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第十八讲 数的整除性专题精华数的整除性问题关键是要掌握整除的数的特征，并会灵活运用。比如能被8和125整除的数的特征是末尾三位数是8或125的倍数就能被8或125整除。能被11整除的数的特征是如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，那么它就能被11整除。例1、在五位数158的里填上什么数字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？点击：一个数能被5整除，个位只能填0或5，能被3整除，各位上的数字和必须是3的倍数。练习1、在五位数254的内填什么数字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？2、 在1100这100个自然数中，既能被2整除，又能被3整除的所有数的和是多少？3、 从0、1、4、7、9中选四个数字组成若干个四位数，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，问第十个数是多少？例2、要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商要尽量小，这个六位数是 。思路与解法因为49=36，所以能被36整除，就是能被4和9同时整除，能被4整除的特征是末两位能被4整除，所以C只能是1、3、5、7、9. 因为要商最小，所以这个数要尽量的小，所以A为0。能被9整除的数的特征是各个数位上的数字之和是9的倍数，所以B=1，C=5。点击：这道题的解题关键是：要知道能被36整除就要能同时被4和9整除（互质的两个因数），还要知道符合4的倍数和符合9的倍数的数的特征。练习1、要使六位数156能被36整除，且所得的商最大，应填（ ）2、如果四位数56能被34整除，那么可以有多少个不同的商？3、 一个五位数能被72整除，首位两个数字不知道，千、百、十位上的数字分别是6,7,9，这个五位数是多少？例3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。在符合这些条件的六位数中，最小的是多少？思路与解法要使数字尽可能的小，并能被5整除，百位和个位上应选0，已知五位数的各位数字之和是19，要使这个六位数能被3整除，十位上可填2、5、8，又能被4整除的数，十位上应填2.解：符合这个条件的最小六位数568020.练习1、一个六位数937abc能分别被3,4,5整除，这个数最小是多少？例4、七位数12MNMNM能被6整除，这样的七位数有多少个？思路与解法这个数能被6整除，即它能同时被2和3整除，故M可取0、2、4、6、8五个数。因为12MNMNM=3（M1）2N，所以要使这七位数能被3整除，N可取0、3、6、9这四个数字。解：符合条件的七位数有54=20（个）点击：能被6整除的数的特征是，同时能被2和3整除的数练习1、 有六个六位数987654， 987653， 987652， 987651， 987650， 987649，从中选出两个数，使这两个数的乘积能被6整除，有多少种不同的选法？丙把每种都写出来。2、 一个四位数，百位上的数字是3，十位上的数字是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。这样的四位数中，最大、最小四位数的千位上的数字与个位上的数字（4个数字）的总和合是多少？3、一个四位数减去它的各位上的数字的和后得到199，那么里应填上数字（ ）。例5、六位数7E36F5是1375的倍数，求这个六位数。点击：1375=11125，也就是说这个数能同时被11和125整除，能被125整除的数的特征是：末尾三位数是125的倍数。能被11整除的数的特征是：奇位上数字之和与偶位上数字之和的差能被11整除。练习1、 十个连续的三位数，最大不超过130，这十个数的和是77的倍数，求这十个数。2、某实验小学有13个兴趣小组，各组的人数如下表：组别12345678910111213人数235791011141317212424一天下午，学校同时举办语文和数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座，其中听语文讲座的人数是听数学讲座的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这个小组是第几组？3、任取一个四位数3456，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，C表示B的各个数字之和，那么C是多少？ 数的整除性提高卷1、 有一个五位数736能被5整除，也鞥倍9整除，这个五位数最小是多少？2、已知87654321 能被36整除，那么个位上最小的数是几？3、 在358后面补上三个数字组成一个六位数，要使这个六位数能同时能被3、4、5整除，这样的六位数中，最小的是（ ），最大的是（ ）。4、 求各位数字都是7，并能被63整除的最小自然数。5、 在666后面补上三个数字组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补？6、两个四位数A275和275B相乘，要使它们的积能被72整除，求A和B。7、 能被12整除，但不能被8整除的三位数有多少个？8、 在173中先后填入3个数字，所得三个四位数依次可被9、11、6整除，先后填入的3三个数字的和是多少？9、100以内的自然数中，所有是3的倍数的平均数是多少？10已知一个四位数的个位和千位的数字之和是10，个位上的数字既是偶数又是质数，百位上的数字与十位的数字组成的两位数是质数，又知这个四位数能被36整除，求所有满足条件的四位数中最大的一个是多少？课外知识：7、8、11、13、17的倍数的特征（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a0,a为整数，则a|0. （2） 若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述