专题五知能演练轻松闯关.doc

1已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(c,0)，离心率e，点A在椭圆上，d为点A到定直线l：x的距离(1)求证：e；(2)试判断以右焦点弦AB为直径的圆与直线l的位置关系并说明理由解：(1)证明：设A(x，y)为椭圆1(ab0)上任意一点，m(m0)，则m，两边平方整理得，(1m2)x2y2(2c)x(c2)，比较椭圆方程y2b2的各项系数得，2c0，m2()2，m0，m，即e. (2)设A，B两点到直线l：x的距离分别为d1，d2，焦点弦AB的中点M到直线l：x的距离为d，由(1)可知e，d(0eb0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60，2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|，求椭圆C的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10.(1)直线l的方程为y(xc)，其中c .联立，得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2.得离心率e.(2)因为|AB| |y2y1|，所以.由得ba，所以a，得a3，b.椭圆C的方程为1.3已知两定点A(t,0)和B(t,0)，t0.S为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；(2)当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线xy10对称？解：(1)设S(x，y)，SA的斜率为(xt)，SB的斜率为(xt)由题意，得(xt)，整理，得y21(xt)故点S的轨迹C为双曲线(除去两顶点)(2)假设C上存在这样的两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，则直线PQ的斜率为1，且P、Q的中点在直线xy10上设直线PQ的方程为yxb，由整理，得(1t2)x22t2bxt2b2t20，其中当1t20时，方程只有一个解，与假设不符当1t20时，(2bt2)24(1t2)(t2b2t2)4t2(b21t2)，令0，有t2b21.又x1x2，所以，代入yxb，得.因为PQ的中点为在直线xy10上，所以有10，整理，得t2，解，得b0或b1,0t1，经检验，当t取(0,1)中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线xy10对称4.如图所示，已知椭圆1(ab0)和圆O：x2y2b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B.(1)若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；若椭圆上存在点P，使得APB90，求椭圆离心率e的取值范围；(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：为定值解：(1)圆O过椭圆的焦点，圆O：x2y2b2，bc，b2a2c2c2，a22c2，e.由APB90及圆的性质，知四边形OAPB为正方形，可得|OP|b，要使椭圆上存在点P，则|OP|22b2a2，a22c2，e2，e1.即离心率e的取值范围是.(2)证明：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，整理，得x0x1y0y1xy.xyb2，PA的方程为x1xy1yb2.同理PB的方程为x2xy2yb2.PA、PB都过点P(x0，y0)，x1x0y1y0b2且x2x0y2y0b2.直线AB的方程为x0xy0yb2.令x0，得|ON|y|，令y0，得|OM|x|，.为定值，定值是.5已知中心在原点的椭圆C：1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x0)为椭圆C上一点，MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以b2a29，则椭圆C的方程为1，因为x0，所以SMOF13x，解得x1.故点M的坐标为(1,4)因为M(1,4)在椭圆上，所以1，得a48a290，解得a29或a21(不合题意，舍去)，则b29918，所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y4xm(因为直线OM的斜率k4)，由消去y，化简得18x28mxm2180.进而得到x1x2，x1x2.因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以(8m)2418(m218)0，化简，得m2162，解得9m9.因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以0，所以x1x2y1y20.又y1y2(4x1m)(4x2m)16x1x24m(x1x2)m2，x1x2y1y217x1x24m(x1x2)m2m20，解得m.由于(9，9)，所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y4x或y4x.6已知椭圆的中心E在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2，0)，B(2,0)，C三点(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F、H，过点H的直线l：xmy1与椭圆E交于M、N两点，则FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)根据三点到原点的距离，可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆E的方程为1(ab0)，将点A(2,0)，C代入椭圆E的方程，得解得a24，b23，椭圆E的方程为1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y10，y20，如图所示，设FMN内切圆的半径为R，则SFMN(|MN|MF|NF|)R(|MF|MH|)(|NF|NH|)R4R，当SFMN最大时，R也最大，FMN内切圆的面积也最大，又SFMN|FH|y1|FH|y2|，|FH|2c2，SFMNy1y2，由得(3m24)y26my90，解得y1，y2，SFMN，令t，则t1，且m2t21，