高三一轮复习导学案19-专题02——导数-第04章-第01节——任意角和弧度制及任意角的三角函数

专题二导数的工具性作用之研究1.f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)0(或0、a0)内的最大值和最小值.题型三已知单调区间求参数范围例3已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围.探究提高(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意. 设函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a2,2，不等式f(x)1在1,0上恒成立，求b的取值范围.题型四利用导数研究方程根的问题例4已知函数f(x)x2aln x在(1,2是增函数，g(x)xa在(0,1)为减函数.(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)求证：当x0时，方程f(x)g(x)2有唯一解.探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力. 已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围.8.利用导数研究不等式问题试题：(14分)设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0.(1)当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；(2)求函数f(x)的极值点；(3)当b1时，试证明对任意的正整数n，不等式ln都成立.审题视角第(1)问先求出函数的定义域，然后通过判断导函数的符号来确定函数的单调性；第(2)问需要对b的取值进行分类讨论；第(3)问注意要证明的不等式的结构特征，可把看做一个变量构造新函数g(x)x3x2ln(x1)，通过利用导数求解函数的最值来证明不等式.规范解答(1)解函数f(x)x2bln(x1)的定义域为(1，)，f(x)2x，1分令g(x)2x22xb，则g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)mingb，3分当b时，g(x)minb0，即g(x)2x22xb0在(1，)上恒成立，所以f(x)0.即当b时，函数f(x)在定义域(1，)上单调递增.4分(2)解由(1)，知当b时函数无极值点，5分当b时，f(x)0，b时，函数在(1，)上无极值点.7分当b时，解f(x)0得两个不同解，x1，x2.当b0时，x10，x1(，1)，x2(1，)，此时f(x)在(1，)上有唯一的极小值点x2，当0b时，x1，x2(1，)，f(x)在(1，x1)，(x2，)上都大于0，f(x)在(x1，x2)上小于0，此时f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2.9分综上可知，当b0时，f(x)在(1，)上有唯一的极小值点x2；当0bh(0)0，即当x(0，)时，有x3x2ln(x1)0，即ln(x1)x2x3，所以对任意正整数n，取x，可得ln恒成立. 14分批阅笔记该题的难点有两个，一个是第(2)问中求解函数的极值要根据b的取值范围进行分类讨论；二是证明关于n的不等式，解决此类问题的一般思路是将不等式直接转化为关于n的函数的最值问题来解决.方法与技巧1.利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.破解的基本思路是从函数的角度分析和理解要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.问题的难点在于如何把参数和所求得的函数的极(最)值形成联系，破解的方法是根据题目的要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.失误与防范1.研究函数的有关性质，首先要求解出函数的定义域.如果不注意函数定义域的限制，则讨论就会更加麻烦.2.利用函数证明不等式的关键是根据不等式的结构特征构造合适的函数，然后利用导数研究函数的单调性和最值.3.参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式.专题二导数的工具性作用之研究(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.函数f(x)x22ln x的单调减区间是 ()A.(0,1) B.(1，) C.(，1) D.(1,1)2.函数f(x)x33x24xa的极值点的个数是 ()A.2 B.1 C.0 D.由a确定3.若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A.(0,1) B.(，1) C.(0，)D.二、填空题4.已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.5.已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_.6.函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则实数m_.三、解答题7.已知函数f(x)x3ax2b(a，b为实数，且a1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)f(x)mx在区间2,2上为减函数，求实数m的取值范围.8.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.B组专项能力提升题组一、选择题1.设f(x)x3ax25x6在区间1,3上为单调函数，则实数a的取值范围为()A.，) B.(，3 C.(，3，) D.，2.若a2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A.0个根 B.1个根 C.2个根 D.3个根3.已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则a与b的夹角范围为 ()A. B. C. D.二、填空题4.关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.5.设函数f(x)，集合Mx|f(x)0，若MP，则实数a的取值范围是_.6.如果在上，函数f(x)x2pxq与g(x)在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是_.7.已知函数f(x)的导数f(x)2x9，且f(0)的值为整数，当x(n，n1 (nN*)时，f(x)的值为整数的个数有且只有1个，则n_.三、解答题8.已知函数f(x)(a3b9)ln(x3)x2(b3)x.(1)当a0且a1，f(1)0时，试用含a的式子表示b，并讨论f(x)的单调区间；(2)若f(x)有零点，f(3)，且对函数定义域内一切满足|x|2的实数x有f(x)0.求f(x)的表达式；当x(3,2)时，求函数yf(x)的图象与函数yf(x)的图象的交点坐标.答案要点梳理1.f(x)0f(x)0题型分类深度剖析例1解(1)a0(2)f(x)的单调递增区间为，(3，)，单调递减区间为变式训练1(1)3x2y2ln 230(2)当k0时，f(x)的单调递增区间为(1，0)，单调递减区间为(0，)；当0k1时，f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为例2解(1)g(x)ax3bx2cx，g(1)abc0，即cba.又f(x)g(x)3ax22bxc，由f(0)f(1)0，得c(3a2bc)0，即(ba)(3b2a)0.a0，0，解得1.又方程f(x)3ax22bxc0 (a0)有两根，0.而(2b)243ac4b212a(ba)423a20恒成立，于是，的取值范围是.(2)x1、x2是方程f(x)0的两根，即3ax22bxc0的两根为x1、x2，x1x2，x1x2.|x1x2|2(x1x2)24x1x22422.1，当且仅当1，即ab时，|x1x2|2取最小值，即|x1x2|取最小值.此时，g(x)ax3ax2，f(x)3ax22axax(3x2).令f(x)0，得x1，x20.若a0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：x(，)0(0，)f(x)00g(x)极大值极小值由上表可知，g(x)的极大值为ga，极小值为g(0)0.由题设，知a0，解得a9，此时g(x)9x39x2；当a0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：x(，)(，0)0(0，)f(x)00g(x)极小值极大值由上表可知，g(x)的极大值为g(0)0，极小值为ga.由题设知0a，解得a9，此时g(x)9x39x2.综上所述，g(x)的解析式为g(x)9x39x2或g(x)9x39x2.变式训练2(1)a3，b2(2)当0t2时，f(x)的最大值为f(0)2，最小值为f(t)t33t22；当23时，f(x)的最大值为f(t)t33t22，最小值为f(2)2例3解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1).当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2内单调递减，在2，)内单调递增，当x2时，f(x)有极小值.f(2)12是f(x)的极小值.