毕业论文-魏相育-小波和时间序列-终稿.docx

西南财经大学Southwestern University of Finance and Economics2014届本科毕业论文（设计）论文题目：基于小波分解的时间序列预测及应用 学生姓名： 魏相育 所在学院： 经济信息工程学院 专 业：信息系统与信息管理（金融智能与信息管理） 学 号： 41032103 指导教师： 叶淋宁 成 绩： 2014 年 5 月本科毕业论文（设计）原创性及知识产权声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（毕业设计）是本人在导师的指导下取得的成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文引起的法律结果完全由本人承担。本毕业论文（毕业设计）成果归西南财经大学所有。 特此声明毕业论文作者签名：作者专业：信息系统与信息管理（金融智能与信息管理）作者学号：41032103 2014年5月10日西南财经大学本科学生毕业论文（设计）开题报告表论文（设计）名称基于小波分解的时间序列预测及应用论文（设计）类型B导师叶淋宁学生姓名魏相育学 号41032103专 业信息管理与信息系统（金融智能与信息管理）1. 研究背景与目的从2002年至今，国际黄金价格总体趋势上涨明显。黄金作为重要的储值工具，其价格波动是影响货币市场的重要因素。同时国际金价受各种宏观经济因素影响，波动无常。对其时间序列的研究，很有意义。小波理论根据时-频局部化的要求发展而来，具有自适应和数学显微镜的性质，特别适合非平稳、非线性信号的处理。故引入小波变换通过小波理论将原始数据进行分解，再建立时间序列模型以便预测，与原始数据的直接拟合与预测具有重要的研究意义。2. 研究方案2.1. 研究思路(1). 文献综述与理论研究搜索并总结小波理论在金融时间序列领域应用的相关文献，学习小波分析方法和金融时间序列的处理方法，进行文献综述，为实证研究做准备。(2). 实证研究采集近期黄金期货收盘价作为金融时间序列数据，运用小波理论进行去噪和预测分析，并评估小波理论应用于期货市场的有效性。2.2. 基本模型对原始数据进行小波分解，对于分解后所得重构细节系数和近似数据以及原始数据分别建立能反应方差波动率特性的GARCH模型，并进行基于小波处理的时间序列的预测和原始数据的静态预测，最后分析误差得到对比结果，分析流程如图1所示：图1 基于小波分解的和未经处理的数据时间序列的预测与比较3. 预期成果：以论文的形式提交研究报告，分析小波分解对时间序列预测的优化作用，并得出相应的结论。4. 研究计划与时间安排第一阶段（2013.11-2014.01）查阅相关资料确定选题并完成开题报告；第二阶段（2014.01-2014.02）完成文献综述，搜集数据并确定研究思路；第三阶段（2014.02-2014.03）完成论文初稿撰写；第四阶段（2014.03-2014.04）论文修改及定稿；第五阶段（2014.04-2014.05）进行论文答辩。 指导教师签名： 日期：论文（设计）类型：A理论研究；B应用研究；C软件设计等。26摘要摘要：黄金作为重要的储值工具，其价格对货币市场有相当大的影响。从2002年起，国际金价持续上涨，其时间序列具有明显的不平稳性。2008年爆发次贷危机，使全球经济陷入发展疲软状态，但国际金价具有相当好的回调力度，所以其数据具有一定的可研究性。受全球经济一体化等因素的影响，金融市场波动性加剧，用传统时间序列分析进行预测，会带来一定的误差。用小波变换对时间序列进行分解和去噪，然后再建立相应的时间序列模型进行预测，可以改变预测的效果。本文探讨了小波分解与时间序列的理论知识和相关应用，并用国际金价进行了相应的实证分析：先将原始数据进行小波分解处理，对分解后的各低频信号和高频信号进行时间序列的建模及预测，然后用原始的数据进行时间序列的建模和预测，最后比较二者的预测误差和百分比，得到在小波分解的基础上进行的时间序列预测结果更好的结论。同时，在对各个时间序列进行分析的过程中，本文用到了单位根检验、AIC准则定阶法、相关函数确定模型以及残差序列等统计检验，为模型的建立和预测提供支持和验证。