第三章-非惯性参考系.ppt

第三章非惯性参考系 第三章非惯性参考系 3 1相对运动 3 2平动非惯性系 3 3旋转的非惯性系 3 4地球自转的效应 第三章非惯性参考系 教学基本要求 掌握绝对运动 牵连运动和相对运动的概念以及非惯性系 平动 旋转或它们的组合 与惯性系之间位移 速度和加速度的关系 掌握Inertiaforce和Coriolisacceleration的概念以及Coriolisforce产生的原因 掌握非惯性系中质点 组 力学问题的分析和处理手法 了解地球自转效应 绝对运动 牵连运动和相对运动的概念以及非惯性系 平动 旋转或它们的组合 与惯性系之间位移 速度和加速度的关系 Inertiaforce的概念和Coriolisforce产生的原因 非惯性系中质点 组 力学问题的分析和处理手法 本章重点 本章难点 Coriolisforce产生的原因 非惯性系 平动 旋转或它们的组合 与惯性系之间位移 速度和加速度的关系 非惯性系中质点 组 力学问题的分析和处理手法 如图 设有两个参考系 分别用固定坐标系O xyz S系 静系 3 1相对运动 一 绝对速度 相对速度和牵连速度 和运动坐标系O x y z S 系 动系 质点P在空间中运动 则 式中 绝对位矢 牵连位矢 相对位矢 据速度定义有 由于在活动坐标系中 方向矢量 随着时间而变化 所以速度可以写作 式中 称为 的绝对微商 称为 的相对微商 称为 的牵连微商 对于任意旋转矢量 总有其绝对微商 相对微商 牵连微商 如果旋转矢量 那么有 于是我们得到了非惯性系和静系中速度的变换关系 或写成 式中 是在静系中观察者看到P的速度 称为绝对速度 是在静系中观察者认为相对动系P的速度 称为相对速度 是在静系中观察者看到动系的平动速度与转动速度矢量和 称为牵连速度 静系和动系具有相对性 动系看静系时 静系成为动系 绝对速度 相对速度 牵连速度 质点的速度合成原理 原则上 质点与动系不在同一物体上 例3 0 甲 乙 丙三个芭蕾演员同时从边长l的正三角形顶点A B C出发 以相同的速率u运动 运动中始终保持甲朝着乙 乙朝着丙 丙朝着甲 试问经过多少时间三人相聚 每个演员跑了多少路程 解 如图 设t时刻 三角形边长为x 则经历极短时间 t后边长为x 如图 据余弦定理得 即 作泰勒展开有 故 三人最终在正三角形中心相聚 此时x 0 t 0时 x l 所以 采用相对运动知识求解则甚为简捷 运动中三人始终形成正三角形 若以乙为参照物 则甲 相对乙运动的速度为 故 沿甲乙方向的分量为 所以用时为 跑的路程为 例3 1 一长为l的棒 两端点A和B分别沿十字槽滑动 A端的速率为常数c 棒上有一质点M沿棒以恒定的相对速率u向B端移动 如图所示 已知初始时 A端与O点相距为d M点位于A端处 求M点的速度 以 角为参数 分析 取十字槽为静系 棒为动系 要求动系中质点的速度 需求相对 速度和牵连速度 相对速度已知 只需求出牵连速度 包括动系的平 动速度和转动速度 解 建立如图所示的静直角系O xyz 和固着在棒上的动直角系A x y z 由动系和静系速度变换关系 据题意 又 故 仅需求出 以及把结果化为同一坐标系 因 所以有 积分可得 由于初始时刻 A端与O点相距为d 所以 从而求出时间为 为化同一坐标系 由图中几何关系有 于是求出了M点在静系中的速度为 当然也可利用 表示M点的速度 二 加速度科里奥利加速度 是在静系中观察者看到P的加速度 称为绝对加速度 是在静系中观察者认为相对动系P的加速度 