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文档简介

加号和减号 加减运算是人类最早掌握的两种数学运算 ,且载于人类最早的文字记载中。古埃及的阿默斯纸草书就载有加号(Sign for Addition)及减号( Sign for Subtraction):向右走的两条腿“”是加号,而向左走的两条腿“”是减号。后者于莫斯科纸 草书中则表示“平方”。 古希腊的丢番图以两数并列表示相加,偶 然亦以一斜线“”及曲线“”分别作加号和减号使用。古印度人一般不用加号,只有在 公元三世纪的巴赫沙里(Bakhshali)残简中以“yu”作加及“”作减。 中国古代因注重以工具计算,一般运算全 在算筹或算盘上进行,只记录其结果,因此并无采用甚么数学符号,记录时用文字表达运算 。十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以两数并列作加而以一特别符号“gs”作减号。 法国人许凯(1484)、意大利人帕乔利(1494)及十六世纪大多数学家都以拉丁词语plus(加)与minus (减)之首字母分别作加号(或p)和减号( 或m)。 十五世纪后廿年之德国人是最早使用现代 的加号“”与减号“”。德国德累斯顿(Dresden)图书馆所保存之手稿卷c.80(1486)中便正式使用了“”、 “”号。而最先于印刷的书内使用加号“”与减号“” 的是捷克人维德曼(1489)。 从十五世纪末至整个十六世纪,意大利人 仍以及作加减号。到了1608年,德国人克拉维乌斯于罗马出版的代数一书内采用了“”“” 号,意大利人才开始采用这两符号,但到卡瓦列里时代已很纯熟。 此外,英国首个使用这两符号(1557)的是雷 科德,而荷兰则于1637年由胡克引入这两符号,同时亦传入其它欧洲大陆国家,后渐流行于 全世界。 乘号乘法(Multiplication)亦是最早产生的运算之一,且出现于人类最早的文字记载当中。 中国古人及古希腊的丢番图都不用乘号(Signs of multiplication) ,但后者则以两数并列表示相乘(与加法相同)。印度的巴赫沙里残简中,把数排成表示;排成 表示xx施蒂费尔于1545年出版的一本算术书内以大写字母M 及D分别表示乘和除。斯蒂文于1634年出版的书内亦采用 了这符号,他以表示现在的3xyz2。这儿的sec 及ter分别表示第二、三个未知数。 韦达(1591)以AinB作为A与B的乘积。一些十五世纪的手稿及印刷品仍以并列表示相乘,如6x,5x2等,但必须有 字母才行,因5表示5+而非5x,这记法至今还沿用着。 西方称“为圣安德鲁斜十字(St. Andrews cross)(因安德鲁为耶稣的十二门徒之一,传说他被钉在十字架上处死),这 名称与数学全无关系。十六世纪出版的一些数学书就有采用这号,但开首并非现代用法,而是以它表示两个独立的 乘法运算,如以表示现在的315172x174715 及395903x295448两个乘法。 奥特雷德于1631年在其著作数学之钥(clavis mathematicae) 中首次以“”表示两数相乘,即现代的乘号,后日渐流行 ,沿用至今。莱布尼茨于1698年7月29日给伯努利的一封信内提出以圆点“”表示乘,以防“”号与字母相混 淆。后来以“”表示乘法的用法亦相当流行,现今欧洲大陆派(德、法、苏等国)规定以“”作乘号。其它国家则以“” 作乘号,“”为小数点。而我国则规定以“”或“”作乘号都可,一般于字母或括号前的乘号可略去除号1544年,施蒂费尔于其出版的整数算术(Arithmetica integra) 中以一个或一对括号作除号(Signs for division),如以 8)24或8)24(表示248;奥特雷德则以a)b(c表示ba=c;马洪(1701年)则以D)A+B-C表示(A+B-C)D。至1545年, 施蒂费尔又改以大写德文字母D表示除(Division),其后,斯蒂文亦采用了这符号,他以表示,而戈里马德(1751年)则以反写字母表示除,如124=3及a2b2a2。另外,昆尼亚于1790年出版的数学原理中,以平放的 小写字母表示除。 现今之除号“”称为雷恩记号(Rahns notation),是瑞士人雷恩于1659年出版的一本代数书中引用为除号。至 1668年,他这本书之英译版面世,这记号亦得以流行,沿用至今。 此外,莱布尼兹于他的一篇论文组合的艺术“Dissertatio de arte combinatoria” 内首以冒号“:”表示除,后亦渐通用, 至今仍采用。 等号相等(equal)是数学中最重要的关系之一。等 号(Sign of Equality)之出现与方程有关,数学于萌芽 时期已有了方程的记载,因此亦有了表示相等关系的方法。 “方程”的概念早于中国古代已出现,但它是 以“列表”(算筹布列)的方法解之,并不需等号,而书写时则以汉字“等”或“等于”表示。