关键字：小波分解 GARCH模型时间序列预测AbstractAs one of the most important value-stored tools, gold has a considerable effect on currency markets. Since 2002, world gold trade price continue to rise, its time series has obviously instability. Subprime mortgage crisis started in 2008, makes the global economy followed in a downturn. But world gold trade price has the quite good callback, so it is valuable to study the gold price time series.Influenced by such factors as the global economic integration, the volatility of financial market enhanced a lot. Using traditional time series analysis to forecast will bring a certain error. Using wavelet transformation to denoise time series, and then establish the corresponding time series models to forecast will make the prediction effect better.This paper discusses the wavelet denoising and time series theory knowledge and related application. And make the corresponding empirical analysis of the world gold trade price. Denoise row data first and then make models for the decomposition of the high frequency and the low frequency signals, then forecast it. Modeling for the row data in the meantime, and then make the comparison of the prediction results and make conclusions. When modeling for each time series, use unit root test, AIC criterion method, correlation function to determine and provide support for building model and model forecasting, and validationKey words: Wavelet Decomposition GARCH Time Series Forecasting目录本科毕业论文（设计）原创性及知识产权声明I西南财经大学本科学生毕业论文（设计）开题报告表II摘要IIIAbstractV目录VI一绪论11.研究背景及意义12.小波分析在时间序列中应用的文献综述13.条件异方差模型在金融时间序列中应用的文献综述2二小波分析的基本理论及方法31.傅里叶变换32.连续小波变换43.离散小波变换54.多分辨分析与Mallat算法5三金融时间序列的分析方法与基本理论61.时间序列的平稳性62.自回归移动平均模型83.条件异方差模型94.广义自回归条件异方差模型10四实证分析111.数据的选取及分析步骤112.统计特征分析123.小波分解的实现134.基于小波分解的时间序列的模型的建立及预测155.原始数据的GARCH建模216.预测比较22五总结231.研究结论232.不足与展望23参考文献24致谢25基于小波分解的时间序列的预测及应用一 绪论1. 研究背景及意义黄金最初被用作具有价值尺度和流通功能的货币，之后由于其携带不便以及社会信用的发展，黄金一度被作为具有储藏功能的物品。从2002年起，黄金价格总体趋势持续上涨，但其价格相对其它货币或对冲工具来说相对稳定。2008年次贷危机引起全球范围内经济危机，使大量金融工具价格大幅下跌，在此后经济持续发展疲软的状态，国际金价虽有一定程度的下跌，但具有较高的回调力度，所以从经济学意义上，有必要研究历年金价状况，分析其价格波动的时间序列因素。黄金价格具有明显的非平稳性并伴随波动大的特征，比方说，从统计分析角度看国际金价，2002年底国际金价平稳上涨，2006年波动剧烈，3月13日国际金价为564美元/盎司，两个月后即涨至710.5美元/盎司，涨幅超过25.98%。