飞机精确定位问题数学模型

飞机精确定位问题摘要飞机在飞行过程中，地面各个监控台通过VOR（高频多向导航设备）和DME（距离测量装置）向飞机发送当前位置的信息，帮助飞机较精确地确定其所处的位置。确保飞机与地面间的联系，保证飞机的飞行安全。本文运用非线性规划的方法，在飞机和这些设备在同一平面上的假设下，利用题中所给的已知数据，对数据进行标准化，统一量纲，建立了非线性规划的模型，并对已知数据数据进行了标准化的处理，使模型得到的结果更加精确.利用最小二乘法，利用LINGO最优化求解得出最小误差为2.下，得出飞机坐标为（981.90810,729.9403）的结果。 关键词：飞机定位 数据标准化 非线性规划模型 1 问题重述 飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如VOR（高频多向导航设备）提供的飞机与该设备连线的角度信息；DME（距离测量装置）提供的飞机与该设备的距离信息。根据题目图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离(括号内是测量误差限)，来确定当前飞机的位置. 2 问题分析 根据VOR（高频多向导航设备）和DME（距离测量装置）提供的信息，记设备VOR1、VOR2、VOR3、的坐标为()(以km为单位)，i=1, 2, 3；DME的坐()(以km为单位)，对数据进行标准化，统一量纲，同时全面的考虑各种误差因素，帮助减小不必要的误差，提高结果的精确度. 3 模型假设1.飞机和这些设备在同一平面上.2.假设测量的误差服从正态分布.4 符号说明符号 符号说明 单位 第i个VOR的横坐标 第i个VOR的纵坐标 DEM的横坐标 DEM的纵坐标 第i个VOR的角度测量误差 度 DEM的距离测量误差 公里 第i个VOR的角度测量角度 度 DEM的测量距离公里 待测飞机的坐标 5 模型的建立与求解 5.1 模型建立5.1.1 相关数据及处理表1设备坐标与飞机的距离或角度误差VOR1（764,1393）161.2度（2.81347弧）0.8度（0.014弧）VOR2（629,375）45.1度（0.78714弧）0.6度（0.0105弧）VOR3（1571,259）309.0度（5.39307弧）1.3度（0.0227弧）DME（155,987）864.3米2米采用VOR导航设备能够得到飞机与该设备连线的角度信息和DME测量装置得到飞机与该设备的距离信息对飞机定位。当设备间各自得到带有一定误差的数据时，为了比较精确地确定飞机的位置就需要把相对应的误差值平方和最小，即角度误差与距离误差平方和最小，目标函数有最小时，决策变量只有飞机的位置坐标，因此需要建立一个NLP模型。目标函数：从测量误差入手，利用最小二乘法，求测量误差的残差平方和最小的情况下,决策变量的值。首先将飞机与VOR角度和飞机与DEM距离进行了标准化处理，即 根据本例中给出的精度可以认为是测量误差的标准差(也可以是与标准差成比例的一个量，如标准差的3倍或6倍等)。在这种理解下，用各自的误差对测量误差进行无量纲化处理。5.2 模型求解由LINGO程序（见附录）建立的优化模型，利用最小二乘法，求得 Variable Value Reduced Cost X0 981.9080 0. Y0 729.9403 0.在最小误差为2.下，飞机坐标为（981.90810,729.9403）6 模型的评价与改进这是飞机飞行过程中常见位置确定问题。在已知相关信息条件下，与实际情况较好的结合。并对已知数据数据进行了标准化的处理，尽可能的减小误差，该模型思路清晰，方法明确，结构简单。并经过模型的改进，所得结果较为精确.具有较强的实际应用价值。同时该模型也有进一步改进的空间，由于设备测量本身误差的存在，想要得到更为精确的结果，需要全面的考虑各种误差因素，进一步改进算法.使所得结果更加接近真实值.对实际问题的解决更有实用价值. 参考文献1 谢金星.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，2005.2 朱小平.同济大学.上海：同济大学学报，2009.附 录附录描述1问题一Lingo求出最优解程序model:sets:mubiao/1,2,3/:x,y,t,k;endsetsdata:x=764,629,1571;y=1393,375,259;t=2.81347,0.78714,5.39307;k=0.014,0.0105,0.0227;x4=155;y4=987;d=864.3;k4=2.0;enddatainit:x0=981.2311;y0=733.3135;endinitmin=sum(mubiao(i):(x0-x)/(y0-y)-tan(t)/k)2)+(sqrt(x0-x4)2+(y0-y4)2)-d)/k4)2;end Global optimal solution found. Objective value: 2. Objective bound: 2. Infeasibilities: 0. Extended solver steps: 14 Total solver iterations: 5320 Model Class: NLP Total variables: 3 Nonlinear variables: 2 Integer variables: 0 Total constraints: 2 Nonlinear constraints: 1 Total nonzeros: 3 Nonlinear nonzeros: 2 Variable Value Reduced Cost X4 155.0000 0. Y4 987.0000 0. D 864.3000 0. K4 2. 0. X0 981.9080 0. Y0 729.9403 0. X(1) 764.0000 0. X(2) 629.0000 0. X(3) 1571.000 0. Y(1) 1393.000 0. Y(2) 375.0000 0. Y(3