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第五讲 计算与几何典例分析1、 2、 3、4、5、6、 ()()()()巩固练习计算下列各题几何典例分析 1 在三角形ABC中，点E是BC边上的中点，点F是中线AE上的点，其中AE3AF，并且延长BF与AC相交于D，如下图所示。若三角形ABC的面积为48，请问三角形AFD的面积为多少？ 【例 题】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【解析】 原正方体的表面积是44696(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形从而，它的表面积是：9646120平方厘米巩固练习1. 图中内部有阴影的正方形共有_个。 2. E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？3. 用同样大小的木块堆成了如下图所示的形状，这里共用了_个木块。4. 一个长方体的表面积是400平方厘米，其中有一个顶点处两条棱长分别是5cm和10cm，求此处的另一条棱长。5. 如下图，有一个边长是6cm的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是6，4，2cm的长方体，那么它的表面积现在是多少?6. 用棱长是1厘米的立方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?7. 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按下图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积8. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的表面积。9. 在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？10. 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 11. 个棱长为厘米的小正方体组成一个立体如右图.它的表面积是 平方厘米.12. 如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？13. 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米求这个大长方体原来的表面积14. 如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24 平方厘米，斜边长10 厘米，将它以O点为中心旋转90，问：三角形扫过的面积是_？( 取3)A. 90 B. 93 C. 96 D. 9915. 求下列各图形的周长（单位：厘米）（每条小线段长度都是1厘米）。 第六讲 数论与数字迷典例分析巩固练习1.一个两位数除以8，商是A，余数是B，AB的最大值是_2.用10,10，4,4,四个数在它们之间添上运算符号“，”及括号，使它们的结果等于24（每个数只能用一次）3. 把四位数2abc扩大3倍后便成了另一个四位数abc8。求abc=_ 4.甲、乙两数的和是10，差是4，较大数甲是 5. 甲、乙两数的和是10，差是4，较小数乙是 6.两个连续奇数的和是16，求：较大的奇数应为 7.两个连续偶数的和是18，求：较大的偶数应为 8. 甲、乙两数的差是12，甲数是乙数的2倍，较大数甲是 9、今年父龄55岁，子龄21岁，_年后，父龄是子龄的2倍。 10. 一列数2，5，8，11，这列数的第101项是 。11. 一列数2，6，10，14，这列数的第101项是 12.在100以内被3整除的数中，从小到大排列，第21个数是 。13.在100以内被5整除的数中，从小到大排列，第11个数是 。 14. 将2，4，6，8，10，12，14，16，18这九个数 填入三阶幻方内（九宫图）使每三横，三列，二斜上的三个数的和都相等。 15ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字。已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCDEFG的最大值与最小值相差多少? 16有9个分数的和为1，它们的分子都是1。其中的5个是,另外4个数的分母个位数字都是5。请写出这4个分数。17 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式。第七讲 应用题典例分析13箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克？分析：可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量，再加上3箱苹果的重量，就是3箱梨的重量。解：45+53=45+15=60（千克）答：3箱梨重60千克。2.甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米？ 分析 ：根据在距离中点4千米处相遇和甲比乙速度快，可知甲比乙多走42千米，又知经过4小时相遇。即可求甲比乙每小时快多少千米。解：424=84=2（千米）答：甲每小时比乙快2千米3.五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。第一中队步行每小时行4千米，第二中队骑自行车，每小时行12千米。第一中队先出发2小时后，第二中队再出发，第二中队出发后几小时才能追上一中队？