第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B.doc

详解第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛小学高年级组B卷题 特级教师 吴迺华一、填空题（每小题10分，共80分）1计算：57.628.814.48011解：原式57.6（28.82）（）（14.44）（804）1157.657.657.6201157.6（20）11112甲、乙、丙、丁四人共植树60棵，己知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树多少棵？解：本题中的、，单位“1”的量都不相同，可以以甲、乙、丙、丁四人共植树的棵数为单位“1”来统一。甲植树的棵数是其余三人的二分之一，即甲植树的棵数是四人共植棵数的；乙植树的棵数是其余三人的三分之一，即乙植树的棵数是四人共植棵数的；丙植树的棵数是其余三人的四分之一，即丙植树的棵数是四人共植棵数的；所以，丙植树的棵数是：60（1）13（棵）+3、当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成 度的角。解：分针每分钟走6，5：00时，分针与时针夹角为：256150八分钟分针走了8648；时针每分钟走0.5，八分钟走80.54。所以，5：08时，时针与分针成的夹角为：150 (484) 106 4某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为 。解：换句话说，这个数除以3余2，除以4余2，除以5余2，除以6余2，这样，只要求出3、4、5、6的最小公倍数后，再加上2就可求出。不过，要注意的是：这是个三位数。 3，4，5，6 60所以，这个三位数最小为：6022122.5贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成 个两两都是友国的三国联盟。解：因为每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国。设这七个国家分别为：A、B、C、D、E、F、G，他们之间的关系如右图：虚线为互为敌对国，实线为两两都是友国的三国联盟。根据图示，A、B、C、D、E、F、G七个点，排除虚线表示的互为敌对国的线段外，每一个点都可以与另两个不相邻的点连成一个两两都是友国的三国联盟。比如：A与F、D或者C可以连成实线三角形。三角形AFD表示A、F、D为两两都是友国的三国联盟，三角形FCA也表示为F、C、A两两都是友国的三国联盟。所以，共可以组成7个两两都是友国的三国联盟。6由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是 ，最小的是 。解：设这四个数字分别为：A、B、C、D，组成的四位数如：ABCD、AB DC、ACBD、ACDB ADBC、ADCB、共能组成的四位数共有：432124（个）在这24个三位数中，以A开头以B开头以C开头以D开头的个数=2446（个）也就是说A、B、C、D在四个数字分别在千位、百位、十位、个位各出现6次，已知所组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，即6（ABCD）1111106656 化简，知ABCD16推知，这四个互不相同的非零数字为：169142这些四位数中最大的是：9421，最小的是：1249。7、如右图，三角形ABC的面积为1，DC：OB1：3，EO：OA4：5，则三角形DOE的面积是多少？解：根据题意OB1：3，EO：OA4：5，如下图，设SDOE4，则SAOD5，SBOE12，SAOB15，设SCDE x， 三角形BCD中，则三角形CDE和三角形BDE同高，所以面积的比等于边长的比， 同样，三角形ACE和三角形ABE同高，所以面积的比等于边长的比，所以， 解得：x所以，三角形DOE的面积是：18三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么，这三个数之积的末尾三位数字有 种可能数值。底低抵邸砥骶解：设三个数的个位分别为a、b、c 如果a、b、c都相等，则只能都为0； 如果a、b、c中有两个相等，则有以下两种情况： .a、a、c且ac，必有ca10a+，则c10，与c为数字矛盾； .a、a、c且ac，则有caa， aa10c+，则a5，c0； .如果a、b、c都不相等，设abc，则cb10a，ca10b+，则c10，与c为数字矛盾； 综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5； .如果都为0，则乘积末尾三位为000；.如果为0，5，5 .如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾三位为000； .如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾三位为500或000； .如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为，设另外两个末尾两位为，则100ab50（ab）25+，若（()ab）为奇数，则乘积的末两位为75；若（()ab+）为偶数，则乘积的末两位为25，再乘上，无论c为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种综上所述，积的末尾三位有000，500，250，750这四种可能二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由。 解：不能得到完全平方数。因为123456789101148 交换数字的位置，其数字和仍然是48。 48是3的倍数，但不是9的倍数，所以不是完全平方数。10、如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切割走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求x和y。解：由题意得,15455xyl20知 5xy300120180xy180536由长方体的长、宽、高分别为15，5，4，知，x4 y15 满足以上条件的只有36312，所以，x3，y1211、圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈。不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？解：由甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，知甲与乙的速度比为：23：13。由甲比乙多跑一圈就追上一次，共追上：231310（次）甲要追上乙，甲要比乙多走2015面旗子，根据追及问题的关系式甲共跑过的旗子数为：2015（2313）234634.5（面）正好在旗子位置甲追上乙，甲跑的旗子的面数应当是整数，而4634.5只有乘2、4、6、8、10，才能成为整数。可是，追上第10次时，是最后一次，是在起始点上，应当排除。所以，甲正好在旗子位置追上乙，是在第2、4、6、8次追上时，共有四次。12、两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜；10分后多得2分者胜。两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？解：设赢得比赛的为甲，输的为乙。甲第一局获胜，如果第二局又胜，则直接获胜，总分一定比乙多，不符合题意。所以甲第二局输第三局赢甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得4分，设三场比赛的比分是：:，: ，：，并且 2，2由题目条件“两人的得分总和都是31分”可知，乙第二局至少赢甲4分及以上，并且只能以11分取胜 所以，第二局的比分可以为：0:11、1:11、2:11、7:11，共八种。三、解答下列各囊（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13、如右图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G。若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为l3，求平行四边形ABCD的面积。解：如下图连接BD。在梯形BCED中，根据梯形蝴蝶定理，由DM：MC1：2，知：DE：BCEM：MB1：2；SDEM：SCEMSCEM：SBCMSDEM：SBDM1：2如果设SDEM1份。则，SCEMSBDM2份；SBCM224（份）因为EBFC为平行四边形，且BC为对角线推知：SBCFSBCESBCD246（份）在梯形BMCF中，根据梯形蝴蝶定理，CF：BM3：2，知SFCG63.6（份）已知“三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为l3”，所以，SBCF13（3.61）630（平方厘米）所以，平行四边形ABCD的面积为：30260（平方厘米） 14设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数。如 果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？解：观察这四个成语，“一、言、举、知、行”这五个字各出现两次，其它汉字只有一次。由“每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21”则这四个成语的数字之和为，即一家之言言扬行合一21484而 从1开始的11个连续自然数的和是：12341l66可知 这五个字各出现两