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对随机过程的理解及其应用的分析 随机信号处理结课论文 学 院 通信工程学院 专 业 信息工程 班 级 1301052班 姓 名 徐 益 学 号一、对随机过程的理解随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。它作为随机数学的一个重要分支，虽说不像经典代数那样有上百年的历史，却在过去的一百年中发展迅速，并表现出来巨大的应用价值。它在自然科学、工程技术及社会科学中日益呈现出广泛的应用前景，尤其在通信领域有着不可取代的地位。关于随机过程的具体含义，我将借助课本上的两个定义，即：定义1 设随机试验E的样本空间为 S = ，若对于每个元素 S ，总有一个确定的时间函数 (t , ), t T 与之对应，则对于所有的 S 得到一族时间t的函 数，称为随机过程。族中的每一个函数称为该随机过 程的样本函数。 定义2 对于每个特定的时刻ti， (ti , )都是一个随机变 量，依赖于时间t的一族随机变量 X(t1,), X(t2,),., X(tn,)就组成了随机过程 ( t , )。以上两种定义从不同的角度来描述随机过程。前者是将随机过程看作时变的随机变量；后者是将随机过程看作随机函数的集合。可以看出，随机过程这一概念不仅将随机变量放在时间这一新的维度上进行分析，有了更强大的建模能力。同时它也将函数这一概念在随机数学领域进行了延生，使函数变量的概念有了更普适的意义。二、随机过程的发展历史在随机过程这一概念提出之前，一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，.柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法；三年后，.辛钦发表了平稳过程的相关理论。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著随机过程论问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。三、随机过程的应用正如课本中所说，“随机过程是在自然科学、工程技术、社会科学各领域研究随机现象的有力工具。它在自然科学、工程技术及社会科学中日益呈现出广泛的应用前景和蓬勃的发展前景，例如在气象预报，天文观测，通信工程，原子物理，宇航遥控，生物医学， 管理科学，运筹决策，计算机科学，经济分析，人口理论，可靠性与质量控制等众多领域都 得到了广泛的应用。”下面我将列举随机过程在不同领域中应用的例子：1. 随机过程在经济管理领域的应用在进行经济管理决策之前，往往存在不确定的一些东西，导致所作出的决策存在一定的风险，只有在做出科学的、正确的决策才能使我们获益最大。因此在做决策之前我们应该充分考虑所要投资的东西所带来的风险程度，才能正确的做出投资决策，才能使我们把风险降到最低。利用随机过程知识就可以为我们做出好的决策。2. 随机过程在生物医学领域的应用随着随机过程的理论以及计算技术的发展。在好些生物学问题的研究中也得到了一些新的工具。十几年来,它们为生物物理开辟了一条新的途径,取得了一定程度的进展。在这种进展中,有一个很明显的趋向,那就是在对各种生物现象的演变的看法上,科学家们的法意力已逐渐从过去的确定性模型 (deterministic model)转移到随机性模型(stochastic model)上去。这在概念上可以说是一个巨大的转变,在生物科学的研究中无疑将引起不小的影响。3. 随机过程在密码学领域的应用随机过程在密码学的领域都得到了非常广泛的应用，虽然很多应用都不是直接由随机过程得出，却是间接由随机过程推导出来。例如混沌过程，它是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。其与密码学之间存在紧密联系，诸如初值敏感性、遍历性等混沌系统的基本特性均可以和密码学中的混淆和扩散概念进行直观联系。因此为设计性能优良的新密码系统提供了可能性。四、随机过程在通信领域的应用作为信息与通信工程领域的本科生，学习随机过程的主要目的是作为随机信号的分析工具。由于我现阶段对该领域的研究尚且不足，我就以随机信号的数字特征所体现出的信号的物理含义，来表现随机过程在通信领域中的应用。1. 随机过程的数学期望随机过程的均值函数m（t）=EX（t）在通信中的物理意义是：如果X（t）是电流或电压，则m（t）可理解为t时间点上的电压或电流的直流分量。2. 随机过程的均方值随机过程X（t）的均方值E|X（t）|2在通信中的物理意义是：如果 X（t）表示电压或电流，则E|X（t）|2可以理解为在t时刻上这个电压或电流在1电阻上的平均功率。3. 随机过程的方差随机过程X（t）的方差D（t）=EX(t)-m(t)2在通信中的物理意义是:如果 X（t）表示电压或电流，则D（t）可以理解为在t时刻上电压或电流的起伏分量在1电阻上耗散的平均功率。五、参考文献1 李兵兵,马文平,田红心,刘景美,郭万里.随机信号分析教程M.北京:高等教育出版社,2013.2 徐少.随机过程在经济学的应用.百度文库JOL. /，2014-12-22.3 维尼.随机过程在密码学