(2)在(1,1)上f(x)是增函数，由此可得在(1,1)上，f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，3ax23ax10.令g(x)3ax23ax1 (1x0时，若成立，根据二次函数g(x)3ax23ax1 (1x1)的图象，只需满足g(1)3a123a110，即a，0a；当a0时，若成立，根据二次函数g(x)3ax23ax1 (1x1)的图象，只需满足g3a23a10，即a，a0，并由x0，解得x1.令h(x)0，解得0x0且x1时，h(x)0，h(x)0在(0，)上只有一个解.即当x0时，方程f(x)g(x)2有唯一解.变式训练4解(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，F(x)2ax (x0).当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)的递增区间为，递减区间为.当a0时，F(x)0)恒成立.故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减.(2)aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1. B组1. C2.B3.C4.(4,0)5.(1，)6.47.48.解(1)f(x) (x3).由f(1)0ba1，故f(x)，0a0，得f(x)的单调增区间为(3，a)，(1，)，由f(x)1时，f(x)的单调增区间为(3,1)，(a，)，单调减区间为(1，a).(2) 由(1)及f(3)3b8a.()又由|x|2时，f(x)0知f(x)的零点在2,2内，设g(x)x2bxa，则结合()解得b4，a4，f(x)25ln(x3)x27x.设(x)f(x)f(x)，先求(x)与x轴在(3,2)内的交点，(x)1，由3x2得0(x3)20，(x)在(3,2)上单调递增.又(2)16160，故(x)与x轴有唯一交点(2,0)，即f(x)与f(x)的图象在区间(3,2)上的唯一交点坐标为(2,16).4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为_、_、_.按终边位置不同分为_和_.(2)终边相同的角终边与角相同的角可写成_.(3)弧度制1弧度的角：_叫做1弧度的角.规定：正角的弧度数为_，负角的弧度数为_，零角的弧度数为_，|_，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小_，仅与_有关.弧度与角度的换算：360_弧度；180_弧度.弧长公式：_，扇形面积公式：S扇形_.2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r (r0)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin _，cos _，tan _，它们都是以角为_，以比值为_的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的_.由三角函数的定义知，点P的坐标为_，即_，其中cos _，sin _，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan _.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的_、_、_.三角函数线 () () () () 有向线段_为正弦线；有向线段_为余弦线；有向线段_为正切线难点正本疑点清源1.对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90的角”等同于“锐角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ.(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等.2.对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围.如tan 有意义的条件是角终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为.3.三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负.(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负.(3)当角的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在.(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.1.已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则x的值为_.2.若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标是_.3.若46且与终边相同，则_.4.(2011江西)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.5.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A.1 B.4 C.1或4 D.2或4题型一求与已知角终边相同的角例1已知角45，(1)在区间720，0内找出所有与角有相同终边的角；(2)设集合M，N，那么两集合的关系是什么？探究提高1.第(1)小题与角终边相同的角(连同角在内)，可以表示为k360，kZ.2.第(2)小题也可对整数k的奇、偶数情况展开讨论. (1)如果是第三象限的角，那么，2的终边落在何处？(2)写出终边在直线yx上的角的集合；(3)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角.题型二三角函数的定义例2已知角的终边经过点P(x，) (x0)，且cos x，求sin 的值.探究提高任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解. 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值.题型三三角函数值的符号及判定例3(1)如果点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，试判断角所在的象限.(2)若是第二象限角，试判断的符号是什么？探究提高(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键.(2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角. 已知sin 20)，所在圆的半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？探究提高(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.(3)记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(00的x的范围.用三角函数线求解.(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定.sin ，cos ，tan 不能求出确定值，但可以画出三角函数线.借助三角函数线比较大小.规范解答解(1)34sin2x0，sin2x，sin x.2分利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ).4分(2)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，是第一或第三象限的角.6分(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：当是第一象限角时，sin AB，cos OA，tan CT，从而得，cos sin tan ； 8分当是第三象限角时，sin EF，cos OE，tan CT，得sin cos tan .10分综上所得，当在第一象限时，cos sin tan ；当在第三象限时，sin cos 0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos .其中正确的命题的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题4.若三角形的两个内角，满足sin cos 0)是终边上一点， 则2sin cos _.6.设为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos m，则sin 的值为_.三、解答题7.已知sin ，cos ，若是第二象限角，求实数a的值.B组专项能力提升题组一、选择题1.已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为 ()A. B. C. D.2.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值.答案要点梳理1.(1)正角负角零角象限角轴线角(2)k360 (kZ)(3)把长度等于半径长的弧所对的圆心角正数负数零无关角的大小2l|rlr|r22.(1)自变量函数值3.正射影(cos ，sin )P(cos ，sin )OMMPAT余弦线正弦线正切线MPOMAT基础自测1.2.(1，)3.4.85.C题型分类深度剖