向力xe xe u2u1 l(2.31)xpaae u2u1 l(2.32)因此，可以看出 (2.32) 将单元的节点力和节点位移联系起来了，且假定式 (2.32) 为一正值，节点力f 2 为正值，则f1 为负值，可得到如下关系：(uuaef121)l(2.33)lfae (uu )(2.34)式(2.33)和(2.34) 写成矩阵形式221ae11u1f1l11u2f2(2.35)因此杆单元的刚度矩阵为ekae11l11(2.36)例 1.4如图2.7所示，一锥形杆，上端固定，下端受到一拉力p ，面积a( x0)a0 ，a( xl)a0 / 2 ，请计算杆端的位移， (a) 用一个单元，单元的面积等于杆1/2 部位的面积；(b) 用两个单元，面积分别等于1/2 、3/4 部位的面积； (c)采用积分法计算精确解。图 2.7(a) 单一单元横截面 a3 a0ae/ 4 ，单元的刚度常数 kl3a0 e4l，因此单元的平衡方程3a0 e11u1f1plu1.3334l11up2a e20(b) 两个单元对单元 1：a7 a / 8ka1e7 a0el4 l1011对单元 2：a5 a0ka2 e5 a0 e5 a0 e282l28( l/ 2)4l由于在节点 2 上没有外力施加，且由边界条件，其平衡方程为：k1k10u1f1k1k100f1k1k1k20k2k2u 2k2u 3f2k1f302u4 pl7 a0ek1k2 k2k2u 20k2u 3pu48pl31.371 pl35a0 ea0 e(c) 精解解由图 2.7d( 任意 x 处与 xl 之间的受力图 )，由平衡条件知由x apaa(x)xpa0 (1)x2la0 (1x / 2l)因此轴向应变因此，在 xl 处的位移为：xpxex ea0 (12l )xldxp0ea0ldx0 (1x )2l1.386pl a0e2.4 应 变 能 ， 卡 式第 一 定理 (stainenergy,castigliannosfirst theorem)当外力施加到物体上时，机械能将会转变为动能与势能。当一弹性体受到约束不能运动时，则所做的功以应变能的形式存蓄，这里所指 u e 和功w 。从基本的静力学原理知道，力f沿着路径从位置 1 到位置 2 做的功为2wfdr(2.37)1其中d rdxidy jdzk(2.38)是沿着运动路径方向的微分向量。在笛卡尔坐标系下，所做功可表示为：x2y2z 2wfx dxfy dyfzdz(2.39)x1y1z1其中 fx 、 fy 、 fz 为在在笛卡尔坐标系下的力的分量对于线弹性变形，挠度正比与所施加的力，具体如图 2.8 所示。力与挠度的斜率为弹性常数。则弹簧任意精品资料图 2.8 力与偏移的关系（对于线弹簧）精品资料伸长0 ，所做的功为：0wfd0 kd1 k2eu(2.40)002从中我们可以看出，力和弹性应变能是位移的平方。利用(2.28) 式，对于轴向加载的弹性应变能，其式为：eu1 k21 ae2(2.41)22l写成一般的形式，其式可表示为：eu1 k21 ae ( pl ) 21pp()() al1v(2.42)22lae2aae2其中： v 为变形体的体积， 1/ 2为单元体积应变能 (应变能密度 )。式(2.42) 为最后的应力和应变值。 1/ 2 表示从开始施加至最后，应力与应变为线性关系。应变能密度写成一般的形式为：ued(2.43)0下面我们卡式定理利用功和应变能的关系获取杆单元的控制方程。卡式定理：对于一弹性平衡体系，应变能对某一点挠度的部分微分等于在该点挠度方程所施加的力。njjejuwf d0(2.44)j 1其中，j 为由于力 f j 施加在该点力作用线方程所产生的挠度。假如除了i 点，力的作用点均已固定，在 i 点由于一微小力的增量fi 产生的一微小挠度增量i ，而导致应变能的改变量iii0u ewfiif d(2.45)在微小量变化过程中，原来的力fi 认为常数。式 (2.45) 涉及到一微小量的乘积，因此可能忽略。u efi(2.46)i当i0 时，上式可写成fdu ei(2.47)di卡式第一定理对于有限元公式推导是一强有力的工具。现以杆单元来说明，联合(2.30) 、(2.31 、(2.43)u1v1 e( u2u1 ) 2 al(2.48)22exxu elae(uu )f(2.49)u1l121u eae(uu )f(2.50)u2l212例 2.5 ，一实体圆轴，半径为r，直径为 l ，一端固定，另一端受到一扭矩t ，如图 2.9所示，根据在 xl 扭转角，推导出应变能表达式， 并且利用卡式第一定量给出施加扭矩的表达式。根据材料力学的原理，横截面上剪切应力为tr jr 为离单元径向轴的距离，j 截面的极惯性距。 