阿默斯纸草书 中以“”表示相等;丢番图则以“”或间中以“”为等号;巴赫沙里残简中以相当于pha 的字母为等号;到了十五世纪,阿拉伯人盖拉萨迪以“”表示相等;雷格蒙塔努斯则以水平 之破折号“”为等号,如 表示x2+3x=30;帕乔利亦以破折号为等号,但 较长且记于数字之下,如表示 x2-y2=36。 雷科德于1557年出版的砺智石一书中 ,首次采用现今通用之等号“”,因此这符号亦称为雷科德符号(Recordes sign)。不过,这符号之 推广很缓慢,其后的著名人物如开普勒、伽里略与费马等人常以文字或缩写语如aequals, aeqantar, ae, esgale 等表示相等;1637年,笛卡儿还以“” 表示现代“”号之意,而以“”为等号。直至十七世纪末期,以“”为等号才被人们所接受 ,并渐得通用。 不等号不等号(Sign of inequality)是用以表示两个量数之间大小关系的符号。现在常用的有“”(不等号)、“ ”(大于号)及“”(小于号)。 年,在法国数学家日纳尔的代数教程里,用 “ff”代表大于,以及用“”代表小于 。 年,英国著名的代数学家哈里奥特()在其出版的数学著作中,首先创用了“ ”(大于号)及“”(小于号),但未被实时采用。同时期的英国数学家奥特雷德()亦发 明了以“”表示大于,以“”表示小于的符号,这种符号,至十八世纪仍被采用。 至近代,“”及“”分别表示大于及小于的符号,逐渐被统一及广泛采用。并以“”“”及“”来表示为大于、小于及等于的否定号。 “大于”和“小于”符号英国人哈里奥特于1631年开始采用现今通 用之“大于”号及“小于”号,但并未为当时数学界所接受。直至百多年后才渐成标准 之应用符号。 1655年沃利斯曾以表示“等于或大于” ,到了1670年,他以及分别表示“等于或大于”和“等于或小于”。据哥德巴赫于1734 年1月写给欧拉的一封信所述,现今通用之 和符号为一法国人布盖(1698-1758) 所首先采用。然后逐渐流行。 庞加莱与波莱尔于1901年引入符号(远大于),很快为数学界所接受,沿用至今。 括号括号bracket是用来规定运算次序的符号。括号主要分为四类,包括大括号 、中括号 、小括号( )以及比较少用的括线。最早出现的括号是小括号( ),于1544年出现。直至17世纪,中括号 才出现于英国瓦里斯16161703的著作中,至于括线则由1591年韦达15401603首先采用,而大括号 则约在1593年由韦达首先引入;至1629年,荷兰的基拉德采用了全部括号,18世纪后始在世界通用。分数符号分数分别产生于测量及计算过程中。在测量过程中,它是整体或一个单位的一部份;而在计算过程中,当两个 数(整数)相除而除不尽的时候,便得到分数。 其实很早已有分数的产生,各个文明古国的文化也记载有关分数的知识。古埃及人巴比伦人亦已有分数记号, 至于古希腊人则用L表示 ,例如:L=1, L=2,及 L=3等。至于在数字的右上角加一撇点,便表示该数分之一。 至于中国,很早就已采用了分数,世上最早的分数研究出现于九章算术,在九章算术中,有系统的讨 论了分数及其运算。(九章算术方田章大广田术指出:分母各乘其余,分子从之。这正式的给出 了分母与分子的概念)。而古代中国的分数记数法,分别有两种,其中一种是汉字记法,与现在的汉字记数法一样 :分之;而另一种是筹算记法: 用筹算来计算除法时,当中的商在上,实(即被除数)列在中间,而法(即除数)在下,完成整 个除法时,中间的实可能会有余数,如图所示,即表示分数。在公元3世纪,中国人就用了 这种记法来表示分数了。 古印度人的分数记法与中国的筹算记法是很相似的,例如。 在公元12世纪,阿拉伯人海塞尔最先采用分数线。他以来表示。而斐波那契是最早把分数线引入欧洲的人。至15世纪后, 才被逐渐形成现代的分数算法。在1530年,德国人鲁多尔夫在计算+ 的时候,以计算得 ,到后来才逐渐的采用现在的分数形式。 1845年,德摩根在他的一篇文章函数计算( The Calculus of Functions)中提出以斜线/来表示 分数线。由于把分数以a/b来表示,有利于印刷排版,故现在有些印刷书籍也有采用这种 斜线/分数符号。 比例号比例号(sign of proportion)是用来表示比例关系的记号,现代常用的比例号“:”是由世纪德国数学家莱布尼兹 ()所创立的。而这样的比例号亦曾出现于年法国人克雷罗()所出版的书内。 小数符号 中国是最早采用小数的国家。早于三世纪,刘徽注九章算术的时候,已指出在开方不尽的情况下,可以十进分数(小数)表示。在元朝刘瑾(约1300年)所著的律吕成书中更把现今的106368.6312之小数部分降低一行来记,可谓是世界最早之小数表达法。 除中国外,较早采用小数的便是阿拉伯人卡西。他以十进分数(小数)计算出的17位有效数值。 至于欧洲,法国人佩洛斯于1492年,首次在他出版之算术书中以点“”表示小数。