高中数学常考题型---三角函数(教师版)

高中数学常考题型-三角函数题型1、判断角的终边所在的象限【1】若是第二象限角，试分别确定2，的终边所在位置解：因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)(1)因为1802k36023602k360(kZ)，故2的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上(2) 因为45k18090 k180(kZ)，当k2n(nZ)时，45n36090n360，当k2n1(nZ)时，225n360270n360，所以的终边在第一或第三象限(3)因为30k12060 k120(kZ)，当k3n(nZ)时，30n36060n360，当k3n1(nZ)时，150n360180n360，当k3n2(nZ)时，270n360300n360，所以的终边在第一或第二或第四象限【2】若sincos0，则角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角 C第三或第四象限角 D第二或第四象限角解：因为sincos0，所以或所以角是第二或第四象限角故选D.题型2、扇形的弧长、周长、面积【3】如图所示，已知扇形AOB的圆心角AOB120，半径R6，求：(1) 的长；(2)弓形ACB的面积解：(1)因为AOB120，R6，所以64.(2)S弓形ACBS扇形OABSOABRR2sinAOB4662129.【4】若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为_cm和_rad时，扇形的面积最大解：设该扇形的半径为r，圆心角为，弧长为l，面积为S，则l2r60，所以l602r.所以Slr(602r)rr230r(r15)2225.所以当r15时，S最大，最大值为225cm2.此时，2rad.题型3、利用三角函数线解不等式【5】求证：当时，sintan.证明：如图所示，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PMOA于M，连接AP，则在RtPOM中，sinMP，在RtAOT中，tanAT，又根据弧度制的定义，有 OP，易知SPOAS扇形POASAOT，即 OAMPOAOAAT，即sin0，又cos，所以sin， tan.解：(1)sin，且是第二象限角，所以cos.所以tan.(2)因为sin，所以是第一或第二象限角当是第一象限角时，cos，所以tan；当是第二象限角时，tan.题型6、利用诱导公式求三角函数值【11】化简.解：原式tan.题型7、配角法求三角函数值【12】已知是第四象限角，且sin，则tan_.解：由题意知，是第一象限角，得cos，根据同角三角函数关系式可得tan.所以tantan.故填.【13】已知tan，则tan_.解：因为，所以tantan tan.故填.【14】已知tan2，tan()，则tan的值为_解：tantan()3.故填3.【15】设为锐角，若cos，则sin的值为_解：cos，为锐角，则为锐角，sin，由二倍角公式得sin2，cos2，所以sinsinsin2coscos2sin.故填.【16】已知tan()1，tan()，则的值为()解：.【17】已知cos，cos()，且，则cos()的值等于()解：因为，2(0，)，cos，所以cos22cos21，sin2.而，所以(0，)，所以sin().所以cos()cos2()cos2cos()sin2sin().题型8、关于sin，cos的齐次式问题【18】已知1，求下列各式的值(1)；(2)sin2sincos2.解：由已知得tan.(1).(2)sin2sincos2222.题型9、求三角函数的值域【19】函数y3sin2x4cosx4，x的值域是_解：原式3cos2x4cosx13，因为x，所以cosx.所以当cosx，即x时，y有最大值；当cosx，即x时，y有最小值.所以值域为.故填.【20】已知函数f(x)cos，求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：因为x0，所以2x，所以当2x，即x时，f(x)有最小值，f(x)min1；当2x0，即x时，f(x)有最大值，f(x)max，即f(x)在上的最小值为1，最大值为.【21】求函数ysinxcosxsinxcosx的值域设tsinxcosx，则t212sinxcosx，sinxcosx，且t.所以yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.所以函数ysinxcosxsinxcosx的值域为.三角函数值域的求法求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1)形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域；(2)形如yasin2xbsinxc的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域；(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设tsinxcosx，化为关于t的二次函数求值域题型10、三角函数的定义域【22】函数ylg(sinxcosx)的定义域是_解：要使函数有意义，必须使sinxcosx0.解法一：利用图象在同一坐标系中画出0，2上ysinx和ycosx的图象，如图所示：在0，2内，满足sinxcosx的x为，在内sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为x2kx2k，kZ解法二：利用三角函数线如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx，只须x(在0，2内)所以定义域为解法三：sinxcosxsin0，由正弦函数ysinx的图象和性质可知2kx2k，解得2kx2k，kZ.所以定义域为.故填.题型11、三角函数的周期【23】在函数ycos|2x|，y|cosx|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为()A B C D解：可分别求出各个函数的最小正周期ycos|2x|cos2x，T；由图象知，函数的最小正周期T；T；T.综上知，最小正周期为的所有函数为.故选C.【24】函数f(x)(sinxcosx)(cosxsinx)的最小正周期是()A. B C. D2解：f(x)2sin2cos2sin，故最小正周期T.故选B.题型12、三角函数的奇偶性【25】已知函数f(x)2sin 是偶函数，则的值为()A0 B. C. D.解：因为函数f(x)为偶函数，所以k(kZ)又因为，所以，解得，经检验符合题意故选B.题型13、三角函数的单调性【26】求函数ysin的单调递减区间；【27】求y3tan的最小正周期及单调区间解：(1)ysinsin，故由2k2x2k，解得kxk(kZ)所以函数的单调递减区间为(kZ)(2)y3tan3tan，T4.由kk，解得4kx4k(kZ)所以函数的单调递减区间为(kZ)题型14、三角函数的对称性【28】函数ysin1的图象的一个对称中心的坐标是()A. B. C. D.解：对称中心的横坐标满足2xk，解得x，kZ.当k1时，x，y1.故选B.