正交设计--多因素

5 正交设计,一、问题的提出-多因素的试验问题,二、 正交设计的发展,三、基本概念,四、正交表的符号及其特点,五、正交试验设计的步骤,六、无交互作用的正交试验设计和方差分析,七、有交互作用的正交试验设计和方差分析,八、多指标问题,九、水平数不同的正交表的使用,2,例5.4.1 为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关的因素进行条件试验，反应温度（A），反应时间（B），用碱量（C），并确定了它们的试验范围：A：80-90 B：90-150MinC：5-7%试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率的影响，哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而确定最优生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率提高。试制定试验方案。,5.4 正交设计,一、问题的提出-多因素的试验问题,3,这里，对因素A、B、C在试验范围内分别选取三个水平A：A180、A285、A390B：B190Min、B2120Min、B3150MinC：C15%、C26%、C37%试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的。而定量因素各水平间的距离可以相等也可以不等。,4,取三因素三水平，通常有两种试验方法：（1）全面实验法： A1B1C1 A2B1C1 A3B1C1 A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2 A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3 A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1 A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2 A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3共有3=27次试验，如图所示，立方体包含了27个节点，分别表示27次试验。,5,全面试验法的优缺点：优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚缺点：(1)试验次数太多，费时、费事，当因素水平比较多时，试验无法完成。 (2) 不做重复试验无法估计误差。 (3)无法区分因素的主次。 例如选六个因素，每个因素选五个水平时，全面试验的数目是56 15625次。又如，1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，此时靠全面试验法是无法完成的。,6,如果得出结果B2最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化，则：,如果得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是C1，使B变化，则：,如果试验结果以C2最好。于是得出最佳工艺条件为A3B2C2,简单比较法的试验点,（2）简单比较法,变化一个因素而固定其它因素，如首先固定B、C于B1、C1，使A变化之，则：,7,简单比较法的优缺点：优点：试验次数少缺点： （1）试验点不具代表性。考察的因素水平仅局限于局部区域，不能全面地反映因素的全面情况。 （2）无法分清因素的主次。 （3）如果不进行重复试验，试验误差就估计不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度。 （4）无法利用数理统计方法对试验结果进行分析，提出展望好条件。,8,正交试验的提出：考虑兼顾全面试验法和简单比较法的优点，利用根据数学原理制作好的规格化表正交表来设计试验不失为一种上策。用正交表来安排试验及分析试验结果，这种方法叫做正交试验法。事实上，正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上，更表现在对试验结果的处理上。,用正交表安排试验时，对于例5.4.1：,用正交试验法安排试验只需要9次试验,9,二、 正交设计的发展,20世纪30年代，费希尔在试验设计方面做出了一系列先驱性的贡献。20世纪上半叶，正交设计方法已经在数学界中提出。到40年代后期，日本统计学家田口玄一博士首次将正交设计方法应用到日本的电话机试验上。到1970年，日本已经成功使用正交设计方法100万次以上。20世纪70年代以来，我国应用正交设计取得一大批优秀成果。中国数学家张里千教授发明了中国型正交试验设计法 。,10,1 指标 定义：在试验中 ，根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为指标。它可以是产品的质量参数（重量、尺寸、速度、温度、寿命、硬度、精度），也可以是成本、数量、效率等。 