2011年后，国际金价波动幅度巨大，在2011年8月22日达到最高值1908.9美元/盎司之后下跌至1300左右的价格。故对其用传统的时间序列模型进行建模与预测，必将产生相应的误差。但若用小波分解的方法进行预测，则可以很好的剔除时间序列中的噪声，为模型的预测提供更高的准确率。金融时间序列分析方法对于非平稳序列进行处理，并建立相关模型以对其进行预测，已取得相当伟大的结果。但是由于金融时间序列较强的非平稳性和长记忆性，传统的简单地集中于时域或频域的分析方法就显的不足。小波分析方法是一种可以同时联系时域和频域进行分析的方法，且其具有良好的多分辨能力，被誉为“数学显微镜”。小波分析将时间序列看做含噪信号，识别并分解之后，可以得到更能表现真实市场特点及变动的金融时间序列。本文将国际金价作为分析目标，用小波分析和时间序列分析结合的方法，对时间序列进行预测，同时与没有用到小波分析的时间序列预测方法进行比较，得到相应结论。2. 小波分析在时间序列中应用的文献综述小波分析是近年来兴起的一种新的信号分析处理技术，它在时域和频域上同时具有良好的局部化性质，能对不同的频率成分采用逐渐精细的采样步长，聚焦到信号的任意细节，在处理非平稳时间序列中体现出很大的优越性1 徐科，徐金梧，班晓娟，基于小波分解的某些非平稳时间序列预测方法，N，电子学报，2001，29（4）：566。小波分析的研究和应用热潮始于20世纪80年代，1983年法国工程师Morlet在分析地震波的局部特性时，为解决Gabor变换在高频条件下不能很好地收集信息能量的问题，引入了小波概念，将Gabor变换中的Gaussian函数进行伸缩平移，这就是Morlet小波2 Morlet J，Arens G，Foruteau E，et al.Wave Propagation and sampling theory and complex wave,J,Geophysics,1982,47（2）：222-236。之后小波分析被广泛用于信号分析、图像处理、理论物理、地震勘探数据处理等多领域。国内小波分析在时间序列方面的应用起步较晚。樊智，张世英（2005）3 樊智、张世英，非线性协整建模研究及沪深股市实证分析，N，管理科学学报，2005（8），73-77利用小波神经网络逼近非线性协整函数模型，并给出训练小波神经网络的变尺度算法，以更好地刻画多个时间序列之间的均衡关系。高静、张世英（2006）4 高静、张世英，高频时间序列基于小波分析的预测，J，统计与决策，2006.9:4-5利用小波分析中的多分辨分解与重构，以及时间序列分析中的AR模型对高频时间序列的预测进行了探讨，同时利用利用上证指数进行实证分析。该研究显示基于小波分析的时间序列预测精确率高达0.9997 。刘宴玲、胡芬、付思成（2008）5 刘宴玲、胡芬、付思成，基于小波分析的中国人均GDP分析与预测N，长江大学学报（自然科学版），2008,3（5）：135-137将中国人均GDP利用小波分析中的多分辨分解成不同层次，并用AR(1)和GM(1，1)模型进行预测和实证分析，显示预测结果比直接使用GM(1，1)预测效果好。汤劼、程希骏（2011）6 汤劼，程希骏.基于小波的金融时间序列波动性研究J，技术研究 2011 1671-1122（2011）06-0094-03以宝钢股份的股票收益率序列为例，先用Mallat算法对金融时间序列进行分解和重构，继而对个分解层上的单支重构分量进行时间序列分析，并得到较为满意的结果，结果表明，Mallat算法能捕捉蕴含在金融时间序列中的深层次信息，在于时间序列分析方法结合时，能更准确的描述时间序列的波动性，实现更准确的预测。3. 条件异方差模型在金融时间序列中应用的文献综述GARCH模型是反应时间序列收益率波动最常使用的异方差模型，它可以很好地反应时间序列波动的集聚性和异方差性。金融时间序列具有波动集聚性、非对称性以及尖峰厚尾性。Engle于1982年提出ARCH模型（自回归条件异方差模型），可以较有效地表现时间序列的波动聚集性。Bollerlev，T.，Chou，R.Y.，Kroner，K.F.（1992）7 Bollerlev，T.，Chou，R.Y.，Kroner，K.F.：ARCH modeling in finance J,Journal of Econometrics,52,5-59包括对一些ARCH模型的公式发展的总体介绍以及众多的使用金融数据经验应用软件的调查。一些预测关于未来研究的建议，包括执行以及竞争资产定价理论预测，市场的微观结构模型等的讨论。陈守东，俞世典8 陈守东，俞世典：基于GARCH模型的VaR方法对中国股市的分析，N，吉林大学社会科学报，2002（7）用基于GARCH模型的VaR方法对中国股市的收益率进行了分析，得出其具有尖峰厚尾性，并且得出与上海股票市场的风险相比，深圳股市具有更大风险，用t分布与GED分布假定下的GARCH模型可以交换体现出收益率的风险特性。