应力状态分析

8 1应力状态的概念 8 2平面应力状态分析 解析法 8 3平面应力状态分析 图解法 应力圆 8 4空间应力的应力状态分析 一点的最大应力 8 5广义胡克定律 8 6强度理论概念 8 7四个经典强度理论莫尔强度理论 第八章应力状态分析强度理论 1 问题的提出 8 1应力状态的概念 问题1 同一点处不同方位截面上的应力不相同 问题2固定端B点处应力该如何校核 有必要研究一点的应力状态 2 一点的应力状态的概念 一点应力状态 指构件内任一点处所有不同方位截面上的应力情况 研究应力状态的目的 确定危险截面危险点处不同方位截面上的应力变化规律 确定在那个方向正应力最大 那个方向切应力最大 从而全面考虑构件破坏的原因 建立适当的强度条件 3 一点的应力状态的描述 研究一点的应力状态 可对一个包围该点的微小正六面体 单元体进行分析 在单元体各面上标上应力 应力单元体 1 主平面与主应力 主平面 切应力为零的平面 主应力 作用于主平面上的正应力 主应力排列规定 按代数值由大到小 过一点总存在三对相互垂直的主平面 对应三个主应力 4 应力状态的分类 a 单向应力状态 只有一个主应力不等于零 另两个主应力都等于零的应力状态 b 二向应力状态 有两个主应力不等于零 另一个主应力等于零的应力状态 c 三向应力状态 三向主应力都不等于零的应力状态 2 应力状态的分类 复杂应力状态 二向应力状态和三向应力状态的总称 平面应力状态 单向应力状态和二向应力状态的总称 空间应力状态 三向应力状态 简单应力状态 单向应力状态 纯剪切应力状态 单元体上只存在剪应力无正应力 取一个正六面体 各面上的应力为已知 如何截取单元体 如何截取圆轴扭转时的单元体 微小正六面体 取一个正六面体 而各面上的应力为已知 8 2平面应力的应力状态分析 解析法 由分离体平衡得 由切应力互等定理和三角变换 可得 符号规定 1 正负号同 2 ta 正负号同 t 3 a 为斜面的外法线与x轴正向的夹角 逆时针为正 顺时针为负 注意 用公式计算时 代入相应的正负号 主平面的方位 讨论 1 2 极值主应力以及主平面方位 可以确定出两个相互垂直的平面 主平面 分别为最大正应力和最小正应力所在平面 主应力的大小 主平面的方位 主应力单元体 3 极值切应力及所在截面 xy面内的最大切应力 最大切应力所在的位置 极值切应力单元体 例 如图所示单元体 求a斜面的应力及主应力 主平面 解 1 求斜面的应力 2 求主应力 主平面 主应力 主平面位置 这个方程恰好表示一个圆 这个圆称为应力圆 8 3平面应力的应力状态分析 图解法 对上述方程消参数 2 得 一 应力圆 圆心 半径 圆的方程式所表示的圆称为应力圆 圆心 半径 2 平面应力状态下任意斜截面上的应力相互制约在圆周上变化 应力圆是个信息源 从力学观点分析 1 若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆 圆周上的各点就是该单元体任意斜截面上的应力 二 应力圆的画法 建立直角坐标系以单元体法线x平面上的应力在直角坐标系中确定点 以单元体法线y平面上应力在直角坐标系中确定点 连接和交轴于C点 C点即为圆心 为圆的直径 或即为圆的半径 以C为圆心 作圆如图所示 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力 三 几个对应关系 转向对应 半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致 二倍角对应 半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍 四 用应力圆确定主应力大小和方位 从图可以看出 应力圆和轴相交于A B两点 由于这两点的纵坐标都为零 即剪应力为零 因此 A B两点就是对应着单元体中的两个主平面 它们的横坐标就是单元体中的两个主应力 主应力大小 四 用应力圆确定主应力大小和方位 主应力方位 根据 转向相同 夹角两倍 的关系 主平面的位置在应力图中以点顺时针转 便得到B点 相对应的单元体则将x面顺时针转 得到的作用面 的作用面也被确定了 四 用应力圆确定主应力大小和方位 五 用应力圆确定最大切应力大小和方位 应力图中最高点和最低点的纵坐标分别表示应力单元体中的最大 小剪应力 即 和所在面相互垂直 