第九章--拉普拉斯变换l.ppt

第九章拉普拉斯变换 时域分析法 经典法 基本思路 建立电路的输入 输出方程并寻求此方程满足给定初始条件的解 特点 对应方程为线性微分方程 适用于求解动态电路的暂态响应 优点 常用三要素法求解一阶电路的暂态响应 不足 对于高阶动态电路 其计算相当复杂 线性动态电路的求解方法 正弦稳态分析的相量法 频域分析法 基本思想 变化法 将时域里的微分方程化为相量代数方程进行分析 最后返回时域 正弦量 相量时域微分方程 频域代数方程特点 适用于求解高阶动态电路的稳态响应 不足 不能求解高阶动态电路的暂态响应 变换 拉普拉斯变换法 复频域分析法 运算法 基本思想 一种积分变换法 由时域变换到复频域进行分析 最后再返回到时域 原函数 象函数时域微分方程 复频域代数方程特点 适用于求解高阶动态电路的暂态响应 变换 拉普拉斯简介 皮埃尔 西蒙 拉普拉斯侯爵 1749 1827 法国著名的天文学家和数学家 也是法国科学院院士 被称为法国的牛顿和天体力学之父 代表作 天体力学 宇宙体系论 概率分析理论 在研究天体问题的过程中 他创造和发展了许多数学的方法 以他的名字命名的拉普拉斯变换 拉普拉斯定理和拉普拉斯方程 在科学技术的各个领域有着广泛的应用 十九世纪初 三位数学界的泰斗级人物拉格朗日 拉普拉斯 勒让德并称为法国的3L 从数学和力学的角度严格论证了星云说理论 把上帝赶出宇宙的人 本章知识要点 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换的基本概念 拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换 反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开 第九章拉普拉斯变换 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换 其核心是把时间函数f t 与复变函数F s 联系起来 把时域问题通过数学变换为复频域问题 把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解 熟悉的变换 9 1拉普拉斯变换 一 拉普拉斯变换简介 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算 傅立叶变换 条件 绝对可积很难满足 乘以指数衰减函数 拉普拉斯变换 傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例 二 拉普拉斯变换的定义 因果函数 causalfunction f t 仅存在于t 0的时间区间 如果f t 存在于整个时间区间 则用f t t 表示因果函数 s j 称为复频率 complexfrequency F s 称为 t 的象函数 t 称为F s 的原函数 从 t 到F s 变换称为拉普拉斯正变换 Laplacetransform 拉普拉斯正变换 象函数 原函数 积分的结果不再是t的函数 而是s的函数 拉氏变换是把一个时间域的函数f t 变换到s域内的复变函数F s 变量s称为复频率 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法 又称运算法 拉氏变换的积分从t 0 开始 可以计及t 0时f t 包含的冲激的情况 从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来方便 如果F s 已知 要求出与它对应的原函数 t 由F s 到 t 的变换称为拉氏反变换 它定义为 拉普拉斯反变换 例1求单边指数函数eat t a为复常数 的拉普拉斯象函数 解 Re s Re a 二 典型函数的拉普拉斯变换 例2求单位冲激函数 t 的拉普拉斯象函数 例3求单位阶跃函数 t 的拉普拉斯象函数 解 解 收敛域包括整个s平面 收敛域为s平面的右半平面 收敛轴与s平面的虚轴重合 9 2拉普拉斯变换的基本性质 1 线性组合定理 Linearcombinationtheorem 例1求cos t t 及sin t t 的拉普拉斯象函数 解 同理可得 2 微分定理 differentiationtheorem 证明 由于 由分部积分法 微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的拉普拉斯变换 即 解 例3某动态电路的输入 输出方程为 响应及其一阶导数的原始值分别为r 0 及r 0 激励函数的原始值e 0 0 求响应的象函数 解 令激励和响应的象函数分别为 代入e 0 0后整理得 3 积分定理 integrationtheorem 证明 例4求 的原函数 解 同理 4 时域位移定理 time shifttheorem 证明 例5 例6 求矩形脉冲的象函数 解 根据延迟性质 求三角波的象函数 解 解 例7 求u t 的拉普拉斯象函数U s 5 初值定理与终值定理 1 初值定理 initial valuetheorem 证明 解 又有 得证 2 终值定理 final valuetheorem 证明 利用初值定理和终值定理 根据已知的象函数F s 可直接在复频域中确定其对应原函数f t 的初值和终值 解 又有 得证 例5采用拉氏变换求电容器对电阻放电时的电容电压uC t t 0 验证初值定理和终值定理 6 时域卷积定理 time domainconvolutiontheorem 证明 解1 直接在时域内求解 则有 解2 利用时域卷积定理 拉普拉斯变换简表 9 3进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时 需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数 由象函数求原函数的方法 1 利用公式 2 对简单形式的F S 可以查拉氏变换表得原函数 3 把F S 分解为简单项的组合 部分分式展开法 部分分式展开法 partial fraction expansionmethod F s 为有理真分式 即m n 否则 电路理论中常见的响应函数的象函数往往是有理函数 象函数的一般形式 1 只具有单极点的有理函数的反变换 例1 已知某象函数为 求相应的原函数f t 解 例2 已知某象函数为 求相应的原函数f t 解法一 先求分母二次式为零的根 解得 象函数F s 的部分分式展开式为 一对共轭复根 各部分分式的系数分别为 共轭复根的系数为共轭复数 解法二 若能判断分母中二次式等于零的根为共轭复根时 可展开为 a 0 5b 0 5c 0 5 通分后比较两端分子多项式系数可求得 则 查表可得 注意 解法二要依赖拉普拉斯变换表 而解法一则不依赖于拉普拉斯变换表 2 具有多重极点的有理函数的反变换 例3 解 解 例4 已知某象函数 求相应的原函数f t 求F s 分母多项式等于零的根 将F s 分解成部分分式之和 求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 将F s 化成最简真分式 由F s 求f t 的步骤 课堂练习 采用部分分式展开法求解下列函数的原函数 4 解 1 2 解 3 解 4 解 9 4线性动态电路方程的拉普拉斯变换解法 举例说