但他的原意是:于两数相除时,若除数为10的倍数,如123456600,先以点把末两位数分开再除以6,即1234.566,这样虽是为了方便除法,不过已确有小数之意。 到了1585年,比利时人斯蒂文首次明确地阐述小数的理论,他把32.57记作或而首个如现代般明确地以“”表示小数的人则是克拉维乌斯。他于1593年在自己的数学著作中以46.5表示46 1/2=46 5/10。这表示法很快就为人所接受,但具体之用法还有很大差别。如1603年拜尔以表示现在的8.00798以表示现在的14.00003761,以或表示123.459872。 纳皮尔于1617年更明确地采用现代小数符号,如以25.803表示25 803/1000,后来这用法日渐普遍。四十年后,荷兰人斯霍滕明确地以“,”(逗号)作小数点。他分别记58.5及638.32为58,5及638,32,及后除掉表示的最后之位数、等,且日渐通用,而其它用法也一直有用。直至十九世纪未,还有以 等表示2.5。 现代小数点的使用大体可分为欧洲大陆派(德、法、苏等国)及英美派两大派系。前者以“,作小数点,“”作乘号;后者以“”作小数点,以“,”作分节号(三位为一节)。大陆派不用分节号。我国向来采用英美派记法,但近年已不用分节号了。 零号零是位值(place value)制记数法的产物。我们现在使用的印度阿拉伯数字,就是用十进制值制记数法的了。例 如要表示203,2300这样的数,没有零号(signs for zero) 的话,便无法表达出来,因此零号有显著的用途。 世界上最早采用十进制值制记数法的是中国人,但是长期没有采用专门表示零的符号,这是由于中国语言文字上的 特点。除了个位数外,还有十、百、千、万位数。因此230 可说成二百三(三前常加有),意思十分明确,而 203可说成二百零三,这里的零是零头的意思,这就更不怕混淆了。 除此之外,由于古代中国很早(不晚于公元前世纪)就普遍地采用算筹作为基本的计算工具。在筹算数字中,是 以空位来表示零的。由于中国数字是一字一音、一字一格的,从一到九的数字亦是一数一字,所以在书写的时候,一格 代表一个数,一个空格即代表一个零,两个空格即代表两个零,十分明确。 在中国的古书中,缺字一般用方块来表示,但他们常用的行书,很容易把方块画成圆圈,所以后来便以来表示 零,而且逐渐成了定例。这种记数法最早在金大明历( 1180)中已采用,例如以“四百三”表示403,后渐通用。 但是,中国古代的零是圆圈,并不是现代常用的扁圆。希腊的托勒密是最早采用这种扁圆号的人,由于古希 腊数字是没有位值制的,因此零并不是十分迫切的需要,但当时用于角度上的60进位制(源自巴比伦人,沿用至今), 很明确的以扁圆号表示空位,例如 代表41o018。后来印度人的号,可能 是受其影响。 在印度,也是很早就已使用十进制值记数法。他们最初也是用空格来表示空位,如3 7即是307,但这方法在 表达上并不明确,因此他们便以小点以表示空位,如3.7,即是307。 在公元876年,在格温特(Gwalior,印度城市)地方的 一个石碑上,发现了最早以扁圆作为零号的记载。印度人是首先把零作为一个数字使用的。后来,印度数字传入阿拉 伯,并发展现今我们所用的印度阿拉伯数字,而在1202年,斐波那契把这种数字(包括)传入欧洲,并逐渐流行于 全世界。印度阿拉伯数字(包括)在中国的普遍使用是本世纪的事了。 此外,其它古代民族对零的认识及零的符号也作出了一 定的贡献。如巴比伦人创作了60进位值制记数法。并在公元前2世纪已采用作为零号。而美洲玛 雅人亦于公元前创立了20进位值制记数法,并以 作为零号。 负数符号 负数是由中国古代的数学家最先所采用及应用的,在九章算术中便记载了负数及负数的运算法则。而在其它运算中,亦有不同的方式来表示正负数,如在筹算时,会以红色的筹表示正数,黑色的筹表示负数。但这种方法用于毛笔记录时,换色十分不便,因此在12世纪,李冶首创了在数字上加斜划以表示负数(见图一)。 (图一) 图一所表示的是4.12x2-x+136-248x-2,这可以说是世上最早的负数记号。 而西方对负数的认识则比中国较迟,到15世纪后才正式应用负数。在运算中,亦有不同的负数符号以表示正负数。如在1800年,威尔金斯用表示-a;在1809年,温特费尔在数字前加上“”或“”来表示负数;而在1832年,波尔约用“”表示负数。此外,后来亦有不同方式表示负数如a表示负数,a表示正数;am为负数,ap为正数;又以表示负数,为正数。 直至本世纪初,享廷顿才开始采用接近现在的负数符号形式,如-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,并逐渐成为现在的正负数。 虚数符号许凯是最先考察负数开平方运算的人,在 1484年,他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号表示他的成果,即 x=3/25/2-4,由于5/2-4是负数,所以他认为不可能解这方程。 