杜普燕，宋向东，任文军9 杜普燕，宋向东，任文军：ARCH模型在金融时间序列分析中的拟合应用，N，佳木斯大学学报（自然科学版），2009（3）通过SAS/ETS中自回归过程完成了对金融时间序列的AR-GARCH模型（自回归-广义自回归条件异方差模型）的拟合和分析。二 小波分析的基本理论及方法小波，也即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域具有紧支性；二是正负交替的“波动性”，也即直流分量为零17 刘涛：小波变换技术概述J，中国新技术新产品，2010年22期。小波分析是对傅里叶分析的继承、总结和重大突破，是傅里叶分析发展的新阶段，在信号处理领域有着得天独厚的优势。1. 傅里叶变换10 郑纪安：基于小波分析和神经网络的金融时间序列预测研究D，厦门大学硕士学位论文，2009（4）傅里叶变换是小波分析的基础。若给定信号满足绝对可积条件，标准Fourier变换为：Fourier变换仅描述了信号的频率特征，丢失了信号在时域上的特征。小波变换的产生改变了Fourier变换的局限。设，表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间，其Fourier变换为，当满足容许性条件：此时，称为母小波，因为对做平移、伸缩可以得到一族小波函数：其中，a为伸缩因子或尺度因子，b为平移因子。在小波分析中，利用联合时间尺度函数分析信号，通过平移和伸缩巧妙地构造小波基，可以同时进行时域和频域哈桑的分析。2. 连续小波变换10 郑纪安：基于小波分析和神经网络的金融时间序列预测研究D，厦门大学硕士学位论文，2009（4）若设，是容许性小波，则称，为函数的连续小波变换。其中，a为尺度因子，b为平移因子，称为小波变换系数。伸缩因子a和平移因子b在实轴上连续取值的小波变换是连续小波变换，但在实际应用中，常常需要对两个参数进行离散化处理，离散化处理虽然让信息量相对减少，但这样更方便信号处理。可由它的小波变换精确重构，它可以看成将按“基”的展开或分解，系数就是小波变换。连续性小波逆变换公式或重构公式为：3. 离散小波变换11 孙宇轩：基于小波分析的中国股市时间序列研究，D，北京交通大学硕士学位论文2010（6）通过上面联系小波的变换得到的具有相关性，为去掉的相关性，引入离散小波变换。离散小波变换中，伸缩和平移系数可数。将上述a，b都取离散值，取，从而得到离散小波函数，公式如下： 设若，则称为的离散小波变换。离散小波变换用内积表示为离散小波变换是将时间函数变换到位移-尺度相平面上的离散点处的函数，这些离散点按一定的规律分布。4. 多分辨分析与Mallat算法12 黄师娟，张德生，常振海：国际黄金价格的小波变换FAR预测模型，N，西安工业大学学报，2009（2）多分辨分析是将按分辨率为分解成一串嵌套子空间序列，再通过正交解的塔式分解，将分解成一串正交小波子空间序列。然后将中的函数表示成一系列近似函数的逼近，其中每一近似函数都是在不同子空间上的性态及特征。这中塔式分解方法即Mallat算法。Mallat算法用高滤波器将分解为更低一阶序列，并用低通滤波器将分解为更低一阶滤波器，算法可表示为： 1，2，其中，,分别称为低通滤波器和高通滤波器。当分解到层时，原始信号被分解为个高频信号和1个低频信号，对这个信号分别运用Mallat重构算法，1重构到原尺度上，即得单支重构后的信号，记为，和（其中,分别为,的对偶算子）。三 金融时间序列的分析方法与基本理论金融时间序列指一定时期内按时间顺序排列的金融随机变量18 刘靖涛：基于小波方法的金融时间序列分析D，华中科技大学硕士学位论文，2009；。在对时间序列进行建模分析之前，需要对其进行平稳性和纯随机性的检验，这个过程也即为时间序列的预处理过程6 汤劼，程希骏.基于小波的金融时间序列波动性研究J，技术研究 2011 1671-1122（2011）06-0094-03.。1. 时间序列的平稳性14 史代敏，谢小燕：应用时间序列分析M，高等教育出版社，2011平稳性是指随机时间序列的统计特征不随时间的推移而发生变化，并可分为严平稳和弱平稳两种类型。其中严平稳是指分布结构不随时间推移而变化的状态，实际中，不可能知道随机过程所有可能的联合分布，因此讨论时间序列的是否属于严格平稳相对较难，通常只需要关注随机过程的数字特征即可。仅要求时间序列的数字特征（均值或方差等）不随时间发生变化，这就是弱平稳。若随机时间序列的二阶距存在，且满足如下两个条件：则称为若平稳随机时间序列，其中，表示对于时间序列在两个不同的时刻t，s的时间序列和之间的协方差，也即时间序列的自协方差。