分类： 定量指标 定性指标 在试验设计中，通常采用将定性指标定量化的方法（如评分法）将定性指标化为定量指标进行考核和分析,望大值 望小值望目值,定量指标,三、基本概念,11,2 因素 定义：在试验中，影响试验结果的试验条件称为因素 分类：可控因素：在试验中可以人为地加以调节和控制的因素。 不可控因素：由于自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控制和调节的因素。如气温、降雨量等 在正交试验中，所考察的因素都是可控因素，被考察因素通常以大写英文字母A、B、C表示。,因素在试验中所处的各种状态和条件称为因素的水平。在试验中往往要考虑某因素的几种状态，那么就称该因素为几水平因素,3 水平：,12,四、正交表的符号及其特点,正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名的基础上构造的一种规格化的表格。,两水平正交表L4(23)、 L8(27) 、 L12(211) 、 L16(215),三水平正交表L9(34)、 L27(313),四水平正交表L16(45)、 五水平正交表L25(56),混合水平正交表L8(41 24 )、 L12(31 24 )、 L24(31 41 24 ),13,(1) 任一列中，不同数字出现的次数相等,(2) 任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等,正交表的特点 ：,14,(1) 任一列中，不同数字出现的次数相等,(2) 任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等,正交表的特点 ：,L9(34),15,根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的 。 由 图12-2可以看出，在立方体中 ，任一平面内都包含 3 个“()”， 任一直线上都包含1个“()” ，因此 ，这些点代表性强 ，能够较好地反映全面试验的情况。,16,1、 明确试验目的、确定指标2 、挑因素、选水平，制定因素水平表3 、选择正交表 1) 根据水平数选择正交表类型 2) 根据因素（含交互作用）数选择正交表大小4、确定试验方案 1) 因素随机上列 2 ) 水平对号入座5 、试验实施6 、试验结果分析,五、正交试验设计的步骤,17,例5.4.1,为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关的因素进行条件试验，反应温度（A），反应时间（B），用碱量（C），并确定了它们的试验范围：,A：80-90,B：90-150Min,C：5-7%,试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率的影响，哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而确定最优生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率提高。试制定试验方案,1、明确试验的目的，确定考核指标。,六、无交互作用的正交试验设计和方差分析,18,2、挑因素，选水平。,影响试验结果的因素很多，我们不可能把所有影响因素通过一次试验都予以研究，只能根据以往的经验，挑选和确定若干对试验指标影响最大、有较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究。同时还应根据实际经验和专业知识，定出各因素适宜的水平，列出因素水平表。,例5.4.1,19,3、选择合适的正交表,确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。,选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。,一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；,此例有3个3水平因素，若不考察交互作用,三水平正交表L9(34)、 L27(313),20,21,4、用正交表安排试验,22,5、正交试验设计的常规分析法,1、看一看,2、算一算,画水平影响趋势图,23,24,6、正交试验方差分析的基本方法,1) 总的变差平方和,自由度,25,2) 各列的变差平方和,设A有r个水平，,每个水平试验次数为m，,26,3) 方差分析,总的变差平方和,自由度,A因素引起的的变差平方和,自由度:,（r为水平数）,试验的误差平方和（即空列）,自由度:,判断A因素是否显著。,27,例5.4.1,28,例5.4.1,4)注意这个组合方案并不在作过的9个试验当中.,1)因子B作用不显著,从节约角度不妨选择B1(90min),2)A的作用显著,C的作用比较显著;,3) 较优的生产方案为A3C2B2.,29,7、正交试验的MINITAB实现,30,试验设计,田口方法（正交设计）,生成正交表,31,显示可以用软件生成的全部正交表,32,单一水平正交表,3水平正交表,混合水平正交表,33,输入,34,试验结果的直观分析,35,试验结果的直观分析,36,试验结果的直观分析,平均值,极差,37,试验结果的直观分析,38,试验结果的方差分析,39,试验结果的方差分析,单击,40,试验结果的方差分析,均说明显著性或因素主次为:ACB,41,典型范例二硝基苯肼的工艺改革试验目的: 二硝基苯肼是一种试剂产品。