分析：因第一中队早出发2小时比第二中队先行42千米，而每小时第二中队比第一中队多行（12-4）千米，由此即可求第二中队追上第一中队的时间。解：42（12-4）=428=1（时）答：第二中队1小时能追上第一中队。4.小红和小华共有故事书36本。如果小红给小华5本，两人故事书的本数就相等，原来小红和小华各有多少本？分析：从“小红给小华5本，两人故事书的本数就相等”这一条件，可知小红比小华多（52）本书，用共有的36本去掉小红比小华多的本数，剩下的本数正好是小华本数的2倍。解：小华有书的本数：（36-52）2=13（本）小红有书的本数：13+52=23（本）答：原来小红有23本，小华有13本。5.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时巩固练习以下题目可用方程1、学校组织春游，同学们下午1点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路4Km/小时，爬山3Km/小时，下山为6Km/小时，返回时间为2.5时。问：他们一共行了多少路2、两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分正好是另一支剩余的2倍？3、某厂向银行申请甲乙两种贷款共30万，每年需支付利息4万元,甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%，该厂申请甲乙两种贷款金额各多少元？4、某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款。某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的3/5只有甲种书得到了90%的优惠。其中买甲种书所付的钱数是买乙种书所付钱数的2倍。已知乙种书每本1.5元，那么甲种书每本定价多少元？5、甲乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的5分之1比乙校参加人数的4分之1少1人，甲乙两校各多少人参赛？ 6、小春一家四口人今年的年龄之和为147岁，爷爷比爸爸大38岁，妈妈比小春大27岁，爷爷的年龄是小春与妈妈年龄之和的2倍。小春一家四口人的年龄各是多少？7、一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答: 一个人一个碗,两个人一只菜碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有55只碗,你算算有多少人?8、甲乙两地相距420千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路.一辆汽车从甲地驶到乙地用了8小时,已知在柏油路上行驶的速度是每小时60千米,而在泥土路上的行驶速度是每小时40千米.泥土路长多少千米? 9、一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，刚好剩余1只船，求有多少只船？ 10、爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果这些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带行李的质量。11、哈利.波特参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道得20分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数量是做错题的两倍，并且所有的题他都做了，请问这套试卷共有多少道题？12、李明的爸爸经营一个水果店，按开始的定价，每买出1千克水果，可获利0.2元。后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了1倍，每天获利比原来增加了50%。问：每千克水果降价多少元？13、甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是8：7：5原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱1350元，结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？14、笼中装有鸡和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原有兔、鸡各多少只？ 15、甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时？ 第八讲 排列与组合知识预览 从n个不同的元素中任取m个元素，按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当mn时，排列叫做选排法；当mn时，排列叫做全排列。 所有排列的个数叫做排列数，全排列数(mn时)的求法是： n(n1)(n2)21 选排列数(mn时)的求法是： n(n1)(n2)(nm1)基础仿练例1有8面颜色不同的小旗，任意取出3面，排成一行，表示一种信号，那么它可以表示多少种不同的信号? 仿练1有6名运动员参加百米赛跑，获得前三名的可能有多少种不同的情况?(没有并列名次)拓展11从数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中任选四个，可以组成多少个没有重复数字的四位数? 拓练11从数字0、2、4、6、8这5个数字中任选3个，可以组成多少个没有重复数字的三位数?