而第一个对负数开方运算进行研究并得到 虚数及其运算方法的人是卡尔达诺,在1545年,在他所著的大术中,记载了以下的乘法运算: 当中相等于根号, m是减(即负),表示-15,这就是最早表示虚数的方法。当时, 他称负数的平方根为诡辩量,并且怀疑运 算这些数的合理性,因此,卡尔达诺称正数的根为真实的根(real root),负数的根为虚构的根(fictitious root)。但实和虚的用法与现代的不同。 1637年,在笛卡儿的几何学一书中第 一次出现了虚数的名称。imaginaires代表虚的,及reelles代表实的。 1777年,欧拉在一篇递交给彼得堡科学院 的论文微分公式中首次以i来表示-1,但很少人注意到。直到1801年,高斯才有系统 地使用这个符号,并沿用至今。 绝对值符号 1841年外尔斯特拉斯首先引用“”为绝对值符号(Signs for absolute value),及后为人们所接受,且沿用至今,成为现今通用之绝对值符号。于实教范围内, 此外,他亦指出,复数之绝对值就是它的“模”。 到了1905年,甘斯以“”符号表示向量之长度,有时亦称这长度为绝对值。若以向量解释复数,那么“模”,“长度”,及“绝对值”都是一样的。这体现了甘斯符号之合理性,因而沿用至今。属于号属于号(Sign of element)是用来表示一个元素属于另一个集合的记号。 在年,意大利数学家皮亚诺()首先使用“”来表示属于号。如,表示是集合的元素。 皮亚诺在他的数学研究中,创作了许多符号,除“”外,还有以“”来表示含于号,及以来表示自然数的后继数。 使用了这些数学符号后,皮亚诺的数学推理在表达上更加干净利落。他的工作,更促进了日后符号逻辑的发展。 含于号含于号(Inclusion sign)是用来表示一个集合是另一个集合的真子集的记号。如,表示集合包含于集合 内,或是的子集(Subset)的意思。 至于以“”来表示含于号的是由意大利数学家皮亚诺()首先采用的。 “因为”和“所以”符号雷恩是首个以符号表示“所以”(therefore)的人,他于1659年的一本代数书中以“”及“”两种符号表示“所以”,其中以“”用得较多。而该书1668年之英译本亦以此两种符号表示“所以”,但以“”用得较多。琼斯于1706年以“”表示“所以”。至18世纪中,“”用以表示“所以”至少和 “”用得一样多。 18世纪初还没有人以“”表示“因为”。至1805年,英国出版的大众数学手册中才首次以“”表示“因为”,但还没有以“”表示“所以”的应用那样广。到了1827年,由剑桥大学出版的欧几里得几何原本中分别以“”表示“因为”,及以“”表示“所以”。这用法日渐流行,且沿用至今。 阶乘符号1751年,欧拉以大写字母M表示m阶乘 M=123.m 1799年,鲁非尼在他出版的方程论著 述中,则以小写字母表示m阶乘,而在 1813年,高斯则以(n)来表示n阶乘。而 用来表示n阶乘的方法起源于英国,但仍未能确定始创人是谁。直至1827年,由于 雅莱特的建议而得到流行,现在有时也会 以这个符号作为阶乘符号。 而最先提出阶乘符号n!的人是克拉姆 (1808),后来经过奥姆等人的提倡而流 行,直至现在仍然通用。 和式号以“”来表示和式号(Sign of summation)是欧拉()于年首先使用的,这个符号是源于希腊文(增加)的字头,“”正是的大写。 排列组合符号1772年,旺德蒙德以np表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。而欧拉则于1771年以 及于1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。至1872年,埃汀肖森引入了 以表相同之意,这组合符号(Signs of Combinations)一直 沿用至今。 1830年,皮科克引入符号Cr以表示由n个元素中每次取出 r个元素的组合数;1869年或稍早些,剑桥的古德文以符号nPr 表示由n个元素中每次取r个元素的排列数,这用法亦延用至今。按此法,nPn便相当于现在的n!。 1880年,鲍茨以nCr及nPr分别表示由n个元素取出r个的组合数与排列数;六年后,惠特渥斯以及表示相同之意,而且,他还以表示可重复的组合数。至1899年,克里斯托尔以nPr及nCr分别表示由n个不同元素中 每次取出r个不重复之元素的排列数与组合数,并以nHr表示相同意义下之可重复的排列数,这三种符号也通用至今。 1904年,内托为一本百科辞典所写的辞条中,以 表示上述nPr之意,以表示上述nCr之意,后者亦同时采用了。这些符号也一直用到现代指数符号指数符号(Sign of power)的种类繁多,且记法多样化。 我国古代数学家刘徽于九章算术注(263年)内以幂字表示指数,且延用至今。我国古代称一数自乘为方 ,而乘方一词则于宋代以后才开始采用。