高年级整数教材教法分析~公因数、公倍数

1,高年級整數教材教法分析公因數、公倍數林玉鴦,2,簡報大綱,壹、小學各年級因數與倍數、 (最大) 公因數與 (最小)公倍數的教材脈絡 貳、因數與公因數的教學策略 參、倍數與公倍數的教學策略 肆、質數、合數與質因數分解的教學策略 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 陸、臺北市公倍數能力檢測舉隅 柒、結語,3,壹、小學各年級因數與倍數、(最大)公因數 與(最小)公倍數的教材脈絡,4,貳、因數與公因數的教學策略一、因數,教因數、倍數前，要先教孩子了解整除的意義。 被除數、除數和商都是整數，餘數是0，叫做整除。 例甲乙丙0 10 520 我們說甲(10)能被乙(5)整除，甲(10)也能被丙(2)整除。 也可以說乙(5)能整除甲(10) ，丙(2)也能整除甲(10) 。例24能被哪些數整除？因數的意義： 甲、乙兩數都是整數，而且甲數能被乙數整除時， 則乙數和商都是甲數的因數。 例甲乙丙0，那麼乙和丙都是甲的因數。 10 520 ，那麼5和2都是10的因數。,5,貳、因數與公因數的教學策略一、因數,因數的找法：1.用除法找： 要找一個數的因數，只要從1開始，按照順序去除 這個數，可以整除的就可以得到一組因數（除數 與商），不能整除的，就不是該數的因數。除到商小於除數，就不必再找了。 例129的因數有哪些？ 例251的因數有哪些？ 例340580 40664 上面這兩個式子，哪些數是40的因數？,6,貳、因數與公因數的教學策略一、因數,2.用乘法找： 甲數乙數丙數，則乙數和丙數都是甲數的因數。 例115的因數有哪些？ 例22446 2438 上面這兩個式子，哪些數是24的因數？任何數除以1，都是等於任何數本身，所以一個數最小的因數都是1，最大的因數是自己。例100的因數最小的是1，最大的是100因數是有限個。不一定數字越大，因數就越多個。3.用心算一組一組寫例20的因數有( 1、2、4、5、10、20 ),7,貳、因數與公因數的教學策略一、因數,因數的應用題類型： 例1王阿姨有16顆糖果，想平分給小朋友，而且要把糖果全部 分完，有幾種分法？ 例2五年一班有27人，上自然課要分組，每組人數要一樣多， 可以平分成幾組？把可能的答案全部寫出來。 例3有48個蘋果要分裝在袋子裡，全部要裝完，沒有剩下， 一共有幾種裝法？把可能的答案全部寫出來。請孩子仔細讀題，注意題目要問什麼，答案務必要寫清楚。允許也鼓勵孩子用不同的方法解題。這些題目有哪些不同的解題方法。可以讓孩子找2、3、 5、7 、11、 13、 17、19、 23、29、 31、 37、41、 43、47、53、 59、 51、57、 91等所有的因數， 讓孩子說說看，他發現了什麼？,8,貳、因數與公因數的教學策略二、公因數,1.公因數的意義：(1)一個整數是幾個整數的共同因數，這個數就是 這幾個數的公因數。(2)甲數是乙數的因數，甲數也是丙數的因數， 則甲數就是乙數和丙數的公因數。 3是6的因數，3也是12的因數，所以3是6和12的公因數例15是不是10和12的公因數？例28是不是24和40的公因數？,要如何列式說明？,敎公因數之前，一定要檢查孩子是否真的學會了因數。,9,貳、因數與公因數的教學策略二、公因數,2.公因數的找法：(1) 分別找出這些數的因數，再一一找出它們共同的因數 有哪些？例16和24的公因數有哪些？16和24的最小公因數是 多少？ 16和24的最大公因數是多少？ 解16的因數有：1、2、4、8、16。 24的因數有：1、2、3、4、6、8、12、24。 答：(1)16和24的公因數有1、2、4、8。 (2)16和24的最小公因數是1。 (3)16和24的最大公因數是8。,10,貳、因數與公因數的教學策略二、公因數,2.公因數的找法：(2)先找出這些數中最小的那個數的因數，再檢查其中有 哪些數也是這些大數的因數，就可以比較快速的找出 這幾個數的公因數。例20和150的公因數有哪些？ 解20的因數有：1、2、4、5、10 、20 其中1、2、5、10也是150的因數。 