江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳总结

一、填空题江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!a、14 题， 基础送分题，做到不失一题！a1. 集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为aa；空集是任何集合的子集，记为a ；空集是任何非空集合的真子集；acb如果 ab ，同时 ba ，那么 a = b 如果 a【注意】：b， bc，那么 ac u z= 整数 （）z = 全体整数 （）已知集合s 中 a 的补集是一个有限集，则集合a 也是有限集 （） 空集的补集是全集若集合a=集合 b，则 cba=， cab =cs（cab）= d（注：cab =）2、若 =a , a, aa ，则 的子集有 2 n 个，真子集有2n1 个，非空真子集有2 n2 个.123n3、 a（ bc） （ ab）（ ac） , a（ bc）（ ab）（ ac）；（ ab）ca （ bc） , （ ab）ca （ bc）4、 de morgan公式 :cu ( ab)cu acu b ； cu ( ab)cu acu b .【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。a2. 命题的否定与否命题*1. 命题 pq 的否定与它的否命题的区别：命题 pq 的否定是pq , 否命题是pq .命题“ p 或 q ”的否定是“p 且q ”, “ p 且 q ”的否定是“p 或q ”.*2. 常考模式：全称命题p：xm , p ( x) ；全称命题p 的否定p：xm ,p ( x) .特称命题p：a3. 复数运算xm ,p( x) ；特称命题p 的否定p：x m ,p( x) .*1. 运算律：zmznzm n ； (zm )nzmn ； ( zz )mz m zm (m,nn ) .1212【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2. 模的性质：3yyxz1| z1 |nn | z1 z2| | z1 | z2 | ； |z；| z|zz.1yx 22*3. 重要结论：222222yx1y1x | z1z2 | z1z2 |2(| z1 | z2 | ) ；2221i， 1i；o1xz1z2zz； 1i2i ；ii1i1i i 性质： t=4； i 4n 1i, i 4 n 21, i 4n 3i, i 4n1 .32【拓展】：1113101 或i .22a4. 幂函数的的性质及图像变化规律：(1) 所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2) a0 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间0,) 上是增函数特别地，当a1时，幂函数的图像下凸；当 0a1 时，幂函数的图像上凸；(3) a0 时，幂函数的图像在区间(0,) 上是减函数 在第一象限内， 当 x 从右边趋向原点时，图像在 y.轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握1 1 的这 5 类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，a1,2,3,23并且 x1时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.a5. 统计1. 抽样方法：(1) 简单随机抽样 ( 抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2) 分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异. 共同点：每个个体被抽到的概率都相等（n ）.n2. 总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”( 频率分布表) ；两“图” ( 频率分布直方图和茎叶图).频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.;.频率 =频数.样本容量小长方形面积=组距频率 =频率 .组距所有小长方形面积的和=各组频率和 =1.【提醒】：直方图的纵轴( 小矩形的高 ) 一般是频率除以组距的商( 而不是频率 ) ，横轴一般是数据的大小， 小矩形的面积表示频率.茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字， 两边的数字表示个位数， 即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3. 用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；11n样本平均数：x( x1x2xn )xinn i 14. 用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差( 方差大波动差).(1) 一组数据样本方差x1 , x2, x3 , xnn212221n2121n2s( x1nx)( x2x)( xnx) n i 1( xix)(nixi )(1n ixi )；1样本标准差212221n2s( x1nx )( x2x)(xnx) =n i 1( xix)(2) 两组数据x1 , x2, x3 , xn 与y1 , y2 , y3 ,yn , 其中yaxib , i1,2,3, n . 则 yaxb , 它们的方差为 s 2a2 s 2 , 标准差为| a |1yxyx若为 a2 s2 .x1 , x2 , xn的平均数为x ，方差为s2 ，则 axb, ax2b, axnb 的平均数为axb ，方差样本数据做如此变换：iaxib ，则 xaxb ， ( s )222a s .xb、(5 9，中档题， 易丢分，防漏 / 多解 ) b1. 