通常用单位根检验法（DF检验或ADF检验）检验时间序列的平稳性。ADF检验是DF检验的扩展。DF检验的基本思想是将时间序列看成随机模型，若，序列不平稳，存在单位根，若，序列平稳。可变成差分形式检验的原假设，的OLS估计为：检验统计量为：在原假设成立的条件下，统计量服从DF分布，如果统计量的值大于或等于DF检验临界值，接受原假设，存在单位根，序列非平稳，如果统计量的值小于DF检验的临界值，拒绝原假设，说明原序列不存在单位根，序列平稳。DF检验假设随机干扰项不存在自相关，ADF将差分引进检验模型，解决了这一问题。如果序列不平稳，常用差分方法使其平稳。差分法可以有效地消除数据的线性趋势，使序列平稳。对于时间序列，其一阶差分即为，其二次差分就是对一阶差分再进行差分，以此类推。2. 自回归移动平均模型(1) ARMA(m，n)模型15 李召辉：基于小波分析的CPI实证研究及预测D，西南财经大学硕士学位论文，2011ARMA模型，即自回归移动平均模型，是平稳时间序列。ARMA(m，n)的基本形式如下：其中，是白噪声序列，且和不等于0，m是自回归项的阶数，n是移动平均项的阶数。(2) ACF和PACF定阶法14 史代敏，谢小燕：应用时间序列分析M，高等教育出版社，2011根据时间序列残差的自相关函数（ACF）和偏相关函数（PACF）是否截尾或拖尾，可以对模型进行初步的判定，判定方法如下表3-1所示：表3-1 根据相关性判断模型类型规则模型AR(m)MA(n)ARMA(m，n)自相关函数（ACP）拖尾截尾拖尾偏相关函数（PACF）截尾拖尾拖尾(3) 准则函数定阶法1415准则函数（AIC准则或BIC准则）亦可以确定ARMA模型的阶数。AIC最小信息准则的形式为：其中k为独立参数个数，是模型残差方差的极大似然估计值。AIC由两部分组成，第一部分是反应模型残差方差的函数，随着待估参数的增加，此项单调下降；第二部分随参数的增加而增加。二者一起作用，当AIC最小时对应的阶数便是模型的最佳阶数。AIC不能给出模型阶的相合估计，即当时，AIC所确定的阶数高于真实的阶数，所以赤池提出BIC准则弥补了AIC准则的缺陷。BIC的定义为：理论证明，BIC准则所取确定的模型的阶数是真实阶数的相合估计量。因为BIC用代替AIC准则的系数2，因此BIC准则达到极小所对应的阶数往往比AIC达到极小所对应的阶数低，二者同时达到最小值所确定模型为最优模型。3. 条件异方差模型13 陈晓欣：GARCH模型的改进及其在股市收益波动分析中的应用D，长春工业大学硕士学位论文，2012(3)传统描述时间序列的模型一般假定其方差是恒定的，但实际上，金融时间序列收益率的波动性在一些时间段较大，在另一些时间段较小，是随时间变化的。即其波动性具有聚集性，一般的统计模型中设定的同方差性不能够得到满足，所以，Engle提出了条件异方差ARCH模型。ARCH模型的结构如下：假定时间序列数据平均值为零，异方差为假设在正太分布条件下，有：异方差等于残差平方均值：通过构造残差平方的自回归模型模拟异方差函数：这样即得到阶自回归条件异方差模型，记为ARCH()，其完整结构为：其中为的回归函数，。4. 广义自回归条件异方差模型(1) GARCH模型16 陈晓欣：GARCH模型的改进及其在股市收益波动分析中的应用D，长春工业大学硕士学位论文，2012(3)但是ARCH模型只能用于异方差的自相关过程，而很多随机时间序列的异方差是长期自相关的，为此，Bollerslev提出了广义自回归条件异方差模型（GARCH模型），即在ARCH模型基础上增加了反应异方差的p阶自相关性，使其对异方差的模拟具有长期记忆性，其构造如下：其中，为的回归函数， ，且，对，这个模型被称为GARCH（p，q）模型。通常情况下，GARCH（1，1）就可以拟合模型方差了，如果GARCH（1，1）不够，则可以考虑高阶GARCH模型。(2) ARCH效应的检验14 史代敏，谢小燕：应用时间序列分析M，高等教育出版社，2011ARCH效应的检验，即判定一个时间序列中是否存在ARCH效应的方法，一般用LM检验（拉格朗日乘数检验），其原理为：建立序列的平方序列的r阶自回归模型：假设序列不存在r阶ARCH效应，检验统计量LM服从自由度为r的卡方分布，即：其中，N为序列样本总数，为自回归序列的可决系数。若统计量，接受原假设，认为序列存在r阶ARCH效应，反之，拒绝原假设，序列不存在ARCH效应。四 实证分析1. 数据的选取及分析步骤本文选取的国际黄金价格数据来源于国泰安数据服务中心，从2002年11月11日到2014年4月14日，共计2734个日买入价，黄金价格数据的单位为美元/盎司（/p/user/home.aspx）。