所以20和150的公因數有1、2、5、10 答： 20和150的公因數有1、2、5、10,11,貳、因數與公因數的教學策略二、公因數,2.公因數的找法：(3)如果甲數是乙數的因數，那麼甲數的所有因數， 就是甲乙兩數的公因數。例14和20的公因數有哪些？ 解4的因數有：1、2、4 其中1、2、4也是20的因數。 所以20和4的公因數有1、2、4 答：20和4的公因數有1、2、4例27和35的公因數有( 1、7 )1是任何整數的最小因數， 1也是幾個整數中最小的公因數。,多舉些例子讓孩子自己發現此原理。,12,貳、因數與公因數的教學策略二、公因數,公因數的應用題類型： 例1小雯想將20個蘋果和30個梨子，分裝在袋子裡， 每個袋子裡同時要有蘋果和梨子，每個袋子裡的 蘋果要一樣多個，梨子也要一樣多個，可以分裝 成幾個袋子？把可能的答案都寫出來。例2五年甲班有30人，乙班有36人，大隊接力要混合 分組，每組分到的甲班人數要一樣多，乙班人數 也要一樣多，可以分成哪幾組？,13,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數,1.倍數的意義： 甲數能被乙數整除（甲乙丙0）， 那麼甲數就是乙數的倍數，甲數也是丙的倍數。 例1025.0，我們說10是2的倍數，10也是5的倍數。2.倍數的找法： （1）由乘法找倍數：乘法中的積，一定是被乘數和乘數的倍數。 例6318 ， 在上面的式子中，18(積)是6(被乘數)的倍數， 18(積)也是3(乘數)的倍數。 （2）由除法找倍數：整除中的被除數，一定是除數和商的倍數。 例40850 ， 在上面的式子中，40 (被除數)是8 (除數)的倍數。 40 (被除數)也是5(商)的倍數。,14,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數,3.倍數與因數的關係： （1）甲數是乙數的倍數，則乙數就是甲數的因數。 （2）甲數是乙數的因數，則乙數就是甲數的倍數。 例140是8的倍數，則8就是40的因數。 例2甲乙丙，則甲是丙的( )數， 丙是甲的( )數。 例3甲乙丙，則甲是丙的( )數， 丙是甲的( )數。一個數的倍數有無限多個，最小的是自己，最大的是無限大。 例100的倍數中最小的是 ( )，最大的是 ( )。,15,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數,2、3、5倍數的識別法。 2的倍數：一個整數的個位數字是0、2、4、6、8時， 這個數就是2的倍數。 例10、42、54、76、48，都是2的倍數。 3的倍數：一個整數的每個數字的和能被3整除時， 這個數就是3的倍數。 例456是不是3的倍數？ 解 45615 1535 15能被3整除，所以456是3的倍數。 答：456是3的倍數 5的倍數：一個整數的個位數字是0或5時，這個數就是5的倍數。 例40、75、120、555，都是5的倍數。,16,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數, 4、9倍數的識別法。 4的倍數：一個整數的最後兩個數字是00或是4的倍 數時，該數就是4的倍數。 例500、420、156、1732，都是4的倍數。 9的倍數：一個整數的每個數字的和能被9整除時， 該數就是9的倍數。 例4455 是否是9的倍數？ 解 4 4 5518 1892 18能被9整除，所以4455是9的倍數。 答： 4455是9的倍數,17,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數, 10、11倍數的識別法。 10的倍數：一個整數的最後一個數字是0，該數就是10的倍數。 例500、400、1000、1230，都是10的倍數。 11的倍數：一個整數，其奇數位各數字的和與偶數位各數字的和， 相差0或是11的倍數時，這個數就是11的倍數。 例9856、25938兩個數都是11的倍數嗎？ 