线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（ 1）当 a（ 2）当 b0 时，若 axbyc0 表示直线l的右边，若axbyc0 则表示直线l的左边 .byc0 表示直线l的上方，若axbyc0 则表示直线l的下方 .0 时，若 ax2、设曲线c : ( a1xb1 yc1 )( a2 xb2 yc2 )0 （a1a2b1b20 ），则( a1xb1 yc1 )( a2 xb2 yc2 )0 或0 所表示的平面区域：两直线a1xb1 yc10 和a2 xb2 yc20 所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.3、点p0 ( x0 , y0 ) 与曲线f (x, y) 的位置关系：若曲线曲线外部；f ( x, y) 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线| xa |yb |m等），则f ( x0 , y0 )0 ，称点在若 f ( x, y ) 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则f ( x0 , y0 )0 ，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线l : axbyc0 ，目标函数zaxby .当 b当 b0 时，将直线 l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小；0 时，将直线 l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（ 1） zaxby ，若 b z 越小 .ym0 ，直线在 y 轴上的截距越大，z 越大，若 b0 ，直线在 y 轴上的截距越大，y（ 2）表示过两点xnx, y , n, m 的直线的斜率，特别表示过原点和xn, m 的直线的斜率.2（ 3） txm2yn表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.（ 4）2yxm2yn表示x, y到点0,0的距离 .（ 5） f (cos,sin) ；（ 6） dax0by0c；a2b2（ 7） a 2abb；222【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x +y定理进行转化达到解题目的。b 2. 三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换=1 上的点(cos,sin) 及余弦三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角 ( “配”与“凑” ) 、函数名( 切割化弦 ) 、次数 ( 降与升 )、系数 ( 常值“ 1”)和运算结构 ( 和与积 ) 的变换，其核心是“角的变换 ”.角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 .变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等 .具体地：（ 1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2，2；22，；2222222222()2()()()()() ；()()；2()， 2()；154530 ,754530；等.424（ 2）“降幂”与“升幂”（次的变化）利用二倍角公式cos2cos2sin 22cos 2112sin 2和二倍角公式的等价变形2sin1的互化 .cos22， cos1sin 222，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”（ 3）切割化弦（名的变化）利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题. 经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.（4）常值变换常值 1 ,2 ,3 ,3 ,1,3 可作特殊角的三角函数值来代换. 此外，对常值“1”可作如下代22322222换： 1sinxcos xsec xtan x（ 5）引入辅助角tan xcot x2sin 30tan4sin2cos0等.一般的，a sinb cosa 2b 2 (aa 2b2sinba 2b2cos)sin()，期中cosaa 2b 2,sinba 2b2, tanb .a特别的， sin acos a2 sin(a) ;4sin x3 sin x（ 6）特殊结构的构造3 cosx cosx2sin( x 2sin( x) ，3) 等.6构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.2222举例： asin20cos 50sin 20cos50， bcos 20sin50cos 20 sin50可以通过ab（7）整体代换2sin 70 , ab1sin 70 2两式和，作进一步化简.举例： sin xcosxm2sinxcos xm21sin()m ， sin()n ，可求出 sincos,cossin整体值，作为代换之用.b 3. 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1) 角的变换因为在abc 中， abc（三内角和定理） ，所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.即， sin asin(bc) ； cos acos(bc) ； tan atan( bc) sin acos bc ； cos asin bc ； tan acot bc .222222(2) 三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理面积公式： s1 sh1 absin crpp( pa)( pa)( pa) .a22其中 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半tan a tan btan b tan ctan ctan a1(3) 对任意abc ，；在非直角abc 中， tan a(4) 在abc 中，熟记并会证明：tan btanctan atan b tanc 222222*1.a,b,c 成等差数列的充分必要条件是b60*2.abc 是正三角形的充分必要条件是a,b,c 成等差数列且a, b, c, 成等比数列* 3. 三边a,b, c 成等差数列2bac2sin asin bsin cactantan1 ； b .*4. 三边a, b, c, 成等比数列b2acsin2 asin b sin c ,b .32233(5) 锐角abc 中, ab2sin acosb,sin bcosc,sin ccosa， a2b2c2 ；sin asin bsin ccos acosbcosc .