于我国古代,一个数的乘方指数是以这个数于筹算(或记录筹算的图表)内的位置 来确定的,而某位置上的数要自乘多少次是固定的,也可说这是最早的指数记号。 古埃及人以表示一数自乘一次(莫斯科纸草书)。古希腊人丢番图以r表示 x 2,Kr表示x3,r 表示x4,Kr表示x5等。而 阿拉伯人哈基则以词mal表示x2;kacb表示x3;ml ml 表示x4;ml kacb 表示x5等。 1572年,邦别利(1526-1572)以表示未知量,以表示其平方,以 表示其立方。1586年,斯提文(1548-1620)分别以 表示上述之意,如1表示x3, 2表示2x2等。1591年,韦达(1540-1603)把A2及A3分别记作 A.quad及A.cubum。 至十七世纪,具有现代意义的指数符号才出现。最初的,只是表示未知数之次数,但并无出现未知量符号。如卡塔尔迪于 1610年出版的代数书中,以表示 5x38x4=40。比尔吉则把罗马数字写于 系数数字之上,以表示未知量次数,如以 表示8x6+12x5-9x4+10x3+3x2-7x-4 。其后,开普勒等亦采用了这符号。 罗曼斯开始写出未知量的字母,如以A(4)+B(4)+4A(3)inB+6A(2)inB(2)+4AinB(3) 表示A4+B4+4A3B+6A2B2+4AB3 。法国人埃里冈的记法大致相同,以系数在前指数在后的方式表 示。如以a3表示a3,2b4表示2b4,2ba2 表示2ba2。1631年,哈里奥特(1560-1621)改进了 韦达的记法,以aa表示a2,以aaa表示a3 等。1636年,居于巴黎的苏格兰人休姆(James Hume)以小罗马 数字放于字母之右上角的方式表达指数,如以Aiii 表示A3。这表示方式除了用的是罗马数字外,已与 现在的指数表示法相同。 一年后,笛卡儿(1596-1650)以较小的印度阿拉伯数字放于右上角来表示指数,如5a4,便是现今通用的指数 表示法。不过,他把b2写成bb,并且只给出正整指数幂。其后虽有各种不同的指数符号,但他的记法逐渐流行,且 只把bb写成b2,沿用至今。 分指数幂最早见于奥雷姆的比例算法一书内,他以表示2,以9p表示9 ,以2p表示2 。他以及斯蒂文等人还提及过负指数幂,但正式的分指数和负指数都是英国人沃利斯(1616-1703)给出的,且他亦是西方最先采用负数指数的人。他在1655年出版的无穷小算术中载有:平 方数倒数的数列, ,的指数为-2,;平方根倒数的,的指数为- ,这是一大进步,只是他并无真正采用过a-1= ,等指数符号。 斯提文曾于十七世纪以及 分别表示平方根及立方根。但现行的分指数和负指数符号为牛顿 创设的。他于1676年6月13日给伦敦皇家学会秘书长奥丁堡转交莱布尼兹的信中提到:因代数学家把aa,aaa,aaaa写作a2 ,a3,a4等,所以我把 ,写作 ,又把, 写作a-1,a-2,a-3,把写作。 最先采用虚数指数的是意大利人法尼亚诺(1682-1766),他于1719年发现了关系式。而莱布尼兹更于1679年在写给惠更斯的信中讨论了方程:xx-x=24 ,xz+zx=b,xx+zz=c ,且引入了变指数。 方根符号开方亦是最早产生的运算之一。古埃及人 以“”表示平方根(root);七世纪印度人婆罗摩笈多以“c”(carani(平方根)之首个字母)表示平 方根;十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以“”为平方根号(Sign for root)。 二世纪罗马人尼普萨斯以拉丁词语latus(意 即“正方形的边”)记平方根,这词的首个字母“l” 后更成为欧洲重要的平方根号之一。十二世纪 ,蒂沃利的普拉托等人也采用这符号。十六世纪法国人拉米斯也采用这符号,如“l 27 ad l 12” 得“l75”(即27+12=75);法国数学家韦达亦用过这符号。到了1624年,英国人布里格斯分别以 “l”,“l3”,“ll”表示方根、立方根及四次方根。 而另一于欧洲被广泛采用之方根号“”,亦是源自拉丁词语“radix”(意即“平方根”)。这符号 最先出现于由阿拉伯文译成拉丁文的几何原本(欧几里得着)第十卷中,其后斐波那契和帕乔利 等人均采用这符号。及至十六至十七世纪间,许多数学家如:塔尔塔利亚、韦达(亦采用“l”)等 人都以“”为平方根号。 于德累斯顿(1480)手稿内,在数字或字母前 以一点“”表示求平方根;两点“”表示求四次方根;三点“”表示求三次方根及四点“ ”表示求九次方根。而于格丁根手槁(1524)内,则以“”表示平方根;“ce”表示立方根及 “cce”表示九次方根等,如:(即),其中的cs为communis(意为结合),表示先加再开平方。 德国人鲁多尔夫是较早以“”表示平方根的人之一。他于1557年引入“”后,又分别以 “”及“”表示三次方根及四次方根。斯蒂文则分以“”及“c”表示平方根及立方根,至 1640年,又以3)(表示3x2及以3)20+392表示。