应力圆中到经过弧度为 应力圆中D0A所对应的角度为 单元体中最大剪应力作用面和主应力作用面相差 五 用应力圆确定最大切应力大小和方位 由极点P确定主应力和最大切应力方位 六 几种特殊应力圆1 单向拉伸或压缩 2 纯剪切应力状态 3 平面应力状态 y 0 例 求1 图示单元体 300斜截面上的应力2 主应力 主平面 单位 MPa 2 量出所求的物理量 与 3平行的斜截面上的应力可在 1 2应力圆的圆周上找到对应的点 与 1平行的斜截面上的应力可在 2 3应力圆的圆周上找到对应的点 与 2平行的斜截面上的应力可在 1 3应力圆的圆周上找到对应的点 8 4空间应力的应力状态分析 一点的最大应力 空间应力状态 三个主应力均不为零的应力状态 1 弹性理论证明 图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点 图b 图a 2 整个单元体内的最大切应力为 结论 3 整个单元体内的最大切应力所在的平面 至少有一个主应力及其主方向已知 三向应力状态特例的一般情形 简化为求解平面应力状态问题求解出另外两个主应力 例 求图示单元体的主应力和最大切应力 MPa 解 1 x面为主平面之一 2 建立应力坐标系如图 画y z平面的应力圆及三向应力圆 解析法 1 由单元体知 x面为主平面之一 2 求y z面内的最大 最小正应力 3 主应力 4 最大切应力 平面应力状态作为三向应力状态的特例 梁的主应力及其主应力迹线 梁的主应力及其主应力迹线 4 5 主应力迹线 StressTrajectories 主应力方向线的包洛线 曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力方位 或主压应力方位 实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线 主应力迹线的画法 主应力表示的广义虎克定律 8 5广义胡克定律 三 广义胡克定律的一般形式 问题 主应力与主应变方向是否一致 广义胡克定律的应用 求平面应力状态下任意方向的正应变 例槽形刚体内放置一边长为a 10cm正方形钢块 试求钢块的三个主应力 F 8kN E 200GPa 0 3 解 1 研究对象 正方形钢块 2 由广义虎克定律 例 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为 1 240 10 6 3 160 10 6 弹性模量E 210GPa 泊松比为 0 3 试求该点处的主应力及另一主应变 所以该点处的平面应力状态 解 自由面上 注意 1 240 10 6 3 160 10 6E 210GPa 0 3 A点的应力状态图 解一 绘A点的应力状态 轴力引起的正应力为 横向力引起的剪应力为 二 求和 沿方向的应力表示在单元体上 方向的应力表达式为 可先将单元体分解成 N和 单独作用 见分解图 将应力代入广义虎克定律中 得 联立两式可解得 两式化简后可得 1 体积应变 展开上式 并略去高阶微量 体积应变与应力分量间的关系 体积应变 单位体积的体积改变 四 三向应力状态下的变形能 体积应变与三个主应力之和有关 与主应力的大小比例无关 讨论 纯剪切平面应力状态的体积应变 剪应力的存在不影响体积应变 体积应变 因此对于一般空间的应力状态单元体 2 体积改变与形状改变 一般来说 单元体的变形由体积改变和形状改变所组成 体积改变 指形状不变而只是体积大小改变 形状改变 指体积不变而只是形状的改变 形状不变 只引起体积改变 无体积改变 只引起形状改变 3 三向应力状态下的变形比能 1 单向应力状态下的比能 变形比能 单位体积内储存的变形能 2 三向应力状态下的比能 式中主应变用主应力表示 则 3 体积改变比能与形状改变比能 单元体因体积改变所储存的变形能称为体积改变比能 单元体因形状改变所储存的变形能称为形状改变比能 一 强度理论的概念及材料的两种破坏形式 1 强度理论的概念 前面几章中 讨论了四种基本变形时的强度条件 即 8 6强度理论概念 前式适用于单向应力状态 式左边的工作应力常为拉 压 杆横截面上的正应力或梁弯曲时最大弯矩横截面边缘处的正应力 后者适用于纯剪切应力状态 式左边的工作应力常为圆轴受扭最大扭矩横截面边缘处的剪应力或梁最大剪力横截面中性轴处的弯曲剪应力 