例2 5个人排成一排拍照片。 (1)共有多少种排法? (2)如果5人中小明必须站正中间，共有多少种排法? (3)如果5人中小明不能在正中间，共有多少种排法? 仿练2 有A、B、C、D、E、F、G七人排成一排。(1)一共有多少种排法?(2)若A必须排在最左边，有多少种排法?(3)若A、B必须排在两边有多少种排法?拓展21 由1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?把它们排起来，从小到大4123是第几个数? 拓练21 由0、1、2、3、4，这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?把它们排起来，从小到大41230是第几个数?仿练评点由于在排列时，每个位置上的排法都要考虑，一般要先考虑有特殊要求的位置，然后其他的位置上的排法再依次考虑，在例2中这一点就得到很好的体现。巩固练习1某铁路线上共有14个车站，这条铁路线上共需多少种不同的车票?2张华、李明等7个同学照相，排成两排，前排3人张华需在其中，后排4人李明需在其中，共有多少种不同的排法?3从1、3、5中任选2个数字，从2、4、6中任选2个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数? 知识预览 从n个不同元素中取出m个元素组成一组，不计较组内各元素的次序，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 所有组合的个数叫做组合数。组合数的求法：先求出排列数，再除以排列数中次序重复的次数。基础仿练例1 明明要从A、B、C、D、E、F、G这7本书中选3本借给好朋友，共有多少种选法? 仿练1 有1角、2角、5角、1元、2元、5元的纸币各1张，从中选4张可以组成多少种不同的币值?拓展11 在一个圆周上有10个点，以每4个顶点画一个四边形，一共可以画多少个不同的四边形? 拓练11 在一个圆周上有15个点，以每3个顶点画三角形，一共可以画多少个不同的三角形?拓展12从分别写着2、3、4、5、7的五张卡片中任取两张做成一道两个一位数的乘法题。 (1)有多少个不同的乘法算式? (2)有多少个不同的乘积? 拓练l2从分别写有2、4、6、7、8的五张卡片中，任取两张做成一道两个一位数的乘法题(其中6也可以用作9)，有多少个不同的乘积?例2如下图，共有多少条线段? 仿练2 下图中共有多少个角?拓展21 乒乓球比赛有14名选手参加。比赛时先分成两组，每组7人，各组进行单循环赛(每2人都要赛1场)，然后根据积分由各组的前3名共6人进行单循环比赛，决出冠、亚军，共需进行多少场比赛? 拓练21 某次聚会共有50人参加，男士30人，女士20人。男士与男士每人都相互握1次手，女士与女士每人都握1次手，男士与女士之间不握手。他们一共握了多少次手?仿练评点 组合与排列不同，不需要考虑所选的内容的次序，在计算时先求出排列数，再去除以重复计算的次数。而重复计算的次数，就是所选的这几个元素的全排列，做题时要特别注意分清是求排列数，还是求组合数。综合题选 1在前100个自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法? 2全班8名学生作为三好学生候选人，从中选出5人做三好学生，有多少种选法? 3在某幼儿园将10种不同的玩具分别借给小明2种，再借给小华2种。共有多少种不同的借法? 第九讲 有理数加减运算一 正数和负数 随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要。为了简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。（1）天气预报说某地12月份某天最低温度是3C，它的含义是什么？ （2）记账时收入1000元可记作1000元，则500元表示什么？ （3）某机器零件的长度设计为100mm,加工图纸标注的尺寸为1000.5 mm，这里的0.5代表什么意思?归纳定义：正数就是小学学过的处0外的所有数，有时在它前面加。在正数前加“”的数叫负数。0既不是正数，也不是负数。课堂练习：读出下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数。 7，9，301，27 ，1.23， 3.5， 0. 有理数 引入负数后，整数可以分为正整数、0、负整数。分数包括正分数、负分数。有理数包括整数和分数。 请同学们按有理数的定义和有理数的性质符号为标准进行分类. 课堂练习：把下列各数分别填入下列括号里： 6，3，2.4 ，0，9.14 ，4，23，78，102. 正整数集合 负分数集合 正有理数集合 负整数集合 二 数轴 导入：在一条东西走向的公路上，有一个报亭，报亭东3米和7米处分别有一根电线杆和一颗树，报亭西5米处有一个公交站点，试画图表示这一情境。归纳定义 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。课堂练习：在数轴上表示下列各数。3，0， 2.5，2，2， 1.5。三 相反数、绝对值 相反数定义：数轴上位居原点两侧且到原点的距离相等的点表示的数互为相反数； 0的相反数是0.在上边练习题中，数轴上表示的数中你发现了相反数了吗? 字母可以表示数，a的相反数用a表示。 课堂练习： 填空： (1) 1.5是 （ ）的相反数。 (2)（ ）的相反数是5. ( 3) 若x=6,那么x=( ) (4 ) (+4)= ( ) (5) (7)是（ ） 的相反数绝对值定义：数轴上表示a的点与原点的距离叫a的绝对值。数轴上表示2的点与原点的距离是2，我们说2的绝对值是2，记作2=2. 