1637年,笛卡儿采用作平方 根号。1647年,奥特雷德以“r”表示平方根,以“12”或“表示十二次方根;1655年,沃利斯以“3R2”表示;1721年,哈顿分别以“”及“”表示三次方根及四次方根;1732 年,卢贝尔以表示25的三次方根,与现代 的符号无异。其后,各次方根号都逐渐以这形式表达,开始了现代符号的使用。 代数方程的符号代数方程的符号(Signs for algebraic equations)是指方程中所涉及的各种符号,包括未知数符号及其它运 算符号。 我国古人早就有了关于方程的知识,九章算术内便有许多以方程求解问题的例子。由于我国古代是以算筹 作计算工具,并以算筹的位置表示未知数及其次数,因此,只以算筹摆出其系数便可求解。南宋秦九韶于1247年引 入了一元高次方程的一般解法,除了以位置表示未知数及其次数外,还采用了一些专门术语,如下图: 该图表示了一个四次方程:-x4+15245x2-6252506.25=0 。金代李冶等人则采用天元术,以天元明确地表示未 知数的一次项,并建立了设立方程求解实际问题之方法。 丢番图的多项式符号(Signs of polynomials),则如以表示x3+13x2+5x+2。 公元七世纪,印度的婆罗摩及多以 表示0x2+10x-8=x2+0x+1。 1202年,意大利人斐波那契以文字表示方程,如 duo census,et decem radices equantur denariis 30 以 表示2x2+10x=30。 十五世纪,阿拉伯人盖拉萨迪以 表示x2+10x=56。 1473年,德国人雷格蒙格努斯以 表示40x2+120x=800。 1484年,法国人许凯以82. avec. 122. montent. 202 表示8x2+12x2=20x2,当中82.内的小2为未知数指数,并非8的指数。 1491年,意大利人帕乔利以表示x2-y2=36。当中以co. (cosa)表示 x,ce. (censo)表示x2;他还以cu (cubo)、 ce. ce. (ceso de ceso)、po. ro (primo relata)、 ce. cu. (ceso de cubo)等分别表示x3、x4 、x5、x6,。 1525年,德国人鲁多尔夫以Sit 1 z aequatus 1236 表示x2=12x-36。 1535年,奥地利人施雷勃尔以30se.2pri56N表示多项式:30x2-2x-56。两年后,荷兰人黑克以 4se.51pri30N. dit is ghelige 45 表示4x2-51x-30=45。 1545年,意大利人卡尔达诺以1. quad. 2 pos. aeq. 48 表示x2+2x=48。 1550年,德国人申贝尔以4Pri+3ra. equales 217N. 表示 4x2+3x=217。两年后,意大利人格利盖以44 表示x4-4x2=4x2。 1557年,英国人雷科德以表示14x2+15x=71x。两年后,法国人比特奥以表示x3-6x2+4x+9=24。 1572年,意大利人邦贝利以或表示x6+8x3=20 。五年后,法国人戈塞林以67QP8LM12CM18QQM35表示多项式 67x2+8x-12x3-18x4-35,同时以 1LP2qM20aequalia sunt 1LP30表示方程1x+2y-10=1x+30,当 中引入了两个未知数符号。 1585年,比利时人斯蒂文以表示 x3=-2x2+12x+48。 1593年,法国人韦达以表示;至1615年,他又以 A cubus+B plano 3 inA,aequarl Zsolido 2 表示 x2+3B2x=2Z3。 1608年,德国人克拉维乌斯以 表示3x+4y=29770。 1629年,法国人吉拉尔以 表示x2=12x-18。两年后,英国人奥特雷德以表示。 1634年,法国人埃里冈以154a71a214a3a4 2/2 120 表示154a-71a2+14a3-a4=120 。三年后,法国人笛卡儿以表示 x3-9x2+26x-4=0。自此便开始 以x、y、z等拉丁字母表示后几个字母之未知数。 1693年,英国人沃利斯以x4+bx3-cxx+dx+e=0 表示x4+bx3-cx2+dx+e=0。 其后便发展为现代代数方程符号。 函数符号约翰伯努利于1694年首次提出函数(function)概念,并以字母 n 表示变量 z 的一个函数;至 1697年,他又以大写字母 X 及相应之希腊字母 表示变量 x 的函数。同期(1695年),雅伯努 利则以 p 及 q 表示变量 x 的任何两个函数。 1698年,莱布尼茨以及表示 x 的 两个函数;以及表示两个变量 x,y 的 函数。 1734年,欧拉以 f() 表示 的函数,是数学史上首次以“f”表示函数。同时,克莱 罗采用大写希腊字母x,x及x(不用括号)表示 x 的函数。1745年,达朗贝尔以u,s及u,s表 示两个变量 u,s 的函数,并以(z)表示 z 的函数。