解 9856 90816 14 14 1 23 14-140 23-122 22112 答：9856和90816都是11的倍數,18,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數,倍數的延伸題 1.下面裡要填入多少才能被3整除？ (1) 93 (2)8753 (3)0451 2.下面裡要填入多少才能被11整除？ (1) 93 (2)8753 (3) 4612 3.下面裡要填入多少才能被5整除？ (1) 93 (2)8750 (3) 4615 4.下面裡要填入多少才能被2整除？ (1) 93 (2)8750 (3) 4612,19,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數,倍數的應用題類型： 例1從12的3倍起，依序寫出4個12的倍數。 例230到50的整數中，8的倍數總共有幾 個？把它一一寫出來。 例37的倍數中，最接近80又比80小的數是 多少？ 例47的倍數中，最接近80又比80大的數是 多少？,想想看，要怎麼說明孩子才會懂？要怎麼列式？答案要怎麼寫才完整？,20,叁、倍數與公倍數的教學策略一、倍數,倍數的應用題類型：例5在200300之間，18的倍數中最小和最大的數 各是多少？ 例6一箱柳丁，在310350個之間，每15個裝一袋， 剛好可以裝完沒有剩下，這一箱柳丁可能有多 少個？把可能的答案都寫出來。 例7一包花片，最接近1000片又比1000片少，每80 片裝一包，剛好可以裝完沒有剩下，這一包花 片有多少片？,21,叁、倍數與公倍數的教學策略二、公倍數,1.公倍數的意義： (1)一個整數是幾個整數的共同倍數，這個數就 是這幾個數的公倍數。 (2)甲數是乙數的倍數，甲數也是丙數的倍數， 則甲數就是乙數和丙數的公倍數。 例10是2的倍數，10也是5的倍數， 所以10是2和5的公倍數。,敎公倍數之前，一定要檢查孩子是否真的學會了倍數。,22,叁、倍數與公倍數的教學策略二、公倍數,2.公倍數的找法： (1)要找幾個數的公倍數，就要分別找出這些數的 倍數，再一一找出它們共同的倍數有哪些。 例8和12的公倍數有哪些？寫出3個。 解8的倍數有：8、16、24、32、40、48、56、64、72。 12的倍數有：12、 24 、36、 48 、60、 72 、84。 答： 8和12的公倍數有24、48、72。,23,叁、倍數與公倍數的教學策略二、公倍數,2.公倍數的找法： (2)幾個數的公倍數一定不會比這幾個數中最大的還要 小，因此，只要找出這幾個數中最大數的倍數， 再看看這些倍數中是否也是其他數的倍數，如果 是，這個數就是這幾個數的公倍數。例12和20的公倍數有哪些？寫出2個。 解20的倍數有：20、40、60、80、100 、120、140 、160 其中60、120也是12的倍數。 答： 12和20的公倍數是60、120,24,叁、倍數與公倍數的教學策略二、公倍數,2.公倍數的找法：(3)如果甲數是乙數的倍數，那麼甲數的所有倍數， 就是甲乙兩數的公倍數。例4和8的公倍有哪些？ 解8的倍數有：8、16、24、32、40 其中8、16、24、32、40也都是4的倍數。 所以 4和8的公倍有8、16、24、32、40 答：4和8的公倍數有8、16、24、32、40,建議多舉些例子，引導孩子自己發現此原理。,25,叁、倍數與公倍數的教學策略二、公倍數,幾個整數的最小公倍數的倍數，都是這幾個整數的公倍數。 例18和12的公倍數有( 24、48、72、96 )例26和3的公倍數有( 6、12、18、24 )例35和2的公倍數有( 10、20、30、40 )幾個數的公倍數有無限多個。,建議多舉些例子，引導孩子自己發現此原理。當孩子真正理解後，就知道要求幾個數的公倍數，只要用心算找出最小的，就可以推算出其他的公倍數,26,叁、倍數與公倍數的教學策略二、公倍數,公倍數的應用題類型： 例1一箱蘋果在120150個之間，每6個一數、8個一數、 12個一數都剛好可以數完，這一箱蘋果有幾個？例2一包糖果約有40幾顆，每3個一數或5個一數都剛好 可以數完，這包糖果可能有幾顆？ 