具有不同转换函数的STAR模型的研究

第一组 计量经济学理论与方法 字数 7000具有不同转换函数的STAR模型的研究马薇 丰璐（天津财经大学理工学院数学系）【摘要】近几年来，非线性时间序列模型被广泛地应用于经济学领域，尤其是其中的STAR模型能很好的描述很多经济变量的运行轨迹。本文正是对于STAR模型中转换函数的不同函数形式形成的模型进行讨论，除了常见的LSTAR和ESTAR模型外，本文还提出了令转换函数为三角函数的的TSTAR模型，并且对于这三种STAR模型的检验和模型的选择作了一些探讨。同时，本文还讨论了STAR模型在汇率、PPP等方面的实际应用。关键词 非线性模型 LSTAR ESTAR TSTARAnalysis on STAR Models with Different Switching FunctionsAbstract: In the recent years,nonlinear time series models are used in economics widely.Especially,STAR models can describe the tracks of many economics variables exactly.In this paper,we analysis on STAR models with different switching functions. Besides LSTAR and ESTAR models,this paper defines Trigonometric STAR models. It studies test procedures,selecting among three kinds of STAR models and application of STAR models.Key words: Nonlinear models; LSTAR; ESTAR; TSTAR作者简介姓名 马薇 性别 女 出生日期 1958.12.21 学位：博士学位 职称 教授（博士生导师） 工作单位：天津财经大学姓名 丰璐 性别 女 出生日期 1978.08.10 天津财经大学博士研究生引言由于经济现象的复杂性与不确定性，许多经济变量的数据生成过程与它们之间的关系都表现出了非线性性的特征。所以，随着计量经济学理论的不断发展，近几年来经济学家们对于非线性时间序列模型的研究投入了越来越多的关注。非线性时间序列模型主要包含两种模型：混沌模型（chaos model）和机制转换模型（switching regime model）。对于其中的机制转换模型由于各种不同形式的机制转换行为分为几种不同的模型，常见的为马尔可夫机制转换模型（Markov Switching Regime model,MSR）、门限自回归模型（Transition Autoregressive model,TAR）和平滑转换自回归模型（Smooth Transition Autoregressive model,STAR）三种模型。这三种模型的最主要区别在如何处理机制转换结构中的信息。下面分别介绍一下三种模型的含义：马尔可夫机制转换模型（MSR）：是描述由于政策调整马上从一种结构按照马尔可夫链结构变到另一种结构的模型。门限自回归模型（TAR）：有个机制的TAR模型为其中与为未知参数，形成一个上的分拆，它满足且。一般情况下为门限，为门限变量，为滞后参数。具体地，利用EG两步法进行线性回归：得到残差，并设残差调整过程为TAR：，其中为Heaviside示性函数，；为调整速度系数，为门限值。上述模型可推广为，其中若示性函数依赖于残差变动，即则为惯性门限模型（Momentum-Threshold Autoregression,MTAR）,而在TAR和MTAR中稳定的充要条件为且。TAR模型首先由H.Tong（1977）介绍的，之后它被广泛地应用于存在非线性现象的各种领域里，包括经济、环境科学、财政等领域。然而MSR和TAR模型都是描述在某一特定的点，时间序列的运动方式从一种机制跳跃到了另一种机制，这种跳跃是间断的。但在实际生活中许多机制是一种连续的，平滑的转换，能够描述这一转换机制的则是下面的模型。平滑转换自回归模型（STAR）： （1） 其中为标量，且；为转换变量一般被选为，为转换函数，为尺度参数（转换速度），c为门限值。此模型是在Bacon，Watts（1971）和Maddala(1977)及Goldfeld,Quandt(1973)的早期工作的基础上由(1993)发展出来的。它已广泛的应用于工业产品序列，外汇市场，PPP调整等领域。一、 平滑转换自回归模型（STAR）分类由上述的STAR模型可知转换函数反应了机制的转换过程，且连续函数的值域为。当和时认为机制转换模型中的两个极端机制。而对于的函数形式被研究和采用最多的是两种函数为对数函数（Logistic STAR,LSTAR）和指数函数（Exponential STAR,ESTAR）。本文则提出并讨论了以三角函数（Trigonometric STAR,TSTAR）为转换函数的STAR模型。1、LSTAR模型LSTAR模型中的转换函数定义为 ， （2） 其中为关于的单调递增函数，当趋近于时，趋近于0；当远离时，趋近于。而当或时，会分别趋近于恒定的值（0或）。2、ESTAR模型ESTAR模型中的转换函数定义为 ， （3）在此模型中，当趋近于时，趋近于0；当远离时，趋近于1。而同样当或时，也会退化为恒定的值（0或1）。3、TSTAR模型TSTAR模型中的转换函数可以定义为 ， （4）在此模型中，当趋近于时，趋近于；当远离时，周期性的趋近于恒定值0，或1。同样当或时，会周期性地退化为恒定的值（0，或1），也即TSTAR模型会周期性的退化为线性模型。可由下图反映LSTAR，ESTAR，TSTAR的转换过程： 图1：LSTAR模型 图2：ESTAR模型 图3：TSTAR模型这三种模型分别可以应用到不同的实际情况中，后面会阐述三种模型的应用选择，在此之前我们要先做非线性检验。二、时间序列的非线性检验在应用上述STAR模型之前，我们首先要做的是检验所要研究的时间序列是否为非线性的。可以根据（1）式设（线性的）（非线性的）；而若，则退化为TAR模型。