【思考】：钝角abc 中的类比结论(6)两内角与其正弦值：在abc 中， ababsin asin bcos2bcos2 a ，(7) 若 abc，则 x 2y 2z 2yzcos a2xzcosb2xy cosc .2b 4. 三角恒等与不等式组一sin 33sin34sin,cos334cos3cossin 2sin 2sinsincos2cos23tantan3tan 3tantan() tan()13 tan233组二tan a sin atan b sin btanc sin ctan a tan b tan cabc4coscoscos222cos acos bcosc1 4sina sin b sin c 2222sina2sinb2sinc2 2cosa cos b cosc组三常见三角不等式(1) 若 x(0,) ，则 sin xx 2tanx ；(2) 若 x(0,) ，则 1sin x2cos x 2 ；(3) | sin x | cos x | 1 ；(4) (4)f ( x)sin x x在 (0,) 上是减函数；b5. 概率的计算公式：古典概型：p( a)a包含的基本事件的个数；基本事件的总数等可能事件的概率计算公式：p( a)m card ( a) ；n card( i )互斥事件的概率计算公式：p( a+b) p( a)+ p( b) ；对立事件的概率计算公式是：p( a )=1 p( a) ；独立事件同时发生的概率计算公式是：p( a?b) p( a)? p( b) ；独立事件重复试验的概率计算公式是：kkn knpn (k )cn p(1p)( 是二项展开式 (1 p)+ p的第 ( k+1) 项).几何概型：若记事件a=任取一个样本点，它落在区域g ，则 a 的概率定义为p( a)g的测度构成事件 a的区域长度（面积或体积等）的测度试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）注意： 探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解( 分类或分步 ) 转化思想处理： 把所求的事件转化为等可能事件的概率 ( 常常采用排列组合的知识 ) ；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率； 利用对立事件的概率， 转化为相互独立事件同时发生的概率； 看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率， 但要注意公式的使用条件 . 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件 .p( ab )【说明】：条件概率 ：称p(b| a)p( a)为在事件a 发生的条件下，事件b 发生的概率。注意： 0b6.排列、组合p( b | a)1； p(b c|a)=p(b|a)+p(c|a)。（ 1）解决有限制条件的( 有序排列，无序组合) 问题方法是：位置分析法直接法：用加法原理（分类） 用乘法原理（分步）元素分析法插入法（不相邻问题） 捆绑法（相邻问题）间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手.（ 2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）) 。相邻问题捆绑法 （把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列， 最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。不相邻 ( 相间 ) 问题插空法 （某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板法。? 涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.（ 3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以b7. 最值定理n! . x, y0,由xy 2xy ，若积xyp(定值 )，则当 xy 时和 xy 有最小值 2p ； x, y0,由xy 2xy ，若和xys(定值) ，则当 xy 是积 xy有最大值1 s2 .4【推广】： 已知x, yr ，则有 (xy) 2( xy) 22xy .（ 1）若积 xy 是定值，则当| xy | 最大时， | xy | 最大；当 | xy | 最小时， | xy | 最小 .（ 2）若和 | xy | 是定值，则当| xy | 最大时，| xy | 最小；当 | xy | 最小时，| xy | 最大 .已知a, x, b, yr，若axby1，则有：1111( axby )()byaxab ab2ab2(ab )xyxyxy a, x, b, yr，若 abxy1则有：xyxyaybx ()xyab2ab2(ab )b8. 求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m, n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系 .逆求法：通过反解，用y 来表示 x ，再由 x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如axby, xcxd(m, n) 的函数值域；换元法： 化繁为间， 构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法： 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法： 利用基本不等式ab2ab (a , br) 求函数的最值， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值， 型如 y巧；xk (k x0) ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法： 函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、 距离、绝对值等， 利用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法： 对于分子、 分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域a x2b xc判别式法：对于形如y111（ a ,a 不同时为 0 ）的函数常采用此法a x212b xc222【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：1. ykb型，可直接用不等式性质；x22. y3. ybxx2mxnx2m xn2型，先化简，再用均值不等式；型，通常用判别式法；xmxn4. yx2m xn mxn型，可用判别式法或均值不等式法；? 