称为相对加速度 是在静系中观察者看到动系的平动加速度与 转动引起的加速度的矢量和 称为牵连加速度 称为科里奥利加速度 所以静系与动系中的加速度变换关系为 绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度 质点的加速度合成原理 科里奥利加速度产生的原因 由 可知 或 为0时 为0 是动系的转动速率 是质点P相对动系运动的速率 所以 是因为动系的转动和质点相对动系运动共同引起 或 是动系转动角速度与质点P相对动系运动速度之间夹角 仅当 与 夹角为0或 时 为0 图中从c运动至d 直观描述 科里奥利加速度分成两部分 1 质点具有相对速度时 导致质点在动系中的 相对位置发生变化 从而改变了速度的大小 如图 若质点在很短的时间 t内 以相对动系的速度 从a运动至b 那么 忽略质点在横向的偏离 2 质点跟随动系转动时 相对速度方向发生了变化 如图 质点的相对速度v 随盘而转动 若在很短的时 间 t内 质点转动了微小的角度 则有 又在速度矢量三角形中 故 3 2平动非惯性系 若动系只有平动 无转动 即 普遍表达式 由加速度 可知 变形为 于是有 称为惯性力 它与真实力有区别 惯性力无施力物体 从而也不满足牛顿第三定律 惯性力只存在于非惯性系中 非惯性系中的牛顿第二定律 例3 2 由于地球和太阳的相互作用 太阳实际上也是运动着的 具有加速度 不是惯性参考系 地球和太阳构成两体力学系统 前 2 5已讨论过 现在以太阳为参考系写出地球相对太阳的运动微分方程 解 取O xyz为静系 太阳为动系 则在动系中 地球受力如图所示 解得 3 3旋转的非惯性系 若动系是无平动只旋转的非惯性系 那么有 变形为 于是有 非惯性系中的牛顿第二定律 现在具体讨论三项惯性力的方向 三项都称作惯性力 与 方向相同 第一项 第一项惯性力是由动系转动速度不均匀引起的 若加速转动 则惯性力的方向与转动方向相反 若减速转动 则惯性力的方向与转动方向相同 第二项 所以常称第二项惯性力为惯性离心力 如图 据叉乘定义可得 的大小为 方向沿 这个方向正是离心方向 第三项 第三项惯性力是科里奥利力 科里奥利力总是使质点偏离原来运动的方向 方向与 和v 构成的平面垂直 例3 3 一半顶角为 的圆锥 沿圆锥的母线开有一槽 圆锥绕铅直的对称轴线以匀角速度 转动 质量为m的质点自圆锥顶点从静止开始无摩擦地向下滑动 如图所示 求出当质点与圆锥顶点的距离为s时 质点对槽作用的压力FN 分析 圆锥匀速转动 为旋转的非惯性系 要求槽的作用力 需利用非惯性系中的 牛顿第二定律 然后求解微分方程得解 把动系固定在圆锥上 建立直角坐标系O xyz 解 质点受到的合外力如图示 其中 Ox取在母线槽 Ox Oy和圆锥对称轴线共面 由非惯性系下牛顿第二定律 可知 需要找到合外力F 惯性力Fint 即找r v 以及相对加速度a 则合力在动系o xyz中可分解为 如图 在动系中有 把 代入下式可得惯性力 代入方程 可得其分量方程为 1 式为二阶非齐次常微分方程 齐次通解为 观察易知x为常数时 可得非齐次特解 又在初始时刻 t 0时 x 0 v 0 所以 1 式的通解为 求得 从而有 对 1 式分离变量有 代入初始条件 积分有 由 2 式有 把相对速度结果代入 3 式有 据牛顿第三定律 代入x s可得质点对槽作用的压力 记住静系和动系中位移 速度和加速度关系 从本例可看出在非惯性系中 考虑惯性力之后 就与在 惯性系中求解动力学问题完全一样 只是由于惯性力的 