第6讲计数综合教师版.doc

第六讲：计数综合教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。知识点拨一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。二、排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中。三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题。一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数记作。一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数这个公式就是组合数公式四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法。例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即。规定，。例题精讲【例 1】 名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【解析】 先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随意排，也就是个元素全排列的问题，有(种)选择由乘法原理，共有(种)排法 甲、乙先排，有(种)排法；剩下的个人随意排，有(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有(种)和(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 先排名男生，有(种)排法，再把名女生排到个空档中，有(种)排法由乘法原理，一共有(种)排法。【巩固】 从名运动员中选出人参加接力赛试求满足下列条件的参赛方案各有多少种： 甲不能跑第一棒和第四棒； 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒。【解析】 先确定第一棒和第四棒第一棒是甲以外的任何一个人，有种选择，第四棒有种选择，剩下的个人中随意选择个人跑第二棒和第三棒，有种选择由乘法原理，一共有(种)参赛方案。 先不考虑甲、乙的特殊要求，从名运动员中随意选择人参赛，有种选择考虑若甲跑第一棒，其余人随意选择人参赛，对应种不同的选择，考虑若乙跑第四棒，也对应种不同的选择，但是，从种中减去两个种的时候，重复减了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的人选择人参赛的(种)方案，应加上。综上所述，一共有(种)不同的参赛方案。【巩固】 一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目求： 当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】 先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有 (种)方法第二步再排个舞蹈节目，也就是个舞蹈节 目全排列的问题，有(种)方法根据乘法原理，一共有(种)方法 首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，是个元素全排列的问题，一共有(种)方法第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“”的位置)，这相当于从个“”中选个来排，一共有(种)方法根据乘法原理，一共有(种)方法。【巩固】 由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有(种)排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法由乘法原理，一共有(种)不同的编排方法【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了总的排列数用乘法原理把若干个排列数相乘，得出最后的答案。【例 2】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？【解析】 先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：（种）。【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？【解析】 类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、5种位置选取方法，所以站法总数有：（种）。【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有（种）方法。丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）所以总站法种数为（种）【例 3】 光明小学甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出十四个节目如果每个班至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有多少种？【解析】 方法一：可以分解成三个数之和(每个数都大于等于)，共有组，；，；，；，；，其中前组，每组的三个数有种排列方法；后组，每组的三个数有(种)排列方法由加法原理，一共有(种)不同的排列方法每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况，所以共有种不同的情况方法二：挡板法先给每个学校减少两个节目，也就是总共减少六个节目，然后在剩余的 (个)节目中插入两个挡板有(种)不同的情况【小结】对于排列问题，应当根据问题的特点选择正面或逆向的角度，选择简便的方法有的情况下，该转化的要先转化，该分类的要先分类。【例 4】 用排成四位数：（1）共有多少个四位数？（2）无重复数字的四位数有多少个？（3）无重复数字的四位偶数有多少个？（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？【解析】 条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如等依分步计数乘法原理共有（个）（个）个位上只能是或，有（个）所有四位数中，在的左边或在的右边的数各占一半，共有（个）在千位上，只有种方法，此后只能在另外的个位置上排列，有（个）法一：不在十位、个位上，所以只能在千位上或百位上，有（个）法二：从中减去不合要求的（在十位上、个位上），有（个）。【巩固】 由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数四位数有多少个？四位数奇数有多少个？四位数偶数有多少个？整数有多少个？是5的倍数的三位数有多少个？是25的倍数的四位数有多少个？大于5860的四位数有多少个？小于5860的四位数有多少个？由小到大排列的四位数中，5607是第几个数？由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？【解析】 （个）（或（个）个位上只能是5或7，0不能作千位数字，有（个）个位上只能是0或2，6，8，个位上是0的有个，个位上的是2，6，8的有个，所以共有（个）包括一位数，二位数，六位数，共有（个）5的倍数只能是个位上的0或5的数，共有（个）末两位数只能是25，50，75，共有（个）共有（个）共有（个），或者从总数300中减去大于和等于5860的数的个数（个）小于5607的四位数，即形如，的数，共有（个）所以，5607是第86个数由小到大排列的四位数形如，各有个，共120个；需再向后数8个，各有个，然后是6072，6075，这样，6075是第（个）数所以，6075为所求的数。