导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.b9. 函数值域的题型( 一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段.常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数. ( 二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤： (1) 换元变形；(2) 求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3) 画图像，定区间，截段。( 三)分式函数求值域：四种题型(1) ycxd( aaxb0)：则 yc且 yr .a(2) ycxd (xaxb2) ：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围 .(3) y2 x23x22：6xx1y(2 x1)(x2)x2 ( x1) )， 则 y1且y1 且 yr.(2 x1)(3x1)3 x123(4) 求 y2 xx2x1的值域，当xr时，用判别式法求值域。1y2x1x2x1yx2( y2) xy10 ，( y2) 24 y( y1)0值域.( 四)不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.( 五)原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.( 六)已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.b10. 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）. 例 1. 当0x4 时，求函的数yx(82 x) 最大值 .凑项（加、减常数项）：例 2. 已知 x5，求函数4f ( x)4x214x5的最大值 .x27 x10调整分子：例3. 求函数f ( x)( x1) 的值域；x 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式 ab21ab 有 几 个 常 用 变 形 ：a 2b22ab ,( ab)22ab ，a2b2aba 2b2，( ab )2. 前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4. 求函数2222y2x152x( 1x5) 的最大值；22连用公式：例5. 已知 ab0 ，求ya 216b(ab)的最小值；对数变换：例6. 已知 x1 , y21 ，且 xye ，求 t(2 x) ln y 的最大值；三角变换：例7. 已知0y x，且 tan x23tany ，求 txy 的最大值；常数代换（逆用条件）：例 8. 已知 a0, b0 ，且 a2b1 ，求 t11的最小值 .abb11. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若 x2y2a （ a 为定值， a0 ），可设xa cos, ya sin, ，其中 0 2.f (x, y)xya sina cos2a sin()在 0, 1, 5, 2)上 是 增 函 数 ， 在 1, 5 上是减函数；44444113571357 g( x, y)xyasin 2在 0,2) 上是增函数， 在, 上是减函数；211xy4444sincos4444m( x, y)xyxya sincos.令tsincos2a sin()4，其中t2,1)(1, .1由)t(211 ,2si2n cos，得2sintc2os，从而 1m(x, y)2ta(t 21)2a(t在2,1)(1,1)(1,2 上是减函数 .1)t和为定值若 xyb （ b 为定值， b0 ），则ybx. g( x, y)xyx2bx 在 (bb, 上是增函数，在, 22) 上是减函数； m( x, y)11xyb2. 当 b0 时，在 (,0),(0,bb上是减函数，在,b),( b,) 上是增函数；当bxyxyxbx0 时，在 (,b),( b, b 上是减函数，在2b,0),(0,222) 上是增函数 . n( x, y)x2y22 x22bxb 2(bb)在, 上是减函数，在,上是增函数；积为定值若 xyc （ c 为定值， cc220 ），则 yc.x f ( x, y)xyx. 当 cx0 时，在 c,0),(0,c 上是减函数，在(,c,c ,) 上是增函数；当 c0 时，在 (,0),(0,) 上是增函数；m( x, y)11xy1 ( xc).当c0时 ， 在 c , 0 ) ,c( 0 上,是 减 函 数 ， 在xyxycx(,c ,c ,) 上是增函数；当c2c2c0 时，在 (,0),(0,) 上是减函数； n(x, y)增函数 .x2y 2xx2( x) 2x2c 在 (,c ),(0,c 上是减函数，在(c, 0,c ,) 上是11211（ d 为定值，, 1 ）， 则ycxydxdyx倒数和为定值若. 成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中 z1 ，d则 11z, 11z, 得 xd, yd.xdyd1dz1dz f ( x)xy2d. 当 d0 时，在 (,1 ),(1 ,0 上是减函数，在0, 1 ),( 1 ,) 上是增函1d 2 z211dddd11数；当 d0 时，在(,),(,0 上是增函数，在ddd 20,),(,) 上减函数；dd1111 g( x, y)xy22 . . 当 d0 时，在 (,),(,0 上是减函数， 在0,),(,) 上是增函1dzdddd数；当 d0 时，在11(,),(,0 上是减函数，在0,1 ),(1 ,) 上是增函数；n(x, y)x2dd22d 2 (d 2 z2y1) .令ddtd 2 z21，其中t 1且t2，从而2 d 2t2d 2(d 2 z21)2n(x, y)(t2) 2t44 t在1,2) 上是增函数，在(2,) 上是减函数 .b12. 