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课题二次函数的概念课型新授 教学目标1使学生理解二次函数的概念 2使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围 3为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题 重点和难点重点：对二次函数概念的理解 难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一、情景创设 1什么叫函数？它有几种表示方法？ 2什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较) 二、实践与探索 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系 例1 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？ 解：函数关系式是y=x2(x0)(写在黑板上) 例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？ 解：函数关系式是y=50(1x)2，即y=50x2+100x+50(写在黑板上) 由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同) 三、讲解新课 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数 巩固对二次函数概念的理解： 1强调“形如”，即由形来定义函数名称二次函数即y是关于x的二次多项式 2在y=ax2bxc中自变量是x，它的取值范围是一切实数但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值如例1中，x0 3在y=50x2100x50中， a=50， b=100， c=50 4为什么二次函数定义中要求a0？(若a=0，ax2bx+c就不是关于x的二次多项式了) 5b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零 若b=0，则y=ax2c；若c=0，则y=ax2bx；若b=c=0，则y=ax2 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式 四、巩固新课 例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a、b、c (1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)；(3)y=3x(2-x)3x2；(4)y(x2)(2-x)； (5)y=x42x21(可指出y是关于x2的二次函数) 例2m取哪些值时，函数 是以x为自变量的二次函数？ 分析 若函数 是二次函数，须满足的条件是： 解 若函数 是二次函数，则 解得 ，且 因此，当 ，且 时，函数 是二次函数 回顾与反思 形如 的函数只有在 的条件下才是二次函数 探索 若函数 是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 延伸：已知函数 是二次函数，求m的值 例3写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 例4 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围 例5 已知二次函数y=ax2bxc，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1求a、b、c，并写出函数解析式 五、布置作业 1在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围 2已知二次函数y=4x25x1，求当y=0时的x的值 3已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k 4已知二次函数y=ax2bxc中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值 5. 当k为何值时，函数 为二次函数？ 上课日期 月 日 星期 总第 课时 课题二次函数的图象与性质（1）二次函数y=ax2的图象课型新授 教学目标1使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象 2使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识 3进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育 重点和难点重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质 难点：渗透数形结合思想 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一 、情境导入 我们已经知道，一次函数 ，反比例函数 的图象分别是 、 ，那么二次函数 的图象是什么呢？ （1）描点法画函数 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？ （2）观察函数 的图象，你能得出什么结论？ 二、新课 例1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1） （2） 共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点 不同点： 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 例3已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2 （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S4 cm2 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内 解 （1）由题意，得 列表： C2468 14 描点、连线，图象如图2622 （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm （3）根据图象得，当C8cm时，S4 cm2 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点 （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分 补充例题 1已知点M(k，2)在抛物线y=x2上， (1)求k的值 (2)点N(k，4)在抛物线y=x2上吗？ (3)点H(-k，2)在抛物线y=x2上吗？ 2已知点A(3，a)在抛物线y=x2上， (1)求a的值 (2)点B(3，-a)在抛物线y=x2上吗？ 三、小结 1抛物线y=ax2(a0)的对称轴是y轴，顶点是原点 2a0时，抛物线y=ax2的开口向上 3a0时，抛物线y=ax2的开口向下 四、作业： 1、已知函数 是二次函数，求m的值 2、已知二次函数 ，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值 3、已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式若圆柱的底面半径x为3，求此时的y 4、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围 五、教学注意问题 1注意渗透分类讨论思想比如在y=ax2中a0时，y=ax2的图象开口向上；当a0时，y=ax2的图象开口向下，等等 2注意训练学生对比联想的思维方法 上课日期 月 日 星期 总第 课时 课题二次函数的图象与性质（2）二次函数 的图象课型新授 教学目标会画出 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 重点和难点重点：通过画图得出二次函数性质 难点：识图能力的培养 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一、情境导入 同学们还记得一次函数 与 的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数 与 的图象之间的关系吗？ ，那么 与 的图象之间又有何关系？ 二、实践与探索 例1在同一直角坐标系中，画出函数 与 的图象 解 列表 x-3-2-10123 188202818 20104241020 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2623所示 回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同 的？又有哪些不同？你能由此说出函数 与 的图象之间的关系吗？ 例2在同一直角坐标系中，画出函数 与 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线 得到抛物线 回顾与反思 抛物线 和抛物线 分别是由抛物线 向上、向下平移一个单位得到的 探索 如果要得到抛物线 ，应将抛物线 作怎样的平移？ 三、小结 谈下你有哪些收获？ 四、作业 1、一条抛物线的开口方向、对称轴与 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式 2、 上课日期 月 日 星期 总第 课时 课题二次函数的图象与性质（3）二次函数 的图象课型新授 教学目标会画出 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 重点和难点重点：通过画图得出二次函数性质 难点：识图能力的培养 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一、情境导入 我们已经了解到，函数 的图象，可以由函数 的图象上下平移所得，那么函数 的图象，是否也可以由函数 平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 二、 实践与探索 例1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 ， ， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 解 列表 x-3-2-10123 202 028 820 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图2625所示 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0） 回顾与反思 对于抛物线 ，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= 探索 抛物线 和抛物线 分别是由抛物线 向左、向右平移两个单位得到的如果要得到抛物线 ，应将抛物线 作怎样的平移？ 练习： 1画图填空：抛物线 的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，它可以看作是由抛物线 向 平移 个单位得到的 2在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 ， ， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 三、小结与作业 1不画出图象，请你说明抛物线 与 之间的关系 2将抛物线 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求 的值 上课日期 月 日 星期 总第 课时 课题二次函数的图象与性质（4）函数 +k的图象课型新授 教学目标1掌握把抛物线 平移至 +k的规律； 2会画出 +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 重点和难点重 点：函数形如y=a(xh)2k图象的性质。 难 点：学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一、情境导入 1、函数y=ax2k的图象性质（开口方向，对称轴，顶点坐标，最值） 2、说出函数y= x2， y= x21的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。 3、由前面的知识，我们知道，函数 的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象；函数 的图象，向右平移3个单位，可以得到函数 的图象，那么函数 的图象，如何平移，才能得到函数 的图象呢？ 二、实践与探索 例1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 ， ， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 解 列表 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图2626所示 x-3-2-10123 202 8202 60-20 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 +k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关 探索 你能说出函数 +k（a、h、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 小结：y=a(xh)2k （1）开口方向由a决定，（2）对称轴是直线x=h，当h0时在y轴右侧，（3）顶点坐标为（h,k ），(4)最值:当a0时，x=h时y最小值=k,当a0时，x=h时y最大值=k。 形如y=a(xh)2k（a0）的二次函数解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标。 三、例题讲解 例1、 已知抛物线开口大小与y= x2的开口大小一样，但方向相反，且当x=2时，y有最值4，求抛物线的解析式。 例2、 抛物线y=（x1）2+5是由一抛物线向左平移2个单位，再向下移2个单位得到的，求原抛物线的解析式。 例3、 已知二次函数的图象对称轴为x=2，且图象上有两点（1，4）（2，1）求此二次函数的解析式。 例4、 求抛物线y=3（x4）2+5的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。 四、 小结 函数形如y=a(xh)2k图象的性质。 五、 作业 a) 已知二次函数图象顶点坐标为（1，6）并且图象过点（0，5）求函数解析式。 b) 把抛物线 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 ，求b、c的值 上课日期 月 日 星期 总第 课时 课题二次函数的图象与性质(5) 函数yax2bxc的图象1课型新授 教学目标1使学生掌握用描点法画出函数yax2bxc的图象。 2使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3让学生经历探索二次函数yax2bxc的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数yax2bxc的性质。 重点和难点重点：用描点法画出二次函数yax2bxc的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点：理解二次函数yax2bxc(a0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x、(，)是教学的难点。 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一、情景创设 由前面的知识，我们知道，函数 的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象；函数 的图象，向右平移3个单位，可以得到函数 的图象，那么函数 的图象，如何平移，才能得到函数 的图象呢？ 1你能说出函数y4(x2)21图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y4(x2)21图象的开口向下，对称轴为直线x2，顶点坐标是(2，1)。 