基本变形下的强度条件为什么可以这样建立 因为1 构件内的应力状态比较简单 2 用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现 式中的许用正应力和许用剪应力是由轴向拉 压 试验和纯剪切试验所测得的极限应力除以安全系数而得 这两类强度条件是能够直接通过试验来建立 然而 在工程实际中许多构件的危险点是处于复杂应力状态下 其应力组合的方式有各种可能性 复杂应力状态下的强度条件是什么 怎样建立 它的强度条件是 实践证明 1 强度与 均有关 相互影响 2 强度与 x y z 1 2 3 间的比例有关 如果采用拉 压 时用的试验方法来建立强度条件 就得对材料在各种应力状态下一一进行试验 以确定相应的极限应力 这显然是难以实现的 强度理论就是根据对材料破坏现象的分析 采用判断推理的方法 提出一些假说 从而建立相应的条件 强度理论的概念何谓强度理论 根据材料在不同应力状态下强度失效共同原因的假说 利用单向拉伸的实验结果 建立复杂应力状态下的强度条件 这就是强度理论 2 材料的两种破坏形式 1 脆性断裂 材料无明显的塑性变形即发生断裂 断面较粗糙 且多发生在垂直于最大正应力的截面上 如铸铁受拉 扭 低温脆断等 本节介绍常用的四个经典强度理论 2 塑性屈服 流动 材料破坏前发生显著的塑性变形 破坏断面粒子较光滑 且多发生在最大剪应力面上 例如低碳钢拉 扭 铸铁压 1 最大拉应力理论 第一强度理论 材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值 构件危险点的最大拉应力 极限拉应力 由单向拉伸实验测得 8 7四个经典强度理论莫尔强度理论 断裂条件 局限性 1 未考虑另外二个主应力影响 2 对没有拉应力的应力状态无法应用 3 对塑性材料的破坏无法解释 4 无法解释三向均压时 既不屈服 也不破坏的现象 实验表明 此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用 结果与实验相符合 如铸铁受拉 扭 2 最大伸长拉应变理论 第二强度理论 无论材料处于什么应力状态 只要发生脆性断裂 都是由于最大拉应变 线变形 达到极限值导致的 构件危险点的最大伸长线应变 极限伸长线应变 由单向拉伸实验测得 强度条件 实验表明 该理论能很好地解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿横向 裂纹呈竖向 发生断裂破坏的现象 铸铁在 且的情况下 试验结果也与该理论的计算结果相近 同样此理论也不能解释三向均匀受压时 材料不易破坏这一现象 按照此理论 铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更安全 这与试验结果不符 局限性 无论材料处于什么应力状态 只要发生屈服 都是由于最大切应力达到了某一极限值 3 最大切应力理论 第三强度理论 极限切应力 由单向拉伸实验测得 构件危险点的最大切应力 屈服条件 强度条件 实验表明 此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释 并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实 局限性 2 不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象 3 不适用于脆性材料的破坏 1 未考虑的影响 试验证实最大影响达15 无论材料处于什么应力状态 只要发生屈服 都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值 4 形状改变比能理论 第四强度理论 构件危险点的形状改变比能 形状改变比能的极限值 由单拉实验测得 屈服条件 实验表明 对塑性材料 此理论比第三强度理论更符合试验结果 在工程中得到了广泛应用 强度理论的统一表达式 sr 相当应力 强度理论的选用 对于强度理论的选用 须视材料 应力状态而异 一般说 脆性材料 如铸铁 石料 混凝土等 在通常情况下以断裂的形式破坏 所以宜采用第一和第二强度理论 塑性材料 如低碳钢 铜 铝等 在通常情况下以流动的形式破坏 所以宜采用第三和第四强度理论 必须指出 即使是同一材料 在不同的应力状态下也可以有不同的破坏形式 