方向不易在图中画出 所以我们常常把惯性力进行正交 分解 用矢量运算的结果最终确定 3 4地球自转的效应 地球有自转和绕太阳公转 不是惯性系 地球自转角速度大小为 地球自转角速度的改变率为 由于地球自转角速度值非常小 多数情况下可作惯性系 但研究对象的周期较长 范围较大时 不宜用地球作惯 性系 例如研究气候 潮水等 地球自转角速度改变率很小 常把地球看作匀速转动 一 地面坐标中的质点运动方程 现在研究地球作为非惯性系时 质点的运动方程 由于地球自转的同时 还要绕太阳公转 所以选取太阳作为近似地惯性系S1 对于地球自转轴上的点来说 只绕 太阳公转 为旋转的非惯性系S2 地球转轴以外的点都绕地轴作圆周 运动 为旋转的非惯性系S3 旋转的非惯性系S3的选取如图所示为O xyz 由图示可知 求二阶导有 显然有 两边乘以质点P的质量有 设质点P的质量为m 在外力F作用下在地表附近运动 求轨迹 式中FS和FE分别为太阳和 地球对质点P的万有引力 又 其中R 为常数 所以 对在S2系中旋转的矢量R来说有 对在S3系中旋转的矢量r来说有 把前面得到的 的结果代入 可得 若在地面坐标系S3中上式化为 和 正是在地面坐标系S3中质点P的速度和加速度 对S3系而言 由于质点在地球表面附近运动 所以R r 于是有 这正是质点受到地球自转的惯性离心力 若把地球对质点的万有引力和 惯性离心力合成就构成了质点 表观重力 视重 方向作为铅垂线 它与赤道平面的交角 作为地面 图中 角为地面P点处的地理纬度 的实际重力mg 称作表观重力 P点处的纬度 称为天文纬度 于是 被简写作 由图有 故 二 自由落体偏东 现在研究质量为m的质点自高度为h处自由下落 不计阻力 因地球自转 质点不沿铅垂线降落 落地点总偏东的问题 质点下落时 合外力只重力 因而可得运动学方程为 初始条件为 时 对 1 式和 3 式分别对时间积分一次 代入初始条件得 把 4 式和 5 式代入 2 并利用初始条件得 6 式的齐次方程是典型的简谐振动方程 故齐次的通解 6 式的特解易得 所以 6 式的通解为 式中A 为待定常数 把 7 式对时间求导一次 得 代入初始条件到 6 式和 7 式可得 解得 代入 7 式可得 6 式的通解为 把 9 式代入 4 式和 5 式 有 代入 时 得 由于地球自转角速度 很小 在很短的时间内 t仍很小 由泰勒公式知 代入 并忽略高阶小量 可得 代入 9 10 11 可得 把y和z中的时间t消去可得轨迹方程 是位于东西竖直面内的半立方抛物线 质点自高h下落至地面时 偏东数值为 当 0时 位于赤道处 cos 1偏东最为明显 对 1 2 3 式分别对时间积分一次 代入初始条件得 把 4 5 6 式分别代入 1 2 3 式面几式 又因 很小 所以忽略 的二阶项可得 在自由落休中 得到 对 积分两次可得 例3 4 一质点置于光滑水平桌面上运动 初速率为v0 设桌面位于北纬 处 考虑地球的自转效应 证明质点的运动轨迹是一个圆 并求出圆半径及桌面所受到的力 分析 由于考虑地球自转 为非惯性系 选桌面为参考系 桌面跟随地球一起自转 仍是利用地面坐标系的运 动学方程求解 这里证明轨迹是圆 只需想圆周运 动的条件即可 所以力和速度点乘为0 也可从几何 角度 半径为常数这又牵涉到坐标系的选取问题 采用直角坐标系求解 使用地面坐标系中运动学方程 解 初始时刻 t 0时 代入 2 式有 由 1 式积分 式中常数 由 2 式积分 代入 1 式有 4 5 式的齐次方程为典型的简谐方程 通解为 求导有 