1753年,欧拉又以:(x,t)表示 x 与 t 的函数 ,到翌年,更以f:(a,n)表示 a 与 n 的函数。 1797年,拉格朗日大力推动以f、F、 及y 表示函数,对后世影响深远。时至今日, 函数主要都以这几个字母表达。 1820年,赫谢尔以f(x)表示 x 的函数,并指 出f(f(x)=f2(x)及fmfn(x)=fm+n(x),还以f-1(x)表示其函数 f 为 x 的量。1893年,皮亚诺开始采用符 号y=f(x)及x=f(y),其后又与赫谢尔符号结合,成为现今通用的符号:y=f(x)及x=f-1(y)。 对数符号对数是由英国人纳皮尔创立的,而对数(Logarithm)一词亦是他所创造的。这词是由一希腊文(拉丁文logos,意即:表示思想之文字或符号,亦可作“计算”或“比率”讲)及另一 希腊词(数)结合而成的。纳皮尔于表示对数时套用logarithm整个词,并没作简化。 至1624年,开普勒才把词简化为“Log”,奥特雷得于1647 年也是这样用。1632年,卡瓦列里成了首个采用符号log 的人。1821年,柯分以“l”及“L”分别表示自然对数和任意且大于1的底之对数。1893年,皮亚诺以“logx”及“Logx”分别 表示以e为底之对数和10为底之对数。同年,斯特林厄姆以“blog”,“ln”及“logk”分别表示以b为底次对数,自然对数和以复数模k为底之对数。1902年,施托尔茨等人以“ alog.b”表示以a为底的b的对数,后渐成现在之形式。 对数于十七世纪中叶由穆尼阁引入中国。十七世纪初,薛凤祚的历学会通有“比例数表”(1653年,或作“比例对 数表”),称真数为“原数”,对数为“比例数”。数理精蕴亦称作对数比例,说:对数比例乃西士若往纳白尔所作,以 借数与真数对列成表,故名对数表。因此,以后都称作对数了。 符号e首先以e表示自然对数(natural logarithm)的底是欧拉,他大约于1727年或1728年的手稿内采用这符号,但这手稿至 1862年才付印。此外,他于其1736年出版之力学第一卷及1747年至1751年的文章内亦以e表示自然对数的底。而 丹尼尔伯努利、孔多塞及兰伯特则分别于1760年、1771 年及1764年采用这符号。其后贝祖(1797年)、克拉姆(1808年) 等都这样用e,至今也是。 到了十九世纪,我国曾以特殊符号表示自然对数的底。李善兰译的代数学(1859年)卷首有这样的一句:“又讷 字代二、七一八二八一八,为讷白尔对数底率。”即以“讷”表示自然对数的底。华蘅芳于1873年译的代数术卷十八 有这样的一句:“则得其常数为二七一八二八一八二八四五九四五不尽,此数以戊代之,可见戊即为讷对之底。”即以“戊”表示自然对数的底,这显然与当时以甲乙丙 丁译有关,因此以“戊”译e。其后因数学书采用了横排及西文记法,因此亦采用了“e”这符号。 初等几何符号初等几何(elementary geometry)中采用的符号大致可分为三类:()表示几何概念之象形或图形,如“”表示三角形; ()几何中特有之表意符号,如“”表示相似;()初等代数符号,如“”、“”等。 欧几里得的几何原本虽是几何学的开山之作,但它并无采用几何符号(Symbols in geometry);而最早采用几何 符号的是海伦(公元150年)。另外,中国古代数学中亦包含了许多极重要而又富有成果之几何学内容,且曾提出一些独 特的几何概念,但没采用专门的符号。 海伦采用之符号:(三角形);或(平行);(四边形)及(圆形)。而帕普斯(四世纪)所采用之符号则是: 或(三角形);或(平行);(直角);(正方形);或 (圆形)。 埃里冈于1633年以“”表示垂直,这符号后渐通用,至今也是。但期间,如卡斯韦尔、琼斯等人曾以倒放的字 母“”表示垂直;亦有其它人以“”、“”及“”表示垂直。 此外,埃里冈又于1634年以“”表示角,这符号于十七及十八世纪是非常通用的。奥特雷得于1657年以“”表示角 ,这符号后渐流行且沿用至今。到了十九世纪,波尔约等人以“”表示角;麦比乌斯以“”表示由直线与所形成的角,但施托尔茨则以这符号表示角。霍尔斯特德等人就以“”表示角。马赫以“”表示直角,而埃里冈则以“”表示。 自埃里冈及奥特雷德时代始,符号“”(三角形)、“” (正方形),“”或“”(矩形)、“”(平行四边形)就已开始通用,其中“”及“”一直沿用至今。 海伦及帕普斯的圆形符号,特别是帕普斯的,一直沿用至今。埃里冈亦用了帕普斯的“”表示平行;而 卡斯韦尔、琼斯等人则以“”表示平行,这符号至今依然通用。十二世纪,蒂沃利的普拉托以表示圆形上的弧ab ,这为现今用法之源由。 莱布尼茨于1679年以“ab”表示与相似,以“” 表示全等;1710年,在另一地方,又以“”(水平放的字母“”表示相似,这两形式至今还采用。哈塞勒于1777年 开始以“”表示全等,而穆尔韦德则于1824年以“”表示全等,以“”表符号首个以符号表示圆周率的人是沃利斯。