中考几何证明题.doc

几何证明 典例精析 【例题1】（天津）已知RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8 （1）如图，若半径为r1的O1是RtABC的内切圆，求r1； （2）如图，若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2；（3）如图，当n是大于2的正整数时，若半径为rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、AB相切，On与BC、AB相切，O2、O3、On1均与AB边相切，求rn 解：（1）在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AB=10 如图，设O1与RtABC的边AB、BC、CA分别切于点D、E、F，连接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1 于是，O1DAB，O1EBC，O1FAC， SAO1C=ACO1F=ACr1=3r1， SBO1C =BCO1E=BCr1=4r1， SAO1B =ABO1D=ABr1=5r1， SABC =ACBC=24 又SABC =SAO1C +SBO1C +SAO1B， 24=3r1+4r1+5r1， r1=2（2）如图，连接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，则 SAO1C =ACr2=3r2， SBO2C =BCr2=4r2， 等圆O1、O2外切， O1O2=2r2，且O1O2AB 过点C作CMAB于点M，交O1O2于点N，则 CM=， CN=CMr2=r2， SCO1O2 =O1O2CN=（r2）r2， S梯形AO1O2B=（2r2+10）r2=（r2+5）r2 SABC =SAO1C +SBO2C +SCO1O2 +S梯形AO1O2B， 24=3r2+4r2+（r2）r2+（r2+5）r2 解得r2=（3）如图，连接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，则 SAO1C =ACrn=3rn， SBOnC =BCrn=4rn， 等圆O1、O2、On依次外切，且均与AB边相切， O1、O2、On均在直线O1On上，且O1OnAB， O1On=（n2）2rn+2rn=2（n1）rn 过点C作CHAB于点H，交O1On于点K，则CH=，CK=rn SCO1On=O1OnCK=（n1）（rn）rn S梯形AO1OnB= 2（n1）rn+10rn=（n1）rn+5rn SABC=SAO1C+SBOnC+SCO1On+S梯形AO1OnB， 24=3rn+4rn+（n1）（rn）rn+（n1）rn+5rn， 解得rn= 评析：通过面积关系，建立所求半径的等量关系式，也是解决几何计算题一种重要的途径 【例题2】如图，AB是O的直径，AE平分BAF交O于E点，过点E作直线与AF垂直交AF的延长线于D点，交AB延长线于C点 （1）求证：CD与O相切于点E；（2）若CEDE=，AD=3，求O的直径及AED的正切值 解题思路：（1）连OE，证OECD；（2）利用三角形相似线段成比例求半径解：（1）连OE，易证OEA=OAE=EAD，OED=90，得OECD，CD与O相切（2）连BE有BE=OE，易证RtABERtAED，CBECEA，得，设O半径为R，则CO=R+，CA=+2R， ，解得R=或R=1（舍）， O直径为，由CE2=CBCA=， CE=，DE=，tanAED=2 评析：本题第（2）小题是几何计算，不少考生怕这种题型，因它与证明题不同，证明题的结论是确定的，有目标可寻，而计算题则需要根据题设条件和学过的知识去分析和探索，包括一定的运算能力，这就要求考生平时多练习，多思考，增强信心，才能攻克这样的难关 探究实践 【问题】（重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MNAD，EFCD，分别交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，设a=PMPE，b=PNPF，解答下列问题： （1）当四边形ABCD是矩形时，见图，请判断a与b的大小关系，并说明理由； （2）当四边形ABCD是平行四边形，且A为锐角时，见图，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，设=k，是否存在这样的实数k，使得？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由 解题思路：（1）利用面积关系可证a=b；（2）可证SPEAM=PMPEsinMPE，SPNCF=PNPF，sinFPN由SPEAM=SPNCF，可得a=b；（3）利用等高三角形面积比等于底边之比可求k值 （1）解：a=S矩形PEAM=SBDASPMB SPDE， b=S矩形PNCF=SDBC SBFP SDPN，可证得a=b （2）解：成立仿（1）有SPEAM=SPNCF，作EHMN，可证SPEAM=EHPM=PMPEsinMPE同理SPNCF=PNPFsinFPN由sinMPE=sinFPN，可得PMPE=PNPF即a=b （3）解法一：存在连结AP，设PMB、PMA、PEA、PED的面积分别为S1、S2、S3、S4，即 2k25k+2=0，k1=2，k2= 解法二：由（2）可知SPEAM=AEAMsinA=ADABsinA k=2或 评析：巧用面积法解题，可化难为易，应引起注意 中考演练 一、填空题1（黄冈）如图1，在ABCD中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD=_ (1) (2) (3) (4) 2（四川）如图2，AB、AC是互相垂直的两条弦，AB=8cm，AC=6cm，则O半径OA长为_cm 二、选择题 1（福州）如图3，EF过矩形ABCD对角线交于点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ） A B C D 2（黄冈）如图4，ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上任意一点，过C作CFAB交BE的延长线于F，交AC于G，连结CE，下列结论中不正确的是（ ） AAD平分BAC BBE=CF CBE=CE D若BE=5，GE=4，则GF= 三、解答题1（长春）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，C=60，AD=CDE、F分别在AD、CD上，DE=CF，AF、BE交于点P，请你量一量BPF的度数，并证明你的结论 2（青岛）已知：如图，AB是O的直径，C为O上一点，且BCE=CAB，CE交AB的延长线于点E，ADAB，交EC的延长线于点D （1）求证：DE是O的切线 （2）若CE=3，BE=2，求CD的长 实战模拟 一、填空题1（四川）如图5，在半径为3的O中，B是劣弧AC的中点，连结AB并延长到D，使BD=AB，连结AC、BC、CD如果AB=2，那么CD=_ (5) (6) (7) 2（杭州）如图6，在等腰RtABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边ABD，使点C、D在AB的同侧；再以CD为一边作等边CDE，使点C、E在AD的异侧若AE=1，则CD的长为_ 3（沈阳）如图7，已知在O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及O上，并且POM=45，则AB的长为_ 二、选择题 1（宁波）如图8，在四边形ABCD中，E是AB上一点，ECAD，DEBC若SBEC=1，SBEC=3，则SCDE等于（ ）A2 B C D (8) (9) (10) 2（河南）如图9，半径为4的两等圆相外切，它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中，存在的最大圆的半径等于（ ） A B C D1 3（深圳）如图10，AB是O直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD延长线交于点C若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 三、解答题 1（宁夏）如图，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合） （1）若EF平分RtABC的周长，设AE的长为x，试用含x的代数式表示AEF的面积；（2）是否存在线段EF将RtABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由 2（烟台）如图，从O外一点A作O的切线AC、AC，切点分别为B、C，且O直径BD=6，连结CD、AO （1）求证：CDAO； （2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若AO+CD=11，求AB的长答案: 中考演练 一、11