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文档简介
洛阳师范学院本科毕业论文 数形结合在教学中的应用摘 要:数和形是数学的两类基本元素,它们既相互独立,又相互联系“形”的主要作用是直观,数的突出特点是准确,将数和形结合起来研究数学、生活等方面问题时常能起到直观、准确的作用. 关键词:数形结合;数学思维;教学应用1 数形结合的作用数形结合是一种数学思想方法,数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性,利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式.正如我国著名数学家华罗庚先生曾精辟指出:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微数形结合百般好,隔离分家万事休.切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离.”数形结合思想方法具有如下特点:(1)直观性在研究和解决数学问题时,数形结合将抽象的代数式、解析式的本质特征表现出来,借助直观进行形象化、几何化(2)关联性数形结合方法是一个形象性、理性的认识活动,它将问题的代数与几何方面的特征综合起来,具有很强的关联性(3)思维的全面性数形结合与逻辑思维的逻辑推理不同,它在代数与几何问题间联系、穿插,一般表现为多回路运动,是二维的、面型的思维过程究其本质,数形结合是在某一空间内进行点集与数集的等价化归,目标原象与目标映象所在的关系结构系统之间相同的可解性,是形象思维成功的保证. 2 数形结合在教学实际中可以联系实际的应用2.1高致病性猪流感是比病毒传染速度更快的传染病 高致病性猪流感是比病毒传染速度更快的传染病,为防止猪流感蔓延,政府规定:离疫点千米范围内为隔离区,所有人都被隔离;离疫点千米至千米范围内为免疫区,所有的人强制免疫;同时,对隔离区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理,现有一条笔直的公路通过猪流感病区(如图2.1.1),为疫点,在隔离区内的公路长为千米,问这条公路在该免疫区内有多少千米?解:过点作交于点,连结、=5,=3,=4,=2,在中,=32-22=5中,=2,=2-2,=4-4 图2.1.1答:这条公路在该免疫区内有(4-4)千米2.2数学的客观存在的美感,在数与形的结合上表现得十分完美 在数与形的关系中特别引人注目的著名的“黄金分割率”,它被世人称之为和谐性的最完美的表现.“”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神.在日常生活中,人们习惯用“黄金分割”审美的观念看世界.在绘画和建筑艺术中,如达芬奇的最后的晚餐,埃菲尔铁塔等,都用到了“黄金率”,所以,它们才有经久不衰的魅力.数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究,人们在透过形的外表,触及其内在的数量特征,探索由图形到数量的联系与规律,即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息,使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化.3 数轴的建立使形与数有机地统一把实数与数轴上的点一一对应起来,数可以视为点,点可以视为数,点在直线上的位置关系可以数量化,而数的运算(特别是有理数的运算)也可以几何化.在此基础上,笛卡尔把数轴(一维)扩展到平面直角坐标系(二维))把有序数对与平面上的点一一对应起来,从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来.于是,就可以用代数方法来研究几何图形的性质,把几何研究转换成对应的代数研究从而诞生了解析几何学科.笛卡尔创立了解析几何学,并在数学中引入了“变量”,完成了数学史上的一项划时代的变革.为此恩格斯给予了很高的评价:“数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,.”尽管笛卡尔的解析几何思想有着一定的局限性,但在当时是有突破性的,意义是非常重大的,其次数形结合为代数研究提供了形象模型,拓展了代数学的研究领域,从而推动了数学发展的进程恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观可见,数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾的统一是数学发展的内在因素我们从初步的数形结合来研究一下数形结合的魅力所在,在教学中的作用发挥例3.1证明三角形的高线交于一点.分析:我们把它翻译成数学语言,用数形结合来解决就会得到这个事实证明:如图,建立直角坐标系,设:=(),=(),= =, ,=,=,=0 图3.1所以是上的高,故的三条高线交于一点.例3.2 求证: 分析:这个题目的证法很多,有完全是从代数角度出发的,但本题如能合理构图,利用数形结合,将很快得证.式子变形即证,故构造点到直线L: 距离,显然有,得证. 图3.2 4 笛卡尔之后的数与形更进一步密切结合. 例如数学分析中,导数=切线的斜率;积分=曲边梯形的面积:代数中,方程的根=曲线与轴的交点;近代数学中,从几何的角度看,代数和几何的结合产生了代数几何:分析和几何结合产生了微分几何;而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析(以及其它学科)提供几何背景,解释和研究课题,促进它们的发展,并使数学在实践中的应用更加广泛和深入.可见,数形结合也是今日数学发展的必然,数形结合贯穿于数学发展的全过程.形的概念的本身也在数量关系的描述下不断发展,从平面几何、立体几发展到维空间的仿射几何,射影几何.