【巩固】 从1，2，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】 按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有种3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有种3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有种3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种。【例 5】 游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?【解析】 方法一:按第一个带2元钞票的小朋友前面有几个小朋友来确定排队的方案,共有五个方案：带1元的5个小朋友都排在前边,即1111l22222,只有1种情况；带1元的小朋友有4个排在前面,即1111212222,1111221222,1111222122,1111222212，共有4种情况； 带1元的小朋友有3个排在前边,如1112112222,，共有9种情况； 带1元的小朋友有2个排在前边,如1121112222,，共有14种情况； 带1元的小朋友只有1个排在前边,如1211112222，共有14种情况 五个方案共有1+4+9+14+14=42(种)情况 因为10个小朋友互不相同,所以每种情况有5！5！=14400(种)排队方法,总共有4214400=604800种排队方法,使售票员总能找得开零钱 方法二:如下左图,先将拿1元的小朋友看成相同的,2元的小朋友看成相同的.在下图中,每条小横线代表拿l元的小朋友,每条小竖线代表拿2元的小朋友 从A到B的不论在网格中的何点均有横线数不小于竖线数 相当于求A到B的走法： 我们再由上右图知:从AB的走法有42种 因为各个小朋友都是不同的,所以共有425！5！=42120120=604800种情况 评注:游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中n个小朋友只有1元的钞票,另外n个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.则有种排队方法,使售票员总能找得开零钱。【例 6】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【解析】 第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第三阶段赛场根据加法原理，整个赛程一共有场比赛。【例 7】 从分别写有、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问： 有多少个不同的乘积？ 有多少个不同的乘法算式？【解析】 要考虑有多少个不同乘积由于只要从张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题由组合数公式，共有(个)不同的乘积 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题由排列数公式，共有(种)不同的乘法算式。【巩固】 从分别写有、的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【解析】 (种)。 【例 8】 在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【解析】 两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题从个偶数中取出个，有(种)取法；从个奇数中取出个，也有(种)取法根据加法原理，一共有(种)不同的取法【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加这样可以把问题简化。【例 9】 一个盒子装有个编号依次为，的球，从中摸出个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？【解析】 个编号中奇偶，要使个球的编号之和为奇数，有以下三种情形： 奇偶，这时对奇数只有种选择，对偶数有种选择由乘法原理，有(种)选择； 奇偶，这时对奇数有(种)选择，对偶数也有(种)选择由乘法原理，有(种)选择； 奇偶，这时对奇数有种选择，对偶数只有种选择由乘法原理， 有(种)选择由加法原理，不同的摸法有(种)。【例 10】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数？【解析】 先考虑在个数位上选个数位放，这两个的顺序无所谓，故是组合问题，有(种)选法；再从剩下的个数位上选个放，有(种)选法；剩下的个数位放，只有种选法由乘法原理，这样的六位数有(个)在前一问的情况下组成的个六位数中，首位是、的各个如果将全部换成，这个首位是的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数(个)。【例 11】 从，中任取三个数字，从，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？【解析】 整个过程可以分三步完成：第一步，从，中任取三个数字，这是一个组合问题，有种方法；第二步，从，中任取两个数字，也是一个组合问题，有种方法；第三步，用取出的个数字组成没有重复数字的五位数，有种方法所以总的个数为：（个）。【例 12】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个。(2007年“迎春杯”高年级组决赛)【解析】 这是一道组合计数问题由于题目中仅要求，至少各出现一次，没有确定，出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由组成的五位数中，去掉仅有个或个数字组成的五位数即可(法1)分两类：，中恰有一个数字出现次，这样的数有(个)；，中有两个数字各出现次，这样的数有(个)符合题意的五位数共有(个)(法2)从反面想，由，组成的五位数共有个，由，中的某个数字组成的五位数共有个，由，中的某个数字组成的五位数共有个，所以符合题意的五位数共有(个)。【例 13】 从、这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）。（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）【解析】 若三位数不含有，有（个），若含有一个，有（个），若含有两个，有（个），所以共有（个）。【例 14】 200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有1件次品；不都是次品【解析】 第题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件第题：与顺序无关；至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件可用直接法解答，也可用间接法解答第题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品都不是次品，即全部为正品共有抽法种至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况共有抽法种（或种）不都是次品，即至少有1件正品共有抽法种（或种）。