由绝对值的意义，可以得出1、 正数的绝对值是 2、 负数的绝对值是 ： 3、 0的绝对值是课堂练习：1、求下列各数的绝对值： 5，3.5，0.5，+2，0. 2、判断： （1）绝对值等于7的数只有一个，它是7.（ ） （2）有绝对值是5的数。（ ） （3）若两数的绝对值相等，那么这两数相等（ ） （4）任何数的绝对值都为正（ ） (5) 绝对值是它本身的数是 正数（ ） 3、写出绝对值大于3.2小于8.5的整数。 四 有理数加法运算导入: 在数轴上讨论下列问题：向东记为正，原起为运动起始点。（1） 向东走6米，再向东走2米，两次运动总的结果是什么？（2） 向西走6米，再向西走2米，两次运动总的结果是什么？（3） 向东走6米，再向西走6米，两次运动总的结果是什么？（4） 向东走6米，再向西走2米，两次运动总的结果是什么？（5） 向东走2米，再向西走6米，两次运动总的结果是什么？（6） 向西走6米，再向东走0米，两次运动总的结果是什么？请同学们分别列算式表示: 你能否据此得到有理数加法法则，提示：（两数相加，按符号异同划分三类同号、异号、与0相加） 有理数加法法则(1) (2) (3) 加法交换律 a+b=b+a加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)典例分析例（1）（-16）+（-17） （2）（）+ () （3） 课堂练习：1、2+（2）的值是 2、一个数的相反数是8，另一个是绝对值最小的数，则这两数的和是 3、计算： （1）42+(76) ( 2) (12)+( 13) （3）13+（25）+37+25 (4）12+（2）+26+(36)五 有理数减法运算有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。典例分析例. （1）_+（-3）=-8 （-11）+_=5（2）- 5 5=_ 0 -（-3）=_(3) ( - 32 ) - ( - 26 ) - ( + 70) 有理数的加减混合例.（1）（ -40 ） - （ + 27 ）+ 19 24 -（ -32 ）（2） 课堂练习1、 计算（1）5（13） （2）（4）（8） （3）（9）1 （4）5(5) （5）20.5 1.74.5+6.7 （6）（5）（9）（5）+1 (7) 2、北京市2011年12月某一天最高气温是10C,最低气温是零下2C，则这一天最高气温比最低气温高多少？ 巩固练习一、填空题1、小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_,-4万元表示_ 2、一种零件的内径尺寸在图纸上是300.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸_毫米，最小不低于标准尺寸_毫米 3、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，得分90分和80分应分别记作_4、_统称为整数，_统称为分数，整数和分数统称为_，零和负数统称为_，零和正数统称为_5、把下列各数分别填在相应集合中：1，-0.20，325，-789，0，-23.13，0.618，-2004负数集合： ；非负数集合： ；非负整数集合： ； 6、在数轴上，表示5的数在原点的 侧，它到原点的距离是 个单位长度。 7、 与原点距离为2.5个单位长度的点有 个，它们表示的有理数是 。到原点的距离不大于3的整数有 个，它们是： 。 8、如果 a 和 b是符号相反的两个数,在数轴上a所对应的数和 b所对应的点相距6个单 位长度,如果a=2,则b的值为 . 9、.绝对值小于100的所有整数的和是 .10、如果两个异号的有理数的和是负数，那么这两个数中至少有一个数是_数，且它的绝对值较_11、五袋大米以每袋50千克为准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下：+4.5，-4，+2.3，-3.5，+2.5，这五袋大米共超过_千克，总重量是_千克12、下列括号内应填什么数?(1)(-2)-(-5)=(-2)+(_)； (2)0-(-4)=0+(_)；(3)(-6)-3=(-6)+(_)； (4)1-(+37)=1+(_)13、温度3比-7高_；温度-8比-2低_14、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 -5 0 1 6 二、选择题1、下列结论中正确的是 （ ）A0既是正数，又是负数BO是最小的正数C0是最大的负数 D0既不是正数，也不是负数2、下列说法中正确的是 （ ）A有最小的负整数，有最大的正整数B有最小的负数，没有最大的正数C有最大的负数，没有最小的正数D没有最大的有理数和最小的有理数3、点A 为数轴上表示2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是 （ ）A 1 B 或 不同于以上答案4、.一个数是7,另一个数比它的相反数大3.则这两个数的和是 ( )A 3 B 3 C 10 D 115、下列说法中正确的是 （ ）A一定是负数B只有两个数相等时它们的绝对值才相等C若则与互为相反数D若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数 6、如果，则的取值范围是 （ ） AOBOCODO7、 + = 0, 则yx的值是 （ ）A 4 B 2三、解答题1、计算：（） 90（3）(+7)+(-6)+(-7)+(+6)； (-2.6)+(-3.4)+(+2.3)+1.5+(-2.3)；0.5（3）2.75（7） ； (+1)+(-2)+(+3)+(-4)+