其中，后面20个数据（从2014年3月17日开始至2014年4月14日）作为预测集数据。在做分析之前，首先对数据进行转换，将国际黄金日交易价格序列转换为收益率的形式，便于其后进行广义自回归条件异方差模型的建立，转换公式如下：其中，表示时期的黄金收益率，表示时期的黄金价格。同时，本文对数据的小波分解变换在MATLAB R2011b上完成，对时间序列的建模及分析通过经济数据分析软件Eviews 7.0完成。本文分析思路如下：首先，对原始数据进行小波分解，然后对分解后所得重构细节系数和近似数据分别建立能反应方差波动率特性的GARCH模型并进行预测得到小波处理后序列的预测结果，同时对原始数据收益率进行GARCH模型的建立和预测，对比得出相应的结论，分析过程如图4-1所示：图4-1 基于小波分解的时间序列模型的分析过程2. 统计特征分析在对时间序列进行建模之前，对其统计特征进行相应分析。做出国际黄金价格趋势图，如图4-2所示：图4-2 国际金价时序图国际金价整体上从2002年开始保持上涨状态，但在2011年8月份达到峰值之后出现下降趋势，且数据序列波动幅度较大。对其收益率做统计描述，如表4-1所示：表4-1 国际金价统计数据均值中位数最大值最小值标准差.0.0006530.0007450.265834-0.2197980.015106偏度峰值J-B统计量总和总体标准差1.21693768.28014482574.11.7718640.619105国际黄金收益率均值稍大于0，偏度大于0，峰值明显高于正太分布的峰值3，所以该数列满足尖峰厚尾的金融收益率数列特征，也即用一般的平稳时间序列ARMA(m，n)难以描述其数据特征，故可选择GARCH(p，q)模型。3. 小波分解的实现(1) 小波分解采用经济时间序列常用的db3函数对原始数据进行分解，得到第三层分解近似系数和三层分解细节系数，如图4-3所示：图4-3 小波分解得到近似和细节数据(2) 信号重构对上述各尺度信号进行重构，得到三层分解结果，如图4-4（其中，Approximation A3表示第三层低频重构近似信号，Detail D1、D2、D3表示各层高频重构细节信号）：图4-4 重构后得到近似数据和细节系数(3) 阀值去噪重构后，可以对各尺度上的高频系数进行阀值处理，运用小波逆变换重构信号，得到去噪后的信号：图4-5 原始数据与去噪数据4. 基于小波分解的时间序列的模型建立及预测对序列A3、D1、D2、D3分别进行时间序列的平稳性检验、相关性判断、以及模型的选择和阶数确定，得到合适的GARCH(p，q)模型并向前20步值预测，时间序列建模思路如图4-6时间序列的建模过程所示：图4-6 时间序列的建模过程按照图4-6所示的方法过程，对A3近似数据进行时间序列的建模，建模过程如下。(1) 检查A3序列的平稳性：本文所用检查时间序列平稳性的方法为单位根检验，检验结果如表4-2所示：表4-2 A3近似数据的单位根检验1%置信度下5%置信度10%置信度T统计量P值原始序列-3.432574-2.862408-2.567277-1.0600070.7334一阶差分后-3.432592-2.862416-2.567281-10.148600.0000A3原始序列单位根检验的t统计量为-1.060007，大于在1%、5%、10%置信水平下的t统计量，同时P值为0.7334，大于0，故检验不通过，即原始数据不平稳。一阶差分后t统计值小于各置信水平下t统计量值，单位根检验1阶差分通过，即A3数据一阶差分后的序列平稳。(2) 模型定阶图4-7 A3数据差分后的自相关函数和偏自相关函数图图4-7是第三层近似系数一阶差分后的自相关函数和偏自相关函数，其中，自相关函数ACF和偏相关函数PACF都有明显的拖尾现象，自相关直到第六阶还存在拖尾现象，而偏相关在17阶时也存在拖尾现象。故初步选择建立一阶差分后数据的ARMA(m，n)模型。(3) 根据准则法对模型进行定阶对A3序列差分后的数据建立相应的ARMA(m，n)模型，在保证各系数显著的条件下，利用最小信息准则法确定模型阶数，如下表：表4-3 A3一阶差分后模型的定阶ARMA（m，n）模型参数AICBIC修正后残差方差Adjusted R-squaredARMA（1,1）AR(1)/MA(1)4.6181374.6224910.764469ARMA（2,1）C/AR(1)/AR(2)/MA(1)4.4067654.4154750.809554ARMA（2,3）AR(1)/AR(2)/MA(1)/MA(3)4.3930664.4017760.812107ARMA（3,3）AR(1)/AR(3)/MA(1)/MA(3)4.3931524.4018650.812197从表4-3可以看出，阶数一定时，AIC值较BIC小，同时ARMA（2,3）模型和ARMA（3,3）模型的残差方差都比ARMA（1,1）ARMA（1,2）小，且AIC和BIC值也较小，但总体来说，包括AR(1)、AR(2)、MA(1)、MA(3)四个参数的ARMA（2,3）模型AIC和BIC值都达到最小，故以此建立相应的模型。