例3一個整數介於70-100之間，這個整數被8除、被10除 都剛好可以整除，這個整數應該是多少？ 例43是一個三位數，它是2和5的公倍數，這個 三位數可能是多少？,27,肆、質數、合數與質因數分解的教學策略一、質數與合數的指導,1.質數：一個大於1的整數，除了1和本身以外，沒有別的 因數， 這個數就叫做質數。 一個質數只有2個因數，一個是1，一個是自己。 質數除了2是偶數以外，其餘的質數都是奇數。2.合數：一個大於1的整數，除了1和本身以外，還有別的 因數，這個數就叫做合數。 一個合數最少有3個因數。 偶數除了2以外，其餘的偶數都是合數。 1不是合數，也不是質數。 整數中（除了1以外）不是質數，就是合數。,28,肆、質數、合數與質因數分解的教學策略一、質數與合數的指導,3.互質：兩個或兩個以上的整數，除了1以外， 沒有別的公因數，這兩個整數就稱為 互質。例4和9互質；10和11也是互質；2和9也是互質。 兩個互質的整數不一定都是質數， 但是兩個質數一定是互質。,29,肆、質數、合數與質因數分解的教學策略一、質數與合數的指導,用百數表找出100以內的質數：,1.100以內的質數有哪些？ 請全部寫出來：,2.最接近100的質數是多少？,3.一位數中最小的質數是多少？ 最大的質數是多少？,4.二位數中最小的質數是多少？ 最大的質數是多少？,5.二位數中最小的合數是多少？ 最大的合數是多少？,建議老師要求孩子把100以內的質數背熟,30,肆、質數、合數與質因數分解的教學策略二、質因數分解,1.質因數：一個數本身是質數又是因數，這個數就是質因數 例18的質因數有哪些？ 解18的因數有：1、2、3、6、9、18， 其中2和3是質數(1不是質數)。 答：18的質因數有2和3。 2.質因數分解：將某數改寫成兩個或兩個以上質數的相乘 積，就叫做質因數分解。例51可以分解成哪兩個質因數的相乘積？ 解 51317 答： 51可以分解成3和17的相乘積,31,肆、質數、合數與質因數分解的教學策略二、質因數分解,3.質因數分解的算法： (1)先將該數分解成兩個數相乘，如果這兩個數有合數，再將該合數反覆 分解，直到所有相乘的積每個數都是質數為止。 例把40分解成質因數的相乘積。 解402 20（2是質數，20是合數，因此再把20分解） 2 4 5（2和5是質數，4是合數，因此再把4分解） 2 2 2 5 （2和5是質數） 答：402225 (2)短除法：除數的每一個數一定都要用質數。 例把40和102用短除法分解成質因數的相乘積。 答： 402225 102 2317,32,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略一、最大公因數,1.最大公因數的意義： 幾個整數的公因數中最大的一個，這個數就是這幾 個整數的最大公因數。 2.二個互質的整數，其最大公因數是1。 【例】 5和9的最大公因數是1。 10和27的最大公因數是1 。 3.甲數是乙數的因數， 那麼甲數就是甲、乙兩數的 最大公因數。 (建議老師多舉一些例子讓孩子自己發現此原理) 【例】 8和24 20和10 15和30,33,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略一、最大公因數,最大公因數的算法： 1.列舉法 先找各數的因數。 再從中尋找各組數的公因數。 最後由各組數的公因數尋找各組數的最大公因數。 例16和36的公因數及最大公因數各是多少？ 解16的因數有( 1、2、4、8、16 ) 36的因數有( 1、2、3、4、6、9、12、18、36) 答：16和36的公因數是1、2、4，最大公因數是4 。,34,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略一、最大公因數,最大公因數的算法： 2.只要找出兩數中比較小的那個數的因數， 再從中找出兩數的最大公因數。例16和36的最大公因數是多少？解16的因數有： 1、2、4、8、16 。 