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第三篇数学分支中的相关数学模型 1高等数学相关模型1 1卫星轨道长度1 2射击命中概率1 3人口增长率 2线性代数相关模型2 1投入产出综合平衡分析2 2输电网络 3概率统计相关模型3 1合金强度与碳含量3 2年龄与运动能力3 3商品销售量与价格 1高等数学相关模型 问题 1 1卫星轨道长度 人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆 我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439km 远地点距地球表面2384km 地球半径为6371km 求该卫星的轨道长度 分析 卫星轨道椭圆的参数方程 椭圆长度 分别是长 短半轴 椭圆积分 无法解析计算 MATLAB程序 functiony x5 t a 8755 b 6810 y sqrt a 2 sin t 2 b 2 cos t 2 t 0 pi 10 pi 2y1 x5 t L1 4 trapz t y1 L2 4 quad x5 0 pi 2 le 6 L1 4 908996526785276e 004 L2 4 908996531830460e 004 求解 评注 问题 1 2射击命中概率 炮弹射击目标为一正椭圆形区域 当瞄准目标中心发射时 在众多因素影响下 弹着点与目标中心有随机偏差 分析 设目标中心x 0 y 0 无法解析计算 设弹着点围绕中心成二维正态分布 且偏差在X方向和Y方向相互独立 若椭圆在X方向半轴长120m Y方向半轴长80 设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m 求炮弹落在椭圆形区域内的概率 则弹着点 x y 概率密度函数 炮弹命中椭圆形区域的概率 求解 蒙特卡罗方法 这是一种随机实验的方法 用它来计算定积分的原理可以从下面的直观例子得出 如图所示 投石算面积 随机投点法 从概率论的观点看上例 记投点的坐标为 每个坐标视为相互独立的 0 1 取间内均匀分布的随机变量 简称 0 1 随机数 根据大数定律 事件 落在四分之一单位圆面积内 发生的频率 依概率 收敛于 该事件发生的概率P 不妨写作 而P可以用积分表示为 于是当 可以用随机投点法作近似计算 这里n是二维 0 1 随机数的总数 k是其中满足的数目 0 1 随机数可以用计算机方便的产生 rand 1 n 产生n个 0 1 随机数 用于蒙特卡罗方法 重积分的计算 设 是相互独立的 0 1 随机数 判断每个点 是否落在 域内 将落在 域内的m个点记作 则 求解 蒙特卡罗方法 作变换 以100 m 为1单位 则 MATLAB程序 a 1 2 b 0 8 m 0 z 0 n 100000 fori 1 nx rand 1 2 y 0 ifx 1 2 x 2 2 1y exp 0 5 a 2 P 0 3752 m 78 552 x 1 2 b 2 x 2 2 z z y m m 1endend p 4 a b z 2 pi n m 评注 问题1 1 3人口增长率 20世纪美国人口数据 106 计算各年份人口增长率 记时刻t人口为x t 则人口相对增长率为 分析 记1900年为k 0 求解 数值微分三点公式 年增长率2 201 661 461 021 041 581 491 161 051 04 评注 问题2 已知某地区20世纪70年代的人口增长率 且1970年人口为210 百万 试估计1980年的人口 记时刻t人口为x t 则人口增长满足微分方程 分析 记1970年为k 0 求解 评注 1980年该地区人口为230 2 百万 数值积分梯形公式 为算出瑞士的国土面积 首先对瑞士地图作如下测量 以由西向东方向为x轴 由南到北方向为y轴 选择方便的原点 并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段 在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的坐标 得到表中数据 单位mm 习题 国土面积问题 根据地图比例 18mm相当于40km 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积 与它的精确值41288km比较 2线性代数相关模型 背景 2 1投入产出综合平衡分析 国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系 每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工 投入 变为自己的产品 产出 投入产出综合平衡模型 根据各部门间的投入 产出关系 确定各部门的产出水平 以满足社会的需求 设国民经济仅由农业 制造业 和服务业三个部门构成 已知某年它们之间的投入产出关系 外部需求 初始投入等如表 产值单位为亿元 简化问题 说明 假定每个部门的产出与投入是成正比的 由上表能够确定这三个部门的投入产出表 说明 表中数字称为投入系数或消耗系数 假设系数是常数 产出 设有n个部门 已知投入系数 给定外部需求 建立求解各部门总产出的模型 如果今年对农业 制造业 服务业的外部需求分别为50 150 100亿元 三个部门总产出 模型可行 对于任意给定的 非负的外部需求 都能得到非负的总产出 为使模型可行 投入系数满足 如果三个部门的外部需求分别增加1个单位 他们的总产出应分别增加多少 分析 投入产出综合平衡分析 若有n个部门 记一定时期内第i个部门的总产出为xi 其中对第j个部门的投入为xij 满足的外部需求为di 则 投入产出表每一行都满足 记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij 在每个部门的产出与投入成正比的假定下 有 记投入系数矩阵 产出向量 需求向量 则 或 若I A可逆 则 各部门总产出 MATLAB程序 a 0 150 10 2 0 30 050 3 0 20 30 d 50150100 b eye 3 a x b d c inv b 三部门总产出 139 2801 267 6056 208 1377亿元 外部需求分别增加1个单位时 总产出分别增加 C 1 34590 25040 34430 56341 26760 49300 43820 43041 2167 部门关联系数 当对农业的需求增加1个单位时 