(4) GARCH(p，q)模型的建立观察A3数据一阶差分后的图型，发现有明显的异方差聚集现象，即其波动率在某一时间段内较大，在另一时间段内较小，如图4-8所示：图4-8 A3近似数据差分后序列图GARCH模型能很好地拟合模型的残差序列，据此建立ARMA（2,3）-GARCH（1，1）模型，得到A3信号差分后的均值方程为：模型波动率方程表达式如下：(5) 模型残差检验对所建立的ARMA（2,3）-GARCH（1,1）模型进行ARCH效应的拉格朗日法检验，得到模型对应的残差序列ARCH- LM滞后3期检验结果如表4-4所示：表4-4 ARMA-GARCH模型的ARCH效应检验Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic8.179597Prob. F(3,2705)0.0000Obs*R-squared24.35415Prob. Chi-Square(3)0.0000从检验的P值为0可以看出，GARCH（1,1）模型对应的残差序列的拉格朗日乘法检验滞后3期的结果不存在自回归条件异方差，即可以确定上述模型的有效性。(6) 对信号D1、D2、D3的时间序列模型建立对信号D1、D2、D3用同样的方式进行GARCH建模的建立，基本步骤如图4-6所示，包括平稳性检验、相关性判断、AIC准则定阶、模型确定及残差检验，这里只给出相关结果，各个信号平稳性和相关函数检验结果如表4-5所示：表4-5 信号D1、D2、D3的平稳及相关性检验结果D1D2D3平稳性检验ADF检验统计量-27.04773-25.41863-26.244241%置信水平临界值-3.432591-2.565823-2.5658235%置信水平临界值-2.862416-1.940942-1.94094210%置信水平临界值-2.567281-1.616620-1.616620结论平稳平稳平稳模型判定自相关函数ACF截尾截尾拖尾偏自相关函数PACF拖尾拖尾拖尾模型选择MA模型MA模型ARMA模型在上述基础上，进行模型定阶，具体过程不再赘述，得到如下结果： D1所得MA(3)-GARCH(1,1)模型的均值方程为：模型的波动率方程表达式为： D2所得MA(5)-GARCH(1，1)模型的均值方差为：模型的波动率方程表达式为： D3所得ARMA(2，1)-GARCH(1，1)模型的均值方程为：模型的波动率方程表达式为：对所建立的GARCH模型进行ARCH-LM残差检验，检验所得F统计量和P值如下表：表4-7 对信号D1、D2、D3所建模型的ARCH效应检验ARCH LM残差检验D1D2D3模型类型MA(3)-GARCH(1,1)MA(5)-GARCH(1,1)ARMA(2,1)-GARCH(1,1)F统计量17.296003.216916148.4109P值F(3,2707)=0F(5,2703)=0.0067F(2,2707)=0上述D1、D2、D3所建GARCH的残差检验P值趋于0或等于0，表明残差存在异方差效应，即确认模型建立有效。(7) 各个信号数据的模型预测在eviews中用上述结果对模型进行20步静态预测，结果如下表所示：表4-8 A3数据差分后序列及信号D1、D2、D3的时间序列预测结果(8) 基于小波分解的时间序列数据预测现计算用小波分解后的GARCH模型预测的黄金价格，公式如下：表示期的实际价格，特别的，当等于1时，为建模样本的最后一个数据，也就是1354.51333771501，表示期及期前的数据一阶差分之和，表示期的D1信号的预测值，表示期的D2信号的预测值，表示期的D3信号的预测值，得到结果如表4-8 分解后和原始的数据时间序列模型的预测比较中的第四列小波处理后数据预测值所示。5. 原始数据的GARCH建模对原始数据的收益率进行如上述所示分析步骤一样，进行单位根检验、模型选择、模型定阶以及残差效应检验，得到AR(1)-GARCH(1,1)模型均值方程表达式如下：该模型的波动率方程表达式为：6. 