题型15、求三角函数的解析式【29】函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()A y2sin By2sin Cy2sin Dy2sin解：由图可知，T2，所以2，由五点作图法结合各选项可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin.故选A.点拨：已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1)升降零点法，由，即可求出；求时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出；(2)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出和.根据yAsin(x)，xR的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期，从而得到A与.()A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半()由周期得到：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期(借助图象很好理解记忆)(2)求的值时最好选用最值点求峰点：x2k； 谷点：x2k.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点升零点(图象上升时与x轴的交点)：x2k；降零点(图象下降时与x轴的交点)：x 2k(以上kZ)题型16、三角函数的图像变换【30】说明由函数ysinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象(1)ysin； (2)ysin； (3)y； (4)ysin.解：(1)将ysinx的图象向左平移个单位长度，得到ysin的图象(2)解法一：将ysinx的图象向右平移个单位长度，得到ysin的图象，再把ysin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到ysin的图象解法二：先把ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到ysin2x的图象，再将ysin2x的图象向右平移个单位长度，就得到ysin的图象(3)将ysinx的图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y的图象(4)先去掉y轴左边的ysinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到ysin的图象题型17、三角函数的图像【31】函数f(x)sin(2x)acos(2x)，其中a为正常数且00，得a.于是f(x)sin(2x)cos(2x)2sin.又f(x)的图象关于直线x对称，所以当x时，f(x)取得最值，即2k，得kk(kZ)又0，所以.(2)由(1)可知f(x)2sin，所以函数f(x)的振幅为2，周期T，初相为.题型18、辅助角公式辅助角公式asinbcossin()(由tan确定)的应用是高考的热点，应予以重视【32】已知函数ysincos(xR)求它的振幅、周期及初相；解：(1)ysincos22sin.根据解析式，振幅A2，周期T4，初相.题型19、三角恒等变换求三角函数值【33】求值：(1)sin18cos36；(2).解：(1)原式.(2)原式.（3）sin20cos10 cos160sin10()A B. C D.解：原式sin20cos10cos20sin10sin30.故选D.题型20、正弦定理【34】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A B. C1 D.解：由正弦定理得12121.故选D.题型21、余弦定理【35】在ABC中，a1，b2，cosC，则sinA_.解：由余弦定理得c2a2b22abcosC142124，即c2，cosA，所以sinA.故填.在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()A. B. C D解：由题意可得acsinc，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2ac c2c23c2c2，则bc.由余弦定理，可得cosA.故选C.题型22、解三角形中的面积问题【36】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.(1)求B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积解：(1)由余弦定理知，cosB， cosC，将上式代入得，整理得a2c2b2ac.所以cosB.因为B为三角形的内角，所以B.(2)将b，ac4，B代入b2 a2c22accosB，得13422ac2accos，解得ac3.所以SABCacsinB.【37】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB.因为A(BC)，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得sinBcosB.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积SacsinBac.由已知及余弦定理得b2a2c22accosB，即4a2c22accos，又a2c22ac，所以ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.题型23、判断三角形的形状【38】在三角形ABC中，若tanAtanBa2b2，试判断三角形ABC的形状解法一：由正弦定理，得，所以，所以，即sin2Asin2B.所以2A2B，或2A2B，因此AB或AB，从而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得，所以，所以，再由正、余弦定理，得，化简得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形【39】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgblglgsinAlg，则ABC为()A锐角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形解：由lgblglglglg，得，即cb.由lgsinAlg，得sinA，又A为锐角，所以cosA.由余弦定理：a2b2c22bccosA得ab，故BA45，因此C90.故选D.题型24、三角形外接圆的半径【40】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2Asin2Bsin2C2sinAsinBsinC，且a2，则ABC的外接圆半径R_.解：由正弦定理可得a2b2c22absinC，又c2a2b22abcosC，代入上式得，2(a2b2)2absinC2abcosC，所以2(a2b2)4absin，所以a2b22absin2ab，又a2b22ab，所以a2b22ab，所以(ab)20，且sin1，所以