2函数y4(x2)21图象与函数y4x2的图象有什么关系? (函数y4(x2)21的图象可以看成是将函数y4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3函数y4(x2)21具有哪些性质? (当x2时，函数值y随x的增大而增大，当x2时，函数值y随x的增大而减小；当x2时，函数取得最大值，最大值y1) 4不画出图象，你能直接说出函数yx2x的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 因为yx2x(x1)22，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，2) 5你能画出函数yx2x的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、实践与探素 例1通过配方，确定抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图 解 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8） 由对称性列表： 回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点 探索 对于二次函数 ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 +k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关 探索 你能说出函数 +k（a、h、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 例2已知抛物线 的顶点在坐标轴上，求 的值 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0 四、课堂练习 1当 时，求抛物线 的顶点所在的象限 2. 已知抛物线 的顶点A在直线 上，求抛物线的顶点坐标 五、小结 通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？ 六、作业 1P 习题 。 2选用课时作业优化设计。第四课时作业优化设计 1填空： (1)抛物线yx22x2的顶点坐标是_； (2)抛物线y2x22x的开口_，对称轴是_； (3)抛物线y2x24x8的开口_，顶点坐标是_； (4)抛物线yx22x4的对称轴是_； (5)二次函数yax24xa的最大值是3，则a_ 2画出函数y2x23x的图象，说明这个函数具有哪些性质。 3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y3x22x； (2)yx22x (3)y2x28x8 (4)yx24x3 4求二次函数ymx22mx3(m0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。 上课日期 月 日 星期 总第 课时 课题二次函数的图象与性质(6) 函数yax2bxc的图象2课型新授 教学目标1会通过配方求出二次函数 的最大或最小值； 2在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值 重点和难点重点：会通过配方求出二次函数 的最大或最小值； 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一、情景创设 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数 那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗? 二、实践与探索 例1求下列函数的最大值或最小值 （1） ； （2） 分析 由于函数 和 的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值 解 （1）二次函数 中的二次项系数20， 因此抛物线 有最低点，即函数有最小值 因为 = ， 所以当 时，函数 有最小值是 （2）二次函数 中的二次项系数-10， 因此抛物线 有最高点，即函数有最大值 因为 = ， 所以当 时，函数 有最大值是 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a0有最小值， a0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值 探索 试一试，当25x35时，求二次函数 的最大值或最小值 例2某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表： x（元）130150165 y（件）705035 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？ 分析：日销售利润=日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量。 三、作业 1、图2628，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y （1）用含y的代数式表示AE； （2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； （3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值 上课日期 月 日 星期 总第 课时 课题二次函数的图象与性质（7）函数yax2bxc的图象3课型新授 教学目标1能根据实际问题列出函数关系式、 2进一步使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。 3通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。 重点和难点根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程备注 一、情景创设 1通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y6x212x； (2)y4x28x10 y6(x1)26，抛物线的开口向上，对称轴为x1，顶点坐标是 (1，6)；y4(x1)26，抛物线开口向下，对称轴为x1，顶点坐标是(1，6) 2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? (函数y6x212x有最小值，最小值y6，函数y4x28x10有最大值，最大值y6) 二、实践与探索 有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决书上提出的两个实际问题； 例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(202x)m，由于x0，且202xO，所以Ox1O。 围成的花圃面积y与x的函数关系式是 yx(202x)即y2x220x 配方得y2(x5)250 所以当x5时，函数取得最大值，最大值y50。 因为x5时，满足Ox1O，这时202x10。 所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。 例2某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 教学要点 (1)学生阅读第 页问题2分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程： 解：设每件商品降价x元(0x2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y(10x8)(1001OOx) 即y1OOx21OOx200 配方得y100(x)2225 因为x时，满足0x2。 所以当x时，函数取得最大值，最大值y225。 所以将这种商品的售价降低元时，能使销售利润最大。 例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题： (1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m? (m) (2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出