Davies（1977）提出极大似然法不能直接做此检验。由Luukkonen等（1988）提出（1994）采用的方法是用的一个合适的泰勒序列来近似替代，同时在零假设下，LM统计量服从标准渐进分布。由于拉格朗日乘子（LM）检验可以检验线性约束也可以检验非线性约束条件的原假设，并且对于每个LM检验只要构造一个LM检验就可以用于检验多个备择假设，因此本文采用建立辅助回归来做LM检验的方法。1、LSTAR模型LSTAR模型可以改写为 （5）设；利用在点处的一阶泰勒展式近似的代替转换函数，即，为泰勒展式的余项，则可以得到可得到辅助回归： （6）其中；。由此对模型（5）的零假设可换为针对辅助回归（6）的零假设，这样可对直接进行假设检验。对于它的LM检验统计量记为，其中T为样本容量，为零假设成立下对（6）式用OLS法估计得到的可决系数。若在某种情况下，不适用的话，则用较高阶泰勒展式代替转换函数得到辅助回归为： （7）其中，同理在零假设下LM统计量记为。2、ESTAR模型ESTAR模型可以改写为 （8）设，同LSTAR模型一样，首先利用在点处的一阶泰勒展式近似的代替转换函数，即，为泰勒展式的余项，则可以得到辅助回归： （9）其中；。在零假设下LM统计量记为。当一阶泰勒展式不适用时，同样可用较高阶泰勒展式得到辅助回归为： （10）其中，以及 LM统计量记为。3、TSTAR模型TSTAR模型可以改写为 （11）设，同LSTAR和ESTAR模型一样，首先利用在点处的一阶泰勒展式近似的代替转换函数，即，为泰勒展式的余项，则可以得到辅助回归： （12）其中；。在零假设下LM统计量记为。当一阶泰勒展式不适用时，同样也要用较高阶泰勒展式得到辅助回归为： （13）其中，以及 LM统计量记为。三、三种模型的选择首先（1994）在线性假设被拒绝的情况下，在LSTAR与ESTAR模型之间做出选择，是在（7）式的基础上利用F检验进行以下的一系列嵌入检验完成的：利用F检验对以上的三个零假设作检验，在中当门限值时，若转换函数的一阶泰勒展式中的项为0，则拒绝，即拒绝ESTAR，因此模型可能为LSTAR模型或TSTAR模型。而在中当门限值时，若转换函数的一阶泰勒展式中的项为0，则接受并拒绝，即更倾向于选择ESTAR模型。同样在中当门限值时，若拒绝且接受则倾向于选择ESTAR模型；若接受且拒绝，则倾向于选择LSTAR模型或TSTAR模型。然而由于推出上述结论是利用泰勒展式前几阶作为近似值代替转换函数，它省略了泰勒展式中的高阶项，所以这种嵌入检验可能会得到错误的结论。之后提出了利用LM检验来做模型的检验，比较（6）（7）（9）（10）（12）（13），则在（10）式的基础上分析不同转换函数的泰勒展式：LSTAR：ESTAR：TSTAR：因此若假设时，由以上三式则STAR的通式可写为 （14）并得到下面的检验方法。首先设定零假设；，然后分别对其做LM检验，若在假设下得到最小的值则可选择ESTAR模型；同理地，若在假设下得到最小的值则可选择LSTAR或TSTAR模型。而在LSTAR和TSTAR模型之间的选择，由于它们泰勒展式形式相同所以无法用以上的方法进行区分，只能靠对实际经济问题的经验分析来进行选择。可见对于ESTAR、LSTAR和TSTAR之间的选择以上的方法仍有很多局限性与不足，这样对于如何来选择使用这三个STAR模型的问题需要更深入地研究。四、结论与展望本文通过对STAR模型中转换函数的两种常见形式（对数函数和指数函数）所形成的LSTAR模型和ESTAR模型的定义形式和检验方法进行整理的同时提出了一种转换函数为三角函数的新STAR模型（TSTAR模型），并对其定义形式和检验方法做了初步的讨论。当前，非线性STAR模型在经济学领域有着广泛地应用，尤其是对于汇率、购买力评价（PPP）理论等问题的研究。实际汇率与PPP的研究是密切相关的，汇率对PPP的偏离是非平稳，且实际汇率对PPP的偏离显示出高度的持久性。由此可见，实际汇率向长期均衡值的回复调整并不是以连续匀速且线性的方式调整，而是以非线性的动态路径调整的。汇率的这种调整行为比较符合STAR模型。这种调整主要是由投资人的异制性、套利成本和政府干预引起的。同样地在我国，人民币汇率一直受政府的控制和干预，因为政府干预往往是渐近式的所以调整过程也可能是平滑渐近的，这样也应使用STAR模型来研究人民币实际汇率的动态行为，并有学者研究认为其中ESTAR更适用于对人民币汇率进行模型。当然对于机制转换模型中的STAR模型的研究仍有待更深入的进行，根据不同的经济问题可采用不同函数形式作为转换函数来描述其特有的经济量的动态运行轨迹。而对于还可以引用哪些函数形式作为转换函数，用其形成的特定STAR模型如何进行检验，以及如何对这些模型做出选择都仍是今后的研究中需要关注的问题。解决这些问题无疑会为经济量的研究提供很大的便利。参考文献1Clive W.J.Granger & Timo Terasvirta,Modelling Nonlinear Economic RelationshipsM,New York,1993.2David G.McMillan,Non-linear cointegration and adjustment:an asymmetric exponential smooth-trasition model for US interest ratesJ,Empirical Economics,2007.3Christoph Rothe & Philipp Sibbertsen,Phillips-Perron-type unit root tests in the nonlinear ESTAR frameworkJ,Allgemeines Statistisches Archiv,2006.4Alvaro Escribano & Oscar Jorda,Testing nonlinearity:Decision rules for selecting between logistic and exponential STAR modelsJ,Spanish Economic Review,2001.5Kari Heimonen,Nonlinear adjustment in PPP-evidence from threshol