他于1656年出版的无穷算术中以一小方块“”表示 43.14149。另外, 施图姆是首个以单一字母表示圆周率的人,他于1689年以字母“e”表示圆周率。 奥特雷德于1652年以比表示圆周率,其中为圆周,为直径。巴洛、格雷戈里等人也采用这记法。到了1706 年,琼斯引入作圆周率之符号。欧拉于1734年曾以p表示圆周率及以表示其一半,但两年后,他亦采用了琼斯之符号。而尼古拉伯努利于1742年给欧拉的信中亦采用了作 圆周率。这符号日渐流行,并沿用至今示相似。这两全等符号至今依然采用。 角度符号现今所采用的角度符号(Sign for angle metric magnitude):o(度),(分),(秒),是源于 古希腊的。托勒密的天文学大成采用了角度符号,并以古巴比伦的进制作为角度之进位制。 基本单位记作,但常简记作o。首个分位以一重音号“”表示,而第二个分位则以两 个重音号“”表示,如以表示47o4240 ;还以表示2o。 漫长的中世纪时代中,并没采用过托勒密的符 号。早期之拉丁文手稿内是以文字缩写gu,gdu,gdus 等表示角度。于十二世纪由阿拉伯天文表翻译之拉 丁文书内,则以gradus(度),minutae(分), secllndae(秒)等及其缩写,分别为Gr.,Min.,sec 表示角度。十五世纪中期,雷格蒙塔努斯曾以3517 表示35o17,且还开始采用托勒密的部分符号,如以 44.42.4表示44o424。年于德国科隆( Cologne)印行的托勒密的天文学大成内以表示 度,表示分。年,雷格乌斯以T,S,g,m ,s,t,qr表示角度,其中1T=12S,1S=30g(度), 1g=60m,1m=60s等。这用法非常广泛,年,克拉维乌斯以G.,M.,S.分别表示度,分,秒。 年,弗里西乌斯以表示现在的36o30245015IV。最先以o表示度的要算佩尔蒂埃(),但他并没像现在这样直接应用 ,他把1220的角记作。 最早以现代形式,即以o、表示角度的是莱因霍尔德()他以o631353及62o5418两 种形式表示角度。其后第谷布拉赫()也采用了这角度符号。后来逐渐得到普遍应用,但间或有人(如斯霍纳();赖特()等)把o、等记于数字上,如以表示7o50。年,舍文强调了1o482812的角度符号, 此后得到通用。 三角函数符号毛罗利科早于年已采用三角函数符 号(Signs for trigonometric functions), 但当时并无函数概念,于是只称作三角线( trigonometric lines)。他以sinus 1m arcus 表示正弦,以sinus 2m arcus表示余弦。 而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他于年,创立以“tangent” (正切)及“secant”(正割)表示相应之概念 ,其后他分别以符号“sin.”,“tan.”,“ sec.”,“sin. com”,“tan. com”,“ sec. com”表示正弦,正切,正割,余弦,余切,余割,首三个符号与现代之符号相同。后来的 符号多有变化,下列的表便显示了它们之发展变化。 使用者年代正弦余弦正切余切正割余割备注罗格蒙格努斯1622S.R.T. (Tang)T. cplSecSec. Compl吉拉尔1626tansec.杰克1696s.cos.t.Cot.sec.cosec.欧拉1753sin.cos.tag(tg).Cot.sec.cosec谢格内1767sin.cos.tan.Cot.巴洛1814sincos.tan.Cot.seccosec施泰纳1827tg皮尔斯1861sincos.tan.cotallseccosec奥莱沃尔1881sincostanCotseccsc申弗利斯1886tgCtg万特沃斯1897sincostanCotseccsc舍费尔斯1921sincostgCtgseccsc注:现代(欧洲)大陆派三角函数符号。 现代英美派三角函数符号 我国现正采用类三角函数符号。 年,丹尼尔伯努利是先以符号表示反 三角函数,如以AS表示反正弦。年欧拉以At 表示反正切,一年后又以Asin表示 于单位圆上正弦值相等于的弧。 年,申费尔以arc. tang. 表示反 正切;同年,拉格朗日采以表示反正弦函数。年,兰伯特则以arc. sin表示 同样意思。年,鲍利以Arc.sin表示反正弦函数。其后这些记法逐渐得到普及,去掉符号中之小 点,便成现今通用之符号,如arc sin x,arc cos x 等。于三角函数前加arc表示反三角函数,而有时则 改以于三角函数前加大写字母开头Arc,以表示反三角函数之主值。 另一较常用之反三角函数符号如sin-1x ,tan-1x等,是赫谢尔于年开 始采用的,把反三

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