农业 制造业 和服务业的总产出分别增加1 3459 0 5634 0 4382单位 模型可行 若 问题 2 2输电网络 一种大型输电网络可简化为电路 负载电阻 线路内阻 电源电压V 负载电流 列出各负载上电流的方程 设 讨论情况 n 10 求 及总电流 分析 根据电路中电流 电压关系 列出 消 和 求电流方程 求电流方程 其中 MATLAB计算电流程序 r 1 R 6 v 18 n 10 b1 sparse 1 1 v n 1 b full b1 a1 triu r ones n n a2 diag R ones 1 n a3 tril R ones n n 1 tril R ones n n 2 a a1 a2 a3 I a b I0 sum I 说明 从n 10到n 20 I0几乎不变 I1 I5变化也很小 Ik 1差不多是Ik的2 3倍 如果n增加到50 100 可以得到类似的结论 证明 Ik 1是Ik的2 3倍 习题 种群的繁殖与稳定收获种群的数量因繁殖而增加 因自然死亡而减少 对于人工饲养的种群 比如家畜 而言 为了保证稳定的收获 各个年龄的种群数量应维持不变 种群因雌性个体的繁殖而改变 为方便起见以下种群数量均指其中的雌性 种群年龄记作当年年龄的种群数量记作 繁殖率记作 每个雌性个体一年繁殖的数量 自然存活率记作为一年的死亡率 收获量记作 则来年年龄的种群数量应为 1 若已知 给定收获量 建立求各年龄的稳定种群数量的模型 用矩阵 向量表示 2 设如要求为500 400 200 100 100 求 3 使均为500 如何达到 解 1 为了保证稳定的收获 各个年龄的种群数量应维持不变 因此 则 即 3概率统计相关模型 问题 3 1合金强度与碳含量 合金的强度y kg mm 与其中的碳含量x 有比较密切的关系 从生产中收集一批数据 求拟合函数y x 再用回归分析进行检验 分析 描点作图 y与x近似为线性 拟合y ax b MATLAB程序 x 0 1 0 01 0 23 x x 1 9 x 11 12 x 14 y 42 41 5 45 45 5 45 47 5 49 55 50 55 55 5 60 5 pp polyfit x y 1 xx 0 08 0 01 0 25 yy polyval pp xx plot x y r xx yy 拟合y ax b a 140 6194 b 27 0269 评注 是否线性显著 有无异常点 预测 程序hejinpoly MATLAB统计工具箱 多元线性回归 b regress Y X b bint r rint stats regress Y X alpha Y X为按列排列的数据 说明 b bint为回归系数估计值和他们的置信区间 alpha为显著性水平 缺省时设定为0 05 stats包括R2 F P值 r rint为残差及置信区间 可用rcoplot r rint 画图 合金强度与碳含量问题回归模型 回归模型与统计检验 MATLAB程序 x1 0 1 0 01 0 18 x x10 20 210 23 y 4241 54545 54547 54955505555 560 5 x ones 12 1 x b bint r rint stats regress y x b bint stats rcoplot r rint b 27 0269140 6194bint 22 322631 7313111 7842169 4546stats 0 9219118 06700 0000 y 27 0269 140 6194x 线性显著 模型成立 有无异常点 画残差分布图 除第8个数据外其余残差的置信区间均包含零点 第8个点应视为异常点 剔除后重新计算 可得 b 26 8968139 9043bint 24 133029 6606122 7939157 0148stats 0 9744342 12590 0000 程序hejinre 问题 3 2年龄与运动能力 将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组 求年龄对这种运动能力的影响关系 多项式回归 分析 MATLAB散点图程序 每组两人测量其旋转定向能力 x 17 2 29 y1 20 48 25 13 26 15 30 0 26 1 20 3 19 35 y2 24 35 28 11 26 3 31 4 26 92 25 7 21 3 plot x y1 x y2 axis 15301535 应拟合一条二次曲线 可利用ployfit 一元多项式回归 年龄与运动能力的二次模型 MATLAB程序 x1 17 2 29 x x1 x1 y 20 4825 1326 1530 026 120 319 3524 3528 1126 331 426 9225 721 3 p S polyfit x y 2 p p 0 20038 9782 72 2150 a1 0 2003a2 8 9782a3 72 2150 S是一个数据结构 Y delta polyconf p x S Y 得到x与y的拟合效果 求解 程序duo1 统计检验 y1 mean y rsquare sum Y y1 2 sum y y1 2 s sqrt sum y Y 2 12 rsquare 0 6980s 2 0831 衡量拟合优劣的指标 问题 3 3商品销售量与价格 某厂生产电器的销售量y与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关 在10个城市的销售记录 建立y与x1和x2的关系式 分析 对模型和系数进行检验 若本厂售价160元 对手售价170元 预测销售量 画散点图 y与x2有较明显的线性关系 而y与x1之间的关系则难以确定 作几种尝试 用统计分析决定优劣 设回归模型 MATLAB程序 x1 120140190130155175125145180150 x2 10011090150210150250270300250 y 10210012077469326696585 x ones 10 1 x1 x2 b bint r rint stats regress y x b 66 51760 4139 0 2698bint 32 5060165 5411 0 20181 0296 0 4611 0 0785stats 0 65276 57860 0247 评注 结果不是太好 二次函数改进 MATLAB统计工具箱 多元二项式回归rstool rstool x y model alpha x