预测比较用上述分解小波的数据与原始收益率模型计算得到如下预测值：表4-8 分解后和原始的数据时间序列模型的预测比较原始数据小波处理前小波处理后预测值绝对误差率预测值绝对误差率1356.81368.544740.866%1347.567540.680%1329.21369.0164482.996%1356.847942.080%13301370.2100153.023%1335.768910.434%13321370.1746692.866%1337.047490.379%1309.91370.0863624.595%1311.214550.100%13091371.0606344.741%1310.101530.084%13071371.1010094.904%1310.510920.269%1292.31371.1907946.105%1307.358881.165%1295.51371.8517685.894%1307.618390.935%1282.71371.7061756.939%1295.401390.990%1280.41372.2870447.176%1279.912530.038%1290.51372.3925066.346%1278.910850.898%1284.81371.9285266.781%1280.86780.306%1297.91372.1882395.724%1273.845951.853%1308.91371.5885944.789%1307.129790.135%13131371.0903754.424%1297.715491.164%13181370.9063034.014%1323.998980.455%1325.91370.6825563.378%1326.398690.038%1326.41370.3304343.312%1329.06850.201%1326.41370.3082863.310%1327.055120.049%预测标准差33.073449121.2526197平均误差百分率4.609%0.613%计算得到小波分解后预测得到的数据标准差小于对原始数据建模预测的标准差，且小波处理后序列建模预测结果的平均误差百分率也远远小于原始数据预测的误差百分率，故基于小波分解的时间序列模型有更好的预测效果。五 总结1. 研究结论本文探讨了小波分解与时间序列的理论知识和相关应用，并用国际金价进行了相应的实证分析：先将原始数据进行小波分解处理，对分解后的各低频信号和高频信号进行时间序列的建模，并对这四个信号进行时间序列模型的建立，最后进行重构和预测。在对各个时间序列进行建模与预测的过程中，本文用到了单位根平稳检验发、AIC准则定阶法、相关函数法确定模型类型以及ARCH效应的拉格朗日检验法等统计检验方法，为模型的有效建立提供支持。同时，对原始数据的收益率序列进行同样的时间序列建模，并对原始数据收益率的GARCH模型向前预测20步值，最后比较小波变换下的预测效果和原始数据收益率建模预测结果的标准差和绝对误差百分比，得到在小波分解的基础上进行的时间序列的预测效果更好的结论。2. 不足与展望本文在对小波时间序列分析上，存在一些问题。首先，在小波基函数选取上，直观地选用金融序列处理常用的DB3小波，没有试用其它方法，因此分解的效果不一定最优，这会影响之后时间序列建模及预测的结果。其次，对于用阀值去噪后的数据没有进行建模分析，只是简单地比较了二者的区别，也没有试用其它函数对原始序列进行消噪并建立相应的时间序列模型进行比较分析。最后，本文对时间序列的预测仅限于20步，没有预测到更长的时间段并进行比较分析。且本文对数据的预测用Eviews中forecast下的静态预测，操作方法有一定的不确定性，会一定程度上影响到预测的结果和比较的效果。参考文献【1】 徐科，徐金梧，班晓娟，基于小波分解的某些非平稳时间序列预测方法，N，电子学报，2001，29（4）：566；【2】 Morlet J，Arens G，Foruteau E，et al.Wave Propagation and sampling theory and complex wave，J。Geophysics，1982,47（2）：222-236；【3】 樊智、张世英，非线性协整建模研究及沪深股市实证分析，N，管理科学学报，2005（8），73-77；【4】 高静、张世英，高频时间序列基于小波分析的预测，J，统计与决策，2006.9:4-5；【5】 刘宴玲、胡芬、付思成，基于小波分析的中国人均GDP分析与预测N，长江大学学报（自然科学版），2008,3（5）：135-137；【6】 汤劼，程希骏.基于小波的金融时间序列波动性研究J，技术研究 2011 1671-1122（2011）06-0094-03.；【7】 Bollerlev，T.，Chou，R.Y.，Kroner，K.F.：ARCH modeling in finance J,Journal of Econometrics,52,5-59；【8】 陈守东，俞世典：基于GARCH模型的V