我们生活在维空间,()维空间描写的己经不是我们所生活的现实世界,()维空间的各种说法,比如:距离、夹角、平行,垂直、体积等概念,是人为地在头脑中构造出来的,但这些说法之所以正确,能被我们接受,是因为在维空间中,各个元素的关系用代数式被清楚地表达了.这些关系式完全可以类比于维空间中的几何形象而在维以上的空间中找到自己的几何解释.比如:平面解析几何中有:为原点,为平面上两点,则 ;类比地,在维空间有:为原点,A()B()为空间两点设=(),=(),则.可见在用数量关系描写空间形式的过程中,对形的特点有了更进一步的认识,抓住了更本质的关系,从而把它们之间的各种关系推广到了维空间,得出了抽象的维空间(几何形式)中的形之间的数量关系,或者说这些数量关系得到了一个形象的几何解释.5 高等数学中的数形结合5.1 高等数学常常由于其内容的高度抽象性,严密的逻辑性,独特的“公式语言”简练的表达方式而成为进入大学之后学习的一道难关,但是如果运用数形结合的思想对某些概念、定理或题目进行分析,使抽象、复杂的数学问题变得形象直观,能够化繁为简,降低学习难度,起到事半功倍的效果,也有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.高等数学中的许多概念都是用抽象的数学语言给予形式化的精确描述,由于这种描述高度抽象,大一的初学者很难理解它的含意,往往是不加理解的死记硬背.学习中若从概念的几何背景人手,借助直观的几何图形来观察、分析,由具体逐步过渡到抽象,将有助于我们理解抽象的概念.例如,在学习导数概念时,从曲线的切线斜率人手,再通过变速直线运动的瞬时速度的求法,最后归纳总结出:虽然曲线切线的斜率和变速直线运动的瞬时速度是两个截然不同的概念,但是通过分析都归结为同一形式(差商)的极限,于是抛开它们的几何或物理意义,找出它们的本质特征,将这种形式的极限抽象概括为导数.再如极限、连续、微分、定积分、二重积分等概念,都应从几何背景人手.利用数形结合思想引出概念,不仅使我们看到概念的来龙去脉,加深了对概念的理解,而且能够在学习知识的同时影响我们的数学思想,使我们学会抽象与概括的科学思维方法,提高分析问题和解决问题的能力.高等数学中的有些重要定理比较抽象,理解起来也比较困难,但是如果利用数形结合思想,恰当的引出定理或对定理作出直观的几何解释,掌握起来就容易多了.例如,对于微分中值定理的学习,微分中值定理通常包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.这些定理是微分学理论的重要部分,也是导数应用的“桥梁”因而是微分学的重点之一.由于定理集中,论证的份量较重,学习往往感到困难.利用数形结合思想,恰当引出定理,进而揭示各定理之间的联系,有助于消除教学学习中这一难点.例5.1.1求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积.解:作出它的草图(如图5.1.1): 并求抛物线与直线的交点,即解方程组得交点,.到这里,我们习惯选择为积分变量,但从图形中可以看出,若选为积分变量,则需要所求图形的面积分成两块,即将分为两个积分区间:和,并且求出当和时函数表达式,再根据数量关系用定积分求出在这两个区间的面积之和,这种过程就比较复杂.如果选择作积分变量,任取 图5.1.1一个子区间.则在上的面积微元是 =于是= =数形结合解题就是在解决与几何问题有关的问题时,将图像信息转换为代数信息,利用数量特征,将其转化为代数问题.例5.1.2已知复数满足,求的模与辐角主值的范围. 分析:由于有明显的几何意义,它表示复数对应的点到复数对应的点之间的距离,因此满足的复数对应的点在以(2,2)为圆心,半径为的圆上,(如图),而表示复数对应的点到原 图5.1.2点的距离,显然,当点,圆心,点三点共线时,取得最值, 的取值范围为 同理,当点在圆上运动变化时,当且仅当直线与该圆相切时,在切点处的点的辐角主值取得最值,利用直线与圆相切,计算得 即 即5.2微分中值定理的数形结合5.2.1(拉格朗日中值定理)设是平面上的任意一段光滑曲线弧,连接端点、的直线段称为弦.不难发现,曲线弧中间存在这样的点,过点的切线与弦平行(如图5.2.1(1)). 这是一个简单、明显的几何事实.如何用分析的语言把这一事实描述出来呢?适当地建立平面直角坐标系(如图5.2.1(2)).假设曲线弧是函数的图形,曲线过P点的切线平行于弦,则它们的斜率相等.弦的斜率为,因为点在弧中间,所以设点的横坐标为,曲线过P点的切线斜率为.于是,上述几何事实可表示为:=. 曲线弧本身应是光滑的,即它是连续的,并且除端点、外,处处具有切线.否则,上述几何事实可能不成立(如下5.2.1(3)和5.2.1(4)图). 图5.2.1(3) 5.2.1(4)曲线弧是光滑的用分析的语言描述就是函数在闭区间上连续在开区间内可导.综上所述,得到以下命题:如果函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导,那么在内至少存在一点,使等式=成立.这个命题就是拉格朗日中值定理.5.2.2(罗尔定理)如果在建立平面直角坐标系时,使轴平行于弦(如图5.2.2),便有,结论则为.于是得到上面命题的特殊情形: 图5.2.2如果函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区问内可导;(3)在端点的函数值相等,即,那么在区间内至少存在一点,使.这就是罗尔定理.其几何直观意义:在内至少能找到一点,使的导数为,表明曲线上至少有一点的切线斜率为,从而切线平行于割线,也就平行于轴.5.2.3(柯西中值定理)如果曲线弧是由参数方程,给出的,那么上述几何事实用分析语言又怎样描述呢?显然,端点的坐标为:, (如图5.2.3),从而弦AB的斜率为,点的坐标可设,过点的切线的斜率为 ,于是切线平行于弦解析地表示为:=. 图5.2.3 曲线弧连续,除端点外处处有切线的假定,在现在的情况下就是:,在闭区间上连续,在开区间内可导.此外,由于出现在分母上,因此设O,再把参变量换成,就得到一个新的命题:如果函数及满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;(3)对任一,那么在内至少存在一点,使等式=成立.