如铸铁在单向受拉时以断裂的形式破坏 而在三向受压的应力状态下 脆性材料也会发生塑性流动破坏 又如低碳钢这类塑性材料 在三向拉伸应力状态下会发生脆性断裂破坏 将主应力代入第三 第四强度理论公式中可得 这种应力状态的主应力为 在工程中的受力构件 经常会有一种二向应力状态 例已知铸铁构件上危险点处的应力状态 如图所示 若铸铁拉伸许用应力为 30MPa 试校核该点处的强度是否安全 解 第一强度理论 安全 例某结构上危险点处的应力状态如图所示 其中 116 7MPa 46 3MPa 材料为钢 许用应力 160MPa 试校核此结构是否安全 解 第三强度理论 第四强度理论 安全 安全 解作出梁的剪力图和弯矩图 作出C截面之左的正应力分布图和切应力分布图 对于这种梁的强度校核一般应包括以下三部分内容 最大正应力强度计算 最大切应力强度计算 在M较大 FS较大的截面处 对翼缘和腹板相交的点进行强度计算 例已知材料的许用应力 150MPa 95MPa 试对如图a所示的简支梁AB进行强度计算 1 正应力强度计算由弯矩图可知 全梁的最大弯矩MC 32kN m 从C截面的下边缘K 点处取应力单元体如图所示 因最大正应力 2 切应力强度计算由切应力图可知 全梁的最大剪力FQmax 100kN 在C截面的中性轴上的K3点处取应力单元体如图所示 因最大切应力 所以 AB梁的切应力强度满足 所以 AB梁的正应力强度满足 3 翼缘与腹板交接处的强度计算由内力图知 C截面之左的FQC左 100kN MC 32kN m 从C截面翼缘和腹板交接处K2点取应力单元体如图所示 所以 该点处于复杂应力状态 应选用适当的强度理论进行强度计算 现对K2按第四强度理论进行强度校如下 因为 所以 K2点处的强度不满足要求 即梁的强度不满足要求 讨论 从本例计算中可以看出 全梁的正应力强度和切应力强度虽然满足了强度要求 但在M较大和FQ较大的翼缘和腹板交接处的K2点 因为处于复杂应力状态 具有较大的正应力和较大的切应力 所以组合起来的主应力就比较大了 容易发生破坏 对这些处于复杂应力状态的点 选用适当的强度理论对它们进行强度计算是非常必要的 例一工字形截面梁受力如图所示 已知F 80KN q 10KN m 许用应力 试对梁的强度作全面校核 y 解 1 求支座反力并作内力图 2 确定危险截面 D右 B左各截面C截面 弯矩和剪力都较大的截面 3 确定危险点的应力状态 C截面b点 B左截面c点 C左截面和D右截面的a点 4 确定几何性质 对于翼缘和腹板交界处的a点 5 对C截面进行强度校核 所以仍在工程容许范围内 故认为是安全的 C截面b点 C左截面a点 按第三和第四强度理论校核 所以C截面强度足够 6 对D截面强度校核 D右截面a点 按第三和第四强度理论校核 D右截面c点 按第三和第四强度理论校核 所以D截面强度足够 莫尔强度理论 1 莫尔强度理论的概念 莫尔强度理论是在最大剪应力理论基础上发展起来的一个强度理论 它认为材料在某一截面滑移与剪断 不仅与该截面上的剪应力大小有关 而且还和该截面上的正应力有关 由于剪切的结果会使剪切破裂面上发生面与面之间的相对滑移 因而就会在两面之间产生摩擦 而摩擦力的大小又与截面上的正应力有关 这就好像要推动一物体A在另一物体上移动时 推力FS不仅与物体接触面的情况有关 而且还和正压力F有关 只有当材料某一截面上的剪应力和正应力的组合达到最不利情况时 才发生滑移破坏 因此莫尔强度理论的极限条件为 莫尔强度理论是对第三强度理论的改进 它一般能适用于脆性材料和塑性材料 特别适用于拉 压性能不同的脆性材料 因而它被广泛用于土力学 岩石力学和地质力学中 例 某种材料的抗拉和抗压强度分别为 试用莫尔强度理论解释这种材料在单向受压破坏时 其破裂面与荷截作用方向的夹角Q是等于450 大于450 还是小于450 解 首先绘制材料在单向受压和单向受拉时的极限应力圆 见图 极限应力圆图 然后绘制包络线 近似直线 在单向受压时 见单元体图 极限应力圆上A点处于极限应力状态 A点在应力圆上的位置是沿圆弧从D3顺时针转圆心角得到 因此 破裂面可以从单元体中的作用面顺时针转而得到 从图中可见 破裂面与荷载作用线间的夹角 思考题1 什么叫主平面和主应力 2 主应力和正应力有什么区别 3 如何确定平面应力状态的三个主应力及其作用平面 4 图示各单元体分别属于哪一类应力状态 思考