其中16和8都不是36的因數，而4是36的因數。 所以4是16和36的最大公因數。 答：16和36的最大公因數是4,35,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略一、最大公因數,最大公因數的算法： 3.短除法。 4.質因數分解。 5.心算兩數互質、兩數互為因數與倍數關係) 6.輾轉相除法,36,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略一、最大公因數,最大公因數應用題的類型：【例1】把一張長36公分、寬24公分的長方形圖畫紙，裁成大小相同 且邊長都是整數公分的正方形，裁成的正方形邊長最大的是 多少公分？最少可以裁成幾張正方形？【例2】把40本書、16個橡皮擦、32枝鉛筆平分給小朋友，每人得到 的書、橡皮擦和鉛筆都要一樣多，最多可以分給幾人？每人 各分到幾本書、幾個橡皮擦和幾枝鉛筆？【例3】某數除90和60都能整除，某數最大的是多少？ 【例4】某數除36剩下2 、除50不夠1，某數最大的是多少？,要孩子想想看，某數是被除數或是除數？,想想看，這幾個不同的題型都有哪些共同的特徵？要如何帶孩子讀題、解題,37,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略二、最小公倍數,1.最小公倍數的意義： 幾個整數的公倍數中最小的一個，就是這幾個整數的 最小公倍數。例8和6的公倍數有24、48、72、96 其中最小的一個數是24， 所以24就是8和6的最小公倍數。2.如果兩個整數是互質，則這兩個整數的相乘積就是這兩個整數的最小公倍數。 (可以舉一些例子讓孩子自己發現此原理，例子的數字勿太大) 例2和3、4和5、6和7、2和9的最小公倍數各是多少？,38,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略二、最小公倍數,3.如果乙數是甲數的因數，那麼甲數就是乙數的倍數， 所以甲數就是甲乙兩數的最小公倍數。 (可以舉一些例子讓孩子自己發現此原理，例子的數字勿太大。)例6和2、8和4、15和5、9和3的最小公倍數各是多少？4.幾個數的最小公倍數一定大於或等於這幾個數中最大的那一個數。 例12和6的最小公倍數是12 。 8和12的最小公倍數是24。 5和7的最小公倍數是35 。 10和15的最小公倍數是30。,39,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略二、最小公倍數,最小公倍數的算法： 1.列舉法， 先找各數的倍數。 再從中尋找各組數的公倍數。 最後由各組數的公倍數尋找各組數的最小公倍數。 例6和8的最小公倍數是多少？ 6的倍數有( 6、12、18、24、30、36、42、48 ) 8的倍數有( 8、16、24、32、40、48、56、64) 6和8的公倍數是24、48， 答：6和8的最小公倍數是24 。,40,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略二、最小公倍數,最小公倍數的算法： 2.短除法。 3.質因數分解。 4.心算 (1)兩數互質。 (2)兩數互為因數與倍數關係。 (3)只要從兩數中最大的數的1倍開始找,41,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略二、最小公倍數,最小公倍數應用題的類型：【例1】能同時被10和75整除的數中，最小的是多少？ 【例2】1號公車每15分鐘開一班，2號公車每25分鐘開一 班，上午8點，兩班公車同時開出，下一次兩班 同時開出是什麼時候？【例3】一個整數用3、12、36去除都餘1，這個整數最小 的是多少？【例4】有一疊5元的硬幣，10個數、15個一數、20個一 數，都剛好可以數完，這疊硬幣最少有多少元？,想想看，這些不同的題型要如何帶孩子讀題、解題？,42,伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略