分组分解法和十字相乘法.doc

分解因式之分组分解法学习目的使学生掌握分组后能提取公因式的分组分解法，并培养学生自学能力和探索、发现、解决问题的能力学习重点和难点恰当分组，使组间具有公因式学习过程一、提问1什么叫因式分解？已经学过哪两种分解因式的方法？2因式分解和乘法运算是什么关系？3、把a(m+n)+b(m+n)分解因式二、新问题的提出把am+an+bm+bn分解因式 三、归纳小结把多项式的各项利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法；如果多项式的各项分组提取公因式后使得各组另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式；分组分解法运用了加法的交换律和结合律例1 试把下列各式分解因式：(1) a2-ab+ac-bc； (2) 2ax-10ay+5by-bx； (3)3ax+4by+4ay+3bx； 例2 试把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay (2)a2-2ab+b2-c2； (3)x3+x2y-xy2-y3四、总结应用分组分解法分解因式时，分组的方法不一定是唯一的分组时要使各组有相同的公因式；各组提取公因式时，如果提出负号，则应注意括号里的各项一定要变号；运用加法交换定律交换多项式的项时，一定要带着原来的符号五、课堂练习把下列各式分解因式：(1)20(x+y)+x+y； (2)5m(a+b)ab (3)a2abacbc；(4)3aax3b+bx (5)5ax+6by+5ay+6bx； (6)4x2-y2-yz+2xz(7) 4a2b2+6a3b； (8)9m26m+2nn2；(9)x2y2z2+2yz； 六、课外作业把下列各式分解因式：1、(1)xy-xz+y-z； (2)ax-2bx+ay-2by(3)4xy-3xz+8y-6z； (4)x3+3x2+3x+92、(1)3xy-2x-12y+8； (2)x3y+3x-2x2y2-6y3、(1)6ax+15b2y2-6b2x-15ay2； (2)7x2-3y+xy-21x；(3)3a2+bc-3ac-ab； (4)a2m+bn-an-abm4.(1)1-m2-n2+2mn ； (2)x3y-xy3 ；(3) 4x2-y2+2x-y； (4)x4y+2x3y2-x2y-2xy2； (5)(z2-x2-y2)2-4x2y2 (6)x3x2yxy2+y3；分解因式之十字相乘法我们知道，反过来，就得到二次三项式的因式分解形式，即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=23，且2+3=5。一般地，由多项式乘法，反过来，就得到 这就是说，对于二次三项式，如果能够把常数项分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。例1 把分解因式。分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=12=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。解：因为2=12，并且1+2=3，所以例2 把分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=16=(-1)(-6)=23=(-2)(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6即可。解：因为6=(-1)(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以例3 把分解因式。分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21可以分解成-21=(-1)21=1(-21)=(-3)7=3(-7)，其中只需取3与-7，其和3+(-7)等于一次项的系数-4。例4 把分解因式。解：因为-15=(-3)5，并且(-3)+5=2，所以 通过例14可以看出，把分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。例5 把下列各式分解因式：(1) (2) 例6 把分解因式。分析：把看成x的二次三项式，这时，常数项是，一次项系数是-3y，把分解成-y与-2y的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。我们知道，。反过来就得到的因式分解的形式，即。我们发现，二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成1 23 5后发现15+23正好等于一次项的系数11。由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式进行因式分解。我们知道，反过来，就得到我们发现，二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，排列如下： 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到+，如果它们正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中，位于上图的上一行，位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式中，二次项的系数3可以分解成1与3，或者-1与-3的积，常数项10可以分解成1与10，或者-1与-10，或者2与5，或者-2与-5的积，其中只要选取十字1 23 5相乘就可以了。例7 把下列各式分解因式：1-32-1(1) (2) (3) 22y5-4y213-5另外，我们也可以用十字相乘法把二次三项式分解因式。例