高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义

高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义题型一：一次函数的值域（最值）1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数的值域（最值）1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为2、二次函数在区间上的值域(最值)首先判定其对称轴与区间的位置关系（1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例1：已知 的定义域为，则的定义域为 。例2：已知，且，则的值域为 。题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为2、形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为（2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。例3：函数的值域为 ；若时，其值域为 。例4：当时，函数的值域 。 练习：已知，且，则的值域为 。题型四：二次分式函数的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： 检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；分子、分母必须是既约分式。例6：； 例7：； 例8：； 例9：求函数的值域解：由原函数变形、整理可得： 求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 当时，上述方程要在区间上有解，即要满足或 解得： 综合得：原函数的值域为：题型五：形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。例10： 求函数在时的值域 题型六：分段函数的值域： 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例11： 练习： 题型七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例13： 练习： 函数值域求解的十五种求法（1）直接法（俗名分析观察法）：通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1：已知函数，求函数的值域。 练习：求函数的值域。 例3：求函数的值域。 练习：求函数的值域。 （2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。例1求函数的值域。分析与解答：因为，即，于是：，。例2求函数在区间的值域。分析与解答：由配方得：，当时，函数是单调减函数，所以；当时，函数是单调增函数，所以。所以函数在区间的值域是。（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。例1 求函数y=3-2x-x2当定义域为-3，1的值域。解：由3-2x-x20，解出。 函数y在-3，1内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。函数的值域是0,2练习：求函数，的值域。 （4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由解得，函数的值域为。（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例1：求函数的值域。解：，函数的值域为。（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。对形如的函数，令；形如的函数，令；例1：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。练习：求函数的值域。（7）判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。例1：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为（8）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，可考虑利用函数的单调性求出函数的值域。例1：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。，函数的值域为。例2求函数在区间上的值域。分析与解答：任取，且，则，因为，所以：，当时，则；当时，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。（10）函数有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，（，），函数的值域为练习求函数的值域（11）数型结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率或距离。例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是y|y3。解法2（几何法或图象法）：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+。如图 ）（12）复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。例1、求函数 的值域（复合函数法）设 ，则 练习：求函数的值域。 （13）非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。解析：(1)， 故 所求函数的值域为 。(2)，原函数可化为 ，即 ， 当时， ，解得 又 ， 所以 ，故 所求函数的值域为 。练习：求下列函数的值域： （1）y=； （2）y=； （3）y=10-； （4）y=； （14）“平方开方法” .本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合函数特征设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；（2）具有两个函数加和的形式，即（）；（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即（，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得.2.运算步骤 若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.3.应用四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函数（，）的值域.解：首先，当时，；其次，是函数与的和；最后， 可见，函数满足了采用“平方开方法”的三