高考数学第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题教学案理北师大版.docx

第9讲圆锥曲线的综合问题一、知识梳理1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y)0.由消元(如消去y)，得ax2bxc0.若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)；若a0，b24ac.a当0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b当0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c当0时，直线和圆锥曲线没有公共点2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|x1x2|y1y2|(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(3)直线l与曲线C相交于P，Q两点，联立直线方程与曲线方程，消去y得Ax2BxC0，B24AC0，则|PQ|.3圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k在使用根与系数关系时，要注意前提条件是0.常用结论过一点的直线与圆锥曲线的位置关系的特点(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线二、教材衍化1过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选C.过(0，1)与抛物线y24x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点2已知与向量v(1，0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_解析：由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即当m0时，|AB|有最小值4.答案：4一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与抛物线y22px只有一个公共点，则l与抛物线相切()(2)直线ykx(k0)与双曲线x2y21一定相交()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点()(4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切()(5)过点(2，4)的直线与椭圆y21只有一条切线()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题；(3)错用双曲线的几何性质1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定解析：选A.直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交故选A.2如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线y22px(0p14)和圆(x4)2y29分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB|CD|取得最大值时，直线AB的方程为_解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得1或7，又0p14，故p2，设直线AB的方程为xt(0t3)，则直线CD的方程为x4t，则|AB|CD|228(0t3)，设f(t)t(9t2)(0t3)，则f(t)93t2(0t3)，令f(t)00t，令f(t)0t3，故f(t)maxf()，此时直线AB的方程为x.答案：x3已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_解析：由题设条件可知ABF2为等腰三角形，只要AF2B为钝角即可，所以有2c，即b22ac，所以c2a22ac，即e22e10，所以e1.答案：(1，)第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题最值问题(多维探究)角度一数形结合利用几何性质求最值 已知椭圆C：1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|PF|的最小值为_【解析】如图，设椭圆的左焦点为F，则|PF|PF|4，所以|PF|4|PF|，所以|PA|PF|PA|PF|4.当且仅当P，A，F三点共线时，|PA|PF|取最小值|AF|5，所以|PA|PF|的最小值为1.【答案】1角度二建立目标函数求最值 如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值【解】(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0)的一个焦点为F(1，0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值【解】(1)由题意，c1，b23，所以a24，所以椭圆M的方程为1，易求直线方程为yx1，联立方程，得消去y，得7x28x80，2880，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1x2，x1x2，所以|CD|x1x2|.(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC面积相等，|S1S2|0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0，且x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x1x2)2k|，因为k0，上式，所以|S1S2|的最大值为.圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 (2020河北武邑中学模拟)抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)O为坐标原点，求证：3；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解：(1)证明：依题意得F(1，0)，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmy1.联立消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，故x1x2y1y23.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.由(1)知2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.范围问题(多维探究)角度一求代数式的取值范围 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin ycos 10相切(为常数)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求的取值范围【解】(1)由题意，得故椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)得F1(1，0)，F2(1，0)若直线l的斜率不存在，则直线lx轴，直线l的方程为x1，不妨记M，N，所以，故.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，由消去y得，(12k2)x24k2x2k220，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(x11，y1)，(x21，y2)，则(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k2，代入可得1k2，由k20可得.综上，.角度二求参数的取值范围 已知椭圆C的两个焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，且经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且23，求直线l的斜率k的取值范围【解】(1)由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得整理得y2y90，1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，则，2，因为23，所以2，即，且k0，解得0k.故直线l的斜率k的取值范围是.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2020郑州模拟)已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是1，且1，a，4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围解：(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时，直线MN为y轴，此时m0.当k0时，直线MN的方程为y，化简得kyx0.令y0，得x.所以m.综上所述，实数m的取值范围为. 基础题组练1.(2020河南新乡二模)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3，6)，圆C2：x2y26x80，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|3|QM|的最小值为()A124B164C166 D206解析：选C.设抛物线的方程为y22px(p0)，则362p3，则2p12，所以抛物线的方程为y212x，设抛物线的焦点为F，则F(3，0)，准线方程为x3，圆C2：x2y26x80的圆心为(3，0)，半径为1，由直线PQ过抛物线的焦点，则.|PN|3|QM|PF|13(|QF|1)|PF|3|QF|43(|PF|3|QF|)4343(42)4166.故选C.2如图，抛物线W：y24x与圆C：(x1)2y225交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则PQC的周长的取值范围是()A(10，14) B(12，14)C(10，12) D(9，11)解析：选C.抛物线的准线l：x1，焦点(1，0)，由抛物线定义可得|QC|xQ1，圆(x1)2y225的圆心为C(1，0)，半径为5，可得PQC的周长|QC|PQ|PC|xQ1(xPxQ)56xP，由抛物线y24x及圆(x1)2y225可得交点的横坐标为4，即有xP(4，6)，可得6xP(10，12)，故PQC的周长的取值范围是(10，12)故选C.3(2020湖南湘潭一模)已知F(，0)是椭圆C：1(ab0)的一个焦点，点M在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且kOAkOB(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围解：(1)由题意知，椭圆的另一个焦点为(，0)，所以点M到两焦点的距离之和为 4.所以a2.又因为c，所以b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOAkOB0，不符合题意故设直线l的方程为ykxm(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2，x1x2.而kOAkOB2k2k.由kOAkOB，可得m24k1，所以k.又由0，得16(4k2m21)0，所以4k24k0，解得k0或k1，综上，直线l的斜率的取值范围为(1，)4(2020银川模拟)椭圆1(ab0)的焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，直线l：xa2交x轴于点A，且2.(1)试求椭圆的方程；(2)过点F1，F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值解：(1)由题意知，|F1F2|2c2，A(a2，0)，因为2，所以F2为线段AF1的中点，则a23，b22，所以椭圆方程为1.(2)当直线DE与x轴垂直时，|DE|，此时|MN|2a2，四边形DMEN的面积S4.同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S4.当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE：yk(x1)(k1)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，代入椭圆方程，消去y可得(23k2)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2，所以|x1x2|，所以|DE|x1x2|.同理|MN|，所以四边形DMEN的面积S，令uk2，则S4.因为uk22，当k1时，u2，S，且S是以u为自变量的增函数，则S4.综上可知，S4，故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为.综合题组练1已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率