对弹性阶段g 为剪切模量，应变能可表示为，trgjg11ltrtrt2lt 2 ludv()()dadxr 2dadxe22 0jjg2j 2 g02jgvaa极惯性距的定义jr 2 daa根据材料力学原理，在单元端点处的扭转角可表示为tl jg因此应变能可写成：u(1ljg2e)jg22 jgl2l利用卡式定理uetjg l例 2.6 如图 2.10 (a) 利用卡式定理计算系统的刚度矩阵， 在节点 2 和 3 竖向单元是刚性的(b) 求节点 1 处位移和反力，参数如下k14n/ mmk26n / mmk33n / mmf230nf30f450n图 2.10四单元弹簧系统利用节点的位移和单元的刚度，系统的应变能可表示为u1 k (uu )221 k (uu)21 k (uu ) 2e121232343222利用卡式定理uefk (uu )(1)k (uu)u11211121uefk (uu )2k (uu)(1)k u(k2k )u2k uu212123211122232uef2k (uu)k (uu)(1)2k u(2kk)uk uu323234322233343uefk (uu )k (uu)u43433344写成矩阵的形式k1k100u1f1k1k12k22k20u 2f202k22k2k3k3u 3f300k3k3u 4f4将具体的值代入可得44000f1f120n416120u 230u 25.0mm012153u 300033u 450u 39.17mmu 425.83mm2.4 最小势能 (minimum potential energy)卡式第一定理仅仅是最小势能的普遍原理一种直观表达形式。现在我们仅指出这个原理， 而不加以证明仅仅是希望读者将结果与卡式第一定理的结果进行比较最小势能原理的普遍原理:当受到的外力， 在所有几何可能的位移中，满足平衡状态的位移使总势能最小。总势能包括存蓄在物体中的应变能和由于外力产生的势能，作为使用的习惯， 我们用总势能，它包括两部分，应变能u e 和与外力相关的u f ，具体表示如下u eu f(2.51)在本课程中，我们平衡系统仅仅针对守恒力。守恒力指其所做的功与运动的路径无关， 并且可恢复的。通常我们所说的非守恒力指的是摩擦力，其方程与运动的方程相反，所做的功是负，导致能量的损失，损失的能量在物理上称这为热。另一方面，由守恒力所做的机械能是可逆的，因此假如力释放这后，其变形可恢复，由守恒力所做的机械能认为是势能的损失，即：u fw(2.52)总势能可表示为u ew(2.53)总势能最小是一变分问题。在这里我们不采用变分法进行求解，而是采用微积分学中多个变量函数最小原理进行求解。假如总势能是n 个位移的函数形式，具体形式如下：(u 1, u 2 , u n )(2.54)要使势能最小，其必须满足下式：0i1, nu i(2.55)例 2.7使用最小势能原理计算 例 2.612uk (uu )122k (uu)12k (uu )e121232343222u fwf1u 1f2u 2f3u 3f4u 412k (uu )122k (uu)12k (uu)fuf uf uf u12123234311223344222uek(uu)(1)k (uu )f0u12111211uek (uu )2k (uu)(1)k u(k2k )u2k uf0u121232111222322ue2k (uu)k (uu )(1)2k u(2kk )uk uf0u232343222333433uek(uu )k (uu )f0u34333444k1k1k1 00k12k2 2k2 002k22k2k3k300k3 k3u1u 2u 3u 4f1f2 f3 f4我们重新检查一下式 (2.7) ，可以推导一种更一般形式，假定位移和刚度如下：u 1k1uu 2u 3u 4kk1k100k12k2 2k2002k22k2k3k300k3 k3施行如下矩阵的三重积运算，可得：12utku12u1u 2u 3u 4k1k1k1 00k12k2 2k2 002k22k2k3k300k3 k3u 1u 2u 3u 4(2.56)(2.57)假如我们将式 (2.57) 展开，将会发现与例 2.7 完全一致。 式(2.57) 为线任何弹性系统的应变能的一般表达式。第四、五讲第三章桁架结构：直接刚度法truss structures:the direct stiffness method3.1 引言 (introduction)在第二章我们计论了线单元， 对节点、节点位移、单元刚度矩阵等概念有了一定的了解。这一章我们将计论桁架结构，该结构要求单元在几何形状是直的，并且只能承受轴向力。满足这些的要求的单元，我们称这为杆单元，其通过铰与其它相边，因此单元可以绕铰任意转