过去的工艺过程长,工作量大且产品经常不合格。北京化工厂改革了工艺，采用2,4二硝基氯化苯(以下简称氯化苯)与水合肼在乙醇作溶剂的条件下合成的新工艺。小的试验已初步成功,但收率只有45%，希望用正交试验法找出好的生产条件，达到提高生产效率的目的。试验指标:产率(%)与外观颜色。,42,制定因素水平表,2.选择合适的正交表,选用正交表L8(27),43,3.确定试验方案 将本试验的6个因素及相应水平按因素顺序上列、水平对号入座原则,排入L8(27)表中前6个直列。试验方案如下表,44,4.直观分析（连同表格一块输入）,45,可能好配合,46,5.方差分析,47,可能好配合,只有因素B有一定影响，其他因素影响不显著,48,6、第二批撒小网在第一批试验的基础上,为弄清产生不同颜色的原因及进一步如何提高产率,决定再撒个小网。做第二批正交试验。(1) 制定因素水平表 对最重要的因素B,应详加考察,从趋势上看,随水合肼用量的增加产率提高。现决定在用量两倍的周围,再取1.7倍与2.3倍两个新用量继续试验这即是有苗头处着重加密原则。,49,（2）利用正交表确定试验方案,选用正交表L4(23),（3） 试验结果的分析投产效果是:平均产率超过80%,从未出现过紫色外形,质量达到出口标准。总之,这是一个最优方案,达到了优质、高产、低消耗的目的。,50,这里交互作用起加强作用，大小为：（560400）（430400）（450400）=80（斤）,七、有交互作用的正交试验设计和方差分析,1、交互作用的认识,有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响，我们称这种联合作用为交互作用。,例：考虑氮肥（N）和磷肥（P）对豆类增产的效果,从表中可以看出，加4斤磷肥，亩产增加50斤；加6斤氮肥，亩产增加30斤；而同时加两种肥料，亩产增加160斤，而不等于分别增加的 503080斤。这就是交互作用,51,施肥量与产量（kg/亩）,（a）无交互作用,(b) 有正交互作用,（c）有负交互作用,52,例：设某一试验有两个因素A和B，因素A有两个水平A1，A2，因素B有两个水平B1，B2.,试验数据之一,试验数据之二,A的效果：,B的效果：,A的效果：,B的效果：,53,如P278 L8（27）的交互作用表,2、交互作用表,（完备正交表）,表示位于第二、第四列的两因素的交互作用要放于第六列。,注意：主效应因素尽量不放交互列。如A、B因素已放1、2列，则C 因素就不放3列。,表头设计,54,对于水平数相同的两个因素，其交互作用在正交表中所占的列数为水平数减一。,正交表的选用原则,要考察的因素及交互作用的自由度总和必须不大于所选用正交表的总自由度,自由度的两条规定：,（1）正交表的总自由度f总 试验次数1； 正交表每列的自由度f列此列水平数1,（2）因素A的自由度fA 因素A的水平数1； 因素A、B间交互作用的自由度fAxB fAfB,55,因素水平表,考虑AB、AC,自由度考虑：,4因素及交互作用AB、AC，总自由度数41216,而L8 (27)共有817个自由度，可以安排,56,因素水平表,如果交互作用AB、AC、AD、BC、BD、CD都要考虑，如果我们仍使用L8 (27)来安排试验，则表头设计如下,表头设计,4因素及6个交互作用，自由度总和为416110，,只能选用更大正交表的L16 (215)来做表头设计,57,例5.4.2 某纺织厂在梳棉机上纺粘锦混纺纱.为了降低棉结粒数，想通过试验确定有关的三个因素的一个较好方案.,考察因素A、B、C、A*B、A*C、B*C,选用正交表L8(27),表头设计,3、有交互作用正交试验的安排,58,59,4、利用MINITAB,60,61,直观分析,62,1、各因素的主次顺序为,2、最优方案：,3、C*A的交互作用,2、最优方案：,63,方差分析法,单击,注意: (1)这里A*B、B*C和C*A不能双击列出, 只能输入否则不显示其交互作用. (2)多个因素的方差分析中交互作用用” * ”,不用” | ”.,64,均说明显著性或因素主次为:CA*CBA=A*B=B*C,FA*CBA,67,八、多指标问题,多个指标之间又可能存在一定的矛盾，这时需要兼顾各个指标，寻找使得每个指标都尽可能好的生产条件,单指标试验：衡量试验效果的指标只有一个,多指标试验：衡量试验效果的指标有多个,68,在对各个指标逐个测定后，按照由具体情况确定的原则，对各个指标综合评分，将各个指标综合为单指标。此方法关键在于评分的标准要合理,1、综合评分法,例1 白地雷核酸生产工艺的试验试验目的：原来生产中核酸的得率太低，成本太高，甚至造成亏损。试验目的是提高含量，寻找好的工艺条件。本例介绍由北京大学生物系与生产厂联合攻关中的第一批L9 (34 ) 正交试验的情况。,因素水平表,69,试验方案及结果分析,分数2.5纯度0.5回收率,2.517.8+0.5 29.8=59.4,70,71,从图上和表上的极差都可以看出，因素的主次为：,所以，A取A1，D取D1，PH值选取便于操作的水平C2，B取B3，故，最优条件为：A1B3C2D1,事实上，试验结果也证明，上述最优条件效果很好。