理解几组概念*1.广义判别式设 f ( x)是关于实数x 的一个解析式，a, b, c 都是与 x 有关或无关的实数且a0 ，则2b4ac 0 是2方程 af ( x)bf ( x)c0 有实根的 必要条件 ，称“”为广义判别式.*2.解决数学问题的两类方法：一是从具体条件入手, 运用有关性质, 数据 , 进行计算推导, 从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构 , 找出某些本质属性, 进行恰当的核算, 从而使问题容易解决, 这一方法称为定性核算法.*3.二元函数设有两个独立的变量x 与 y 在其给定的变域中d 中，任取一组数值时， 第三个变量z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数 . 记作： zf ( x , y ) .其中 x 与 y 称为自变量，函数z 也叫做因变量，自变量x 与 y 的变域 d 称为函数的定义域.把自变量x 、y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xoy 平面内作出函数zf ( x, y ) 的定义域 d ；再过 d 域中得任一点m ( x, y) 作垂直于 xoy 平面的有向线段mp ，使其值为与( x, y) 对应的函数值z ；当 m 点在 d 中变动时，对应的p 点的轨迹就是函数其定义域 d 就是此曲面在xoy 平面上的投影.*4.格点zf ( x, y ) 的几何图形 . 它通常是一张曲面，在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）. 在数论中， 有所谓格点估计问题. 在直角坐标系中， 如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形. 特别是凸的格点多边形， 它是运筹学中的一个基本概念.*5.间断点我们通常把间断点分成两类：如果x0 是函数f ( x)的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0 称为函数 f ( x ) 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.*6.拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.如果 yf ( x) 在区间 ( a, b) 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定yf ( x) 的拐点 .(1) 求 f(2) 令 f( x) ；( x)0 ，解出此方程在区间(a, b) 内实根；(3) 对于 (2) 中解出的每一个实根点是拐点，若相同，则不是拐点.*7. 驻点x0 ，检查 f( x)在 x0 左、右两侧邻近的符号，若符号相反， 则此曲线 f ( x) 在它的极值点x0 处的切线都平行于x 轴，即f ( x0 )0 . 这说明， 可导函数的极值点一定是它的驻点 ( 又称稳定点、临界点) ；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.*8.凹凸性定义在 d 上的函数f ( x) ，如果满足： 对任意x , xd 的都有x1x2 1，则称是f ( x) 上12f () f ( x1 )22f (x2 )的凸函数 . 定义在 d 上的函数如果满足：对任意的x1x , xd 都有 f (x2 ) 1 f ( x )f ( x) ，则称f ( x)是d 上的凹函数 .121222【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的. 连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.b13.了解几个定理*1.拉格朗日中值定理:如果函数yf ( x) 在闭区间 a, b上连续，在开区间( a, b) 内可导，那末在( a, b) 内至少有一点c ，使f (b)f ( a)( ba) f( c)成立 . 这个定理的特殊情形，即：f ( b)f (a ) 的情形 . 描述如下：若( x) 在闭区间 a, b 上连续， 在开区间 ( a, b) 内可导， 且(a)(b) ，那么在 ( a, b) 内至少有一点 c ，使(c)0 成立 .*2.零点定理 ：设函数f （ x）在闭区间 a, b 上连续， 且f (a)f (b)0 那么在开区间(a,b) 内至少有函数f ( x) 的一个零点，即至少有一点（ a b ）使 f ()0 *3.介值定理 ：设函数f ( x) 在闭区间 a, b上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f ( a)a, f (b)b ，那么对于a, b之间任意的一个数c ，在开区间*4.夹逼定理 ：(a,b) 内至少有一点，使得f ( )c （ a b ）设当 0 | xx0|时，有g ( x) f ( x) h( x) ，且limg(x)limh( x)a，则必有limf (x)a.xx 0xx0xx 0【注】： | xx0|：表示以x0 为的极限，则| xx 0 | 就无限趋近于零 （为最小整数）c、 10 12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力c1. 线段的定比分点公式设 p ( x , y) ， p ( x , y) ， p( x, y) 是线段p1p2 的分点，是实数，且pppp （ 或 p2p= 1 pp1 ），111则xx1x2 1222opop1op2optop12112(1t)op （ t1）yy1y211推广 1：当1 时，得线段p1 p2 的中点公式：yy1y2p2xx1x2b2oa推广 2：am则 pm mbpapb （对应终点向量） 1xx1x2x3三角形重心坐标公式：abc的顶点a x1 , y1 , bx2 , y 2,c x 3 , y 3，重心坐标g x, y ：y3y1y2y3 3注意：在 abc中，若 0 为重心，则oaoboc0 ，这是充要条件【公式理解】：*1. 是关键 (1 )p1pp2p1p2ppp1p2( 内分 ) 0(外分) 0 ( -1)(外分) 0 (-10)若 p 与 p1 重合， =0p与 p2 重合， 不存在p离 p2 p 1 无穷远， =1*2. 中点公式是定比分点公式1的特例；*3. 始点终点很重要，如若p 分 p p的定比 =