这就是柯西中值定理.从几何的角度看,罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的结论都是切线平行于弦,但是从解析的角度来看,罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,当时拉格朗日中值定理就变成了罗尔定理;而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特殊情形,当时柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.反之,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广;拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广.可见,运用数形结合的思想,我们去观察、分析、抽象、概括、得出结论,不仅加深了我们对定理的理解,而且能验到探索的神奇和发现的喜悦,体验到数学的思想方法的奥妙无穷,这无疑会极大地提高我们的学习数学的兴趣,同时也会潜移默化地提高我们数学素质和创造能力5.3 高等数学中的巧解例题应用 数与形在一定条件下可以互相转化,如某些代数问题往往有几何背景,而借助其背景图形的性质,可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论例5.3.1设,,求 的最小值.分析:如果此题用二元函数求极值的方法计算十分繁难 注意到这是一个平方和的形式,从而联想到两点问的距离公式,设,则问题化归为求P、Q的距离的最小值因为,所以、分别是半圆和双曲线一支上的点,即求半圆上的点与双曲线上的点的最短距离(如图5.3.1),由圆与双曲线的性质可知,这个最短距离是=3-=2,故=8. 图5.3.1本题充分地利用了代数式的几何意义,数形结合,使解法简捷、明快,具有创新性.在高等数学中,类似的问题比比皆是,从几何直观出发对问题进行分析,可以加深对问题的内涵的理解,使抽象、复杂的数学问题变得形象、直观,能够化繁为简,降低解题难度,对提高学生分析问题和解决问题的能力很有帮助,在高等数学教学中应加以重视.例5.3.2求方程解的个数解:函数,的图象很容易能画出(如图5.4.2)可以看出当和时这两个函数不可能有交点,而当时有三个交点.显然方程解的个数即是这两个函数,的图象交点的个数,据数形结合知它们交点的个数是,故原方程有个不同的解. 图5.3.2 此题如果用其它一般的求方程的方法来求是不适宜的,例如通过移项,两边同时乘,除同一数,平方,开方,积分,微分等常用的解方程的方法将无济于事.根据函数的性质进行分段的讨论又将很复杂,而且很容易就出错,甚至得不出正确的结果.但是用了数形结合的方法却清晰,快速,准切地求出了答案.结束语数形结合思想是重要的数学思想方法之一,从数的概念的形成和发展,到微积分的产生及现代数学各分支学科的形成,都与数形的完美结合分不开的.重视思维能力的培养,对于克服思维的单向性,具有十分重要的意义.在学习过程中,我们应结合实际情况,尽最大能力,适时把握契机,在训练和培养逻辑思维能力的同时,要进一步培养我们的的创新意识,全面提高自己的创造性思维能力.致谢这篇学位论文是在张国利指导老师的悉心指导下完成的.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,张老师始终都给予我不懈的支持.在此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.参考文献:1庞进生.微积分中数形结合思想的教学探讨J .周口师范学院学报,2006,5:21-27.2袁桂珍.数形结合思想方法及其运用J.广西教育,2004:150-153.3琳源渠.高等数学历年真题详解与考点分析M北京:机械T业出版社,2002:50-55. 4同济大学数学教研室.高等数学(第四版)M.北京:高等教育出版社,1996:206-242.5莫红梅.谈数形结合在中学数学中的应用J.教育实践与研究,2003,12(5):55-60. The combination of Algebra and Geometry in the teaching applicationCHEN Yan-fengCollege of Mathematics Science No:050414060Tutor: ZHANG Guo-liAbstract: Number and shape are two types of the basic elements of mathematics, which is independent of and related of each other. The main role of Shape is intuitive, the character of the number is accurate , and combining number and shape research can often play a direct and accurate role in mathematics and other aspects of life.This paper also introduce the main application of combination of number and shape in Mathematics.Key Words: the combination of algebra and geometry;thinking of mathematical;teaching application袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈
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