【例 15】 在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的： 直线段； 三角形； 四边形。【解析】 由于个点全在圆周上，所以这个点没有三点共线，故只要在个点中取个点，就可以画出一条线段；在个点中取个点，就可以画出一个三角形；在个点中取个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题由组合数公式： 可画出(条)直线段 可画出(个)三角形 可画出(个)四边形。【例 16】 平面内有个点，其中点共线，此外再无三点共线 可确定多少个三角形？ 可确定多少条射线？【解析】 分三类：有个顶点在共线的点中，另个顶点在不共线的点中的三角形有个；有个顶点在共线的点中，另个顶点在不共线的点中的三角形有(个)；个顶点都在不共线的点中的三角形有个根据加法原理，可确定个三角形 两点可以确定两条射线，分三类：共线的点，确定条射线；不共线的点，每两点确定两条射线，共有(条)射线；从共线的点与不共线的点中各取一个点可以确定(条)射线根据加法原理，可以确定(条)射线【巩固】 如图，问： 图中，共有多少条线段？ 图中，共有多少个角？ 图 图【解析】 在线段上共有个点（包括端点、）注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而表示从个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有条线段由组合数公式知，共有(条)不同的线段； 从点出发的射线一共有条，它们是， ，注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角显然，是组合问题，共有种不同的取法，所以，可组成个角 由组合数公式知，共有(个)不同的角。【例 17】 如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？【解析】 从9个点中选出3个，只要这3个点不在一条直线上，就能连成一个三角形图中直径上的四个点共线，其余任意三点均不共线所以要计算三角形的总数，只要算出选取三个点的总取法，再从中减去无法连成三角形的选法总数，得到的就是能画出的三角形的总个数：（个）。【例 18】 如图，正方形的边界上共有7个点、其中、分别在边、上以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_ 个(小学数学奥林匹克决赛)【解析】 从7个点中选出4个点有种方法但其中有三个点在同一条直线上的情况，此时所选择的四个点不能组成四边形这在同一条直线上的三个点可能是、，可能是、，也可能是、，而对于其中的每一种情况，第四个点都可以从其余的4个点中选取因此应排除的情况有种，所以组成的不同的四边形的个数是个。【巩固】 图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？【解析】 本题实质是组合问题从8个点中(其中任意4点不在一条直线上)任选4点可组成的四边形是个但是由于图中有3点同在一条边上的情况，所以任选4点可能组成一个三角形，图中这样的三角形共有个，所以四边形共有个。【巩固】 如图，有个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成个三角形【解析】 如图，从中任选三点有种选法，其中三个点在一条直线上的有其中表示三条横直线上的5个点中任取三个点都共线，5表示5条竖线段上的3个点都共线，6表示3个田字格的总共6条对角线上的3点都共线，2表示大长方形的2条对角线上的三点共线所以，可以组成三角形个。课后练习练习1. 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？【解析】 先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：（种）。练习2. 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？ 把盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位 串起其中盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位【解析】 可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有种选择；然后把剩下的盏灯随意排， 是一个全排列问题，有(种)排法由乘法原理，一共有(种) 先安排第一盏和第四盏灯第一盏灯不是紫灯，有种选择；第四盏灯有种选择；剩下的盏灯中随意选出盏排列，有(种)选择由乘法原理，有(种)。练习3. 某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？【解析】 某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有种选择剩下的个节目随意安排顺序，有(种)选择由乘法原理，一共有(种)不同的播放节目方案。练习4. 用数字组成没有重复数字的正整数能组成多少个五位数？能组成多少个正整数？能组成多少个六位奇数？能组成我少个能被整除的四位数？能组成多少个比 大的数？求三位数的和。【解析】 本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位置和特殊元素。（1）因为万位上的数字不能是，所以万位上的数字的排法有种，其余四位上的排法有种，所以，共可组成个五位数。（2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有，所以，可组成个正整数（3）首位与个位的位置是特殊位置，是特殊元素，先选个位数字，有种不同的选法；再考虑首位，有种不同的选法；其余四个位置的排法有种。所以，能组成个六位奇数（4）能被整除的四位数的特殊是末两位数是或，这两种形式四位数依次是和个所以，能组成个能被25整除的四位数（5）因为除首位数字以外，其余个数字顺次递增排列，所以， 是首位数是的没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为的没有重复数字的最小六位数比它小的六位数是首位数为的六位数，共有个，而由组成的六位数有个所以，大于 的没有重复数字的六位数共有（个）（6）由组成无重复数字的三位数共有（个）.个位数字是的三位数有（个），同理个位数字是2、3、4、5的三位数都各有16个，所以，个位数字的和是；同样十位上是数字1、2、3、4、5的三位数也都各有个，这些数字的和为；百位上是数字1、2、3、4、5的三位数都各自有个，这些数字的和为所以，这100个三位数的和为练习5. 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?【解析】 （1）从3个男同学中选出2人，有=3种选法。从4个女同学中选出2人，有=6种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4321=24种选法。3624=432，所以共有432种选法。（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2321=12种选法。3612=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。33321=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参