式中B1 B2 1 2为待定常数 代入初始条件可得 可解出 于是有 所以质点的轨迹是以 为圆心 B1为半径的圆 解 在桌面上建立自然坐标系 则质点除受到重力外 只受到桌面的支持力和科里奥利力 质点运动学方程为 在自然坐标系 可以写成 那么 所以 圆周运动证毕 把 2 代入 1 式有 等式两边的各分量应相等 再据自然坐标系知识有 由 3 式和初始条件可得 代入 4 式可得 n不太好直接求出 但注意到质点在桌面上做圆周运动 可以考虑把 分解在铅垂线和水平线 再把水平线分量 在自然坐标系中分解 从而得出 n 从而可得 代入 5 式可得桌面的支持力为 桌面受到的力为 三 傅科摆 Foucault spendulum 国葬院外观 1851年傅科摆实验的版画 示意图 1851年 傅科在巴黎的国葬院大厅进行了傅科摆动实验 傅科摆与普通单摆没有什么根本的不同 有三点区别 用来证明地球自转 摆线要足够长 67m 是为了摆动的持续时间达到足够长 才能清楚地看出地球自转的效果 摆锤要足够重 27kg 是为了克服阻力 有足够大的机械能特殊的悬挂装置 是为了保证它的摆动超然于地球的自转 先定性分析傅科摆 假定是在北极做傅科摆实验 那么 就沿铅直方向 以地轴为惯性系 或取恒星系 摆动平面的方向摆锤不受任何外力作用 所以在以地轴 因为摆锤受到的重力和绳的拉力都在摆面内 在垂直于 为惯性系中进行观察时 摆锤的摆动平面不发生进动 但在随地球转动的地面坐标系中观察时 摆锤将受到与 摆面垂直的科里奥利力 Fc 2m v 的作用 科里奥利力 总是迫使摆锤偏向运动方向的右方 由于偏离是非常微小 需要很长时间地来回摆动 才能看出摆动面的顺时针进动 实验发现 除了赤道外 任意纬度处摆动面都有进动现象 任意纬度时 可分解如图 由于 水平与速度都在水平面 不影响进动 只有 铅垂影响 傅科摆放大的轨迹图 以一定的初速度从平衡位置出发 静止出发偏离平衡位置 傅科摆的摆锤除重力mg外 只受张力T 若傅科摆的摆长为l 摆锤质量为m 如图 选取傅科摆静止时摆锤为原点的直角坐标系O xyz 故 代入地球自转时 质点的运动学方程 对于傅科摆来说 摆角很小 很小 由图中几何关系有 又傅科摆摆角很小 在z方向振动甚微 z及其对时间的微商都系二阶微量 略去 于是 3 式化为 1 2 式化为 把 5 乘以虚数j后与 4 式相加可得 易得特征根为 因此通解为 又 式中A B为待定常数 比较可得 由此可知 傅科摆作两种周期运动 一种周期为 当 0时 位于赤道 周期无穷大 即摆动面没有进动 当0 时 位于北半球 摆动面作顺时针方向进动 当 2 时 位于南半球 摆动面作逆时针方向进动 傅科摆的圆周角是360 角 一天的时间是24小时 那么傅科摆每小时的振幅圆周角是15 角 每小时有60分钟 那么每分钟的振幅圆周角是0 25 角 另一种周期为 因 很小 所以 看到第二种周期运动需时间长 三 气旋 热带风暴和信风 北半球气旋 南半球气旋 北半球气旋和反气旋平面受力示意图 北半球气旋与反气旋立体示意图 北半球气旋 南半球气旋 南半球反气旋 北半球反气旋 气旋与反气旋跟天气相关示意图 东南沿海的台风 长江流域的伏旱天气 气旋中有锋面的气旋叫锋面气旋 锋面气旋的温压场是不对称的 移动性大 而且是带来云和降水的主要天气系统 气旋的分类 根据气旋形成和活动的主要地理区域 可分为温带气旋和热带气旋两大类 按其热力结构可分为锋面气旋和无锋面气旋 无锋面气旋又可分为两类 热带气旋 发生在热带海洋上的强烈的气旋性涡旋 当其中风力达