投产后核酸质量得到显著提高，做到了不经提纯一次可以入库。,72,2、综合平衡法（1）对各个指标进行分析，与单指标的分析方法完全一样，找出各个指标的最优生产条件。（2）将各个指标的最优生产条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的条件。,例2 液体葡萄糖生产工艺最佳条件选取试验目的：生产中存在的主要问题是出率低，质量不稳定，经过问题分析，认为影响出率、质量的关键在于调粉、糖化这两个工段，决定将其它工段的条件固定，对调粉、糖化的工艺条件进行探索。（1）出率：越高越好（2）总还原糖：在3240之间（3）明度：比浊度越小越好，不得大于300mg/l（4）色泽：比色度越小越好，不得大于20ml。,73,因素水平表,74,四个因素对四个指标的主次关系为：产量： DCA B还原糖：B D A C明度： A B C D色泽： B A C D,工作压力对产量影响最大，取D3最好。但它的色泽不好，用2.7产量会低一些，但其余指标都还比较好，因此确定为D2。稳压时间对四个指标来说，对产量影响最大，对还原糖没有什么影响，对明度、色泽影响也不大，照顾产量应选C25分钟。但此时色泽、明度都不好，考虑将时间延长一些，定为57分钟。最后得出最优条件为： A2 B2 C2 D2事实上，结果证明采用后各项指标都有明显提高。,75,九、水平数不同的正交表的使用,1、直接套用混和正交表例3 为了探索某胶压板的制造工艺，因素水平如下表,此试验方案可以直接套用混和正交表L8(424),76,77,2、并列法对于有混和水平的问题，除了直接应用混和水平的正交表外，还可以将原来已知正交表加以适当的改造，得到新的混和水平的正交表。L8(424)表就是由L8(27)改造而来：,78,（1）首先从L8(27) 中随便选两列，例如1、2列，将此两列同横行组成的8个数对，恰好4种不同搭配各出现两次，我们把每种搭配用一个数字来表示：,（2）于是1、2列合起来形成一个具有4水平的新列，再将1、2列的交互作用列第3列从正交表中去除，因为它已不能再安排任何因素，这样就等于将1、2、3列合并成新的一个4水平列：,79,显然，新的表L8(424)仍然是一张正交表，不难验证，它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性质。（1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中，各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。（2）任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同（对于两个二水平列，显然满足；对一列四水平，一列二水平，它们各横行的八种不同搭配(1,1) 、(1,2) 、(2,1) 、(2,2) 、(3,1) 、(3,2) 、(4,1) 、(4,2) 各出现一次。,80,例4 聚氨酯合成橡胶的试验中，要考察A、B、C、D对抗张强度的影响，其中因素A取4水平，因素B、C、D均取二水平，还需要考察交互作用AB、AC。显然这是一个4123因素的试验设计问题。自由度计算如下： fA=4-1=3 fB = fC = fD =2-1=1 fAB = fAC =(4-1)(2-1)=3 f总=3+31+23=12故可以选用L16(215)改造得到的L16(41 212)混和正交表安排试验,表头设计如下：,81,3、拟水平法：拟水平法是将水平数少的因素纳入水平数多的正交表中的一种设计方法。,例5对例5.4.1的转化率试验，如果除已考虑的温度（A）、时间（B）、用碱量（C）外还要考虑搅拌速度（D）的影响，而电磁搅拌器只有快慢两挡，即因素D只有两个水平，这是一项四因素的混合水平试验，如果套用现成的正交表，则以L18（2137）为宜，但由于人为物力所限，18次试验太多了，能否用L9(34)来安排呢？这是可以的，解决的办法给搅拌速度凑足三个水平，这个凑足的水平叫拟水平。我们让搅拌速度快的（或慢的）一档多重复一次，凑成三个水平。,82,83,通过此例我们可看到拟水平法有如下特点：（1）每个水平的试验次数不一样。转化率的试验，D1的试验有6次，而D2的试验只有3次。通常把预计比较好的水平试验次数多一些，预计比较差的水平试验次数少一些。（2）自由度小于所在正交表的自由度，因此D占了L9(34) 的第四列，但它的自由度fD=1小于第四列的自由度fD=2.就是说，D虽然占了第四列，但没有占满，没有占满的地方就是试验误差.,84,4、混和水平有交互作用的正交设计例35 有一试验需要考虑A、B、C、D四个因素，其中A为四水平因素，B、C、D都为二水平因素，还需要考虑它们的交互作用AB、 AC、 BC试验安排：f总=(41)3(21 ) 2 ( 41 ) ( 21 ) ( 21 ) ( 21 ) 13故选用L16(215)正交表。,85,（1）将L16(215)中的第1、2、3列改造为四水平的，得到L16(41 212)表；（2）将A占1、2、3列，如果B放第4列，则