数学分析 第八章重积分_第1页
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文档简介

第八章重积分 1 二重积分的概念 1 平面集合的面积 2 二重积分的定义设是平面上的一个有界闭区域 是零面积集合 是定义在上的函数 用两组相互横截的曲线将分成个小区域 并进一步假定分割的曲线都是零面积的 令 再任取 考察和记 如果存在数 对 使得只要 不论分割曲线组及中间点如何选取 那么就称在上可积 称为在上的二重积分 记作或 3 可积的必要条件与充分条件定理1 1若在可求面积的有界闭区域上可积 则在上有界 定理1 2设是平面上有界闭区域 边界是零面积集合 又设在上连续 则在上可积 4 二重积分的基本性质 1 2 3 区域可加性 设且 都是可求面积的 在上均可积 则在上可积 且 4 若 则 5 积分中值定理设在可求面积的有界闭区域上连续 则在上至少存在一点 使得 其中的面积 2 二重积分的计算 1 化二重积分为累次积分定理2 1设在有界闭区域连续 其中是上连续函数 则 上式右端积分称为累次积分 例1求 例2求 例3写出所对应的累次积分 其中由所围 2 利用对称性化简计算例4 设 求 例5 求 3 极坐标下二重积分的计算定理2 2设为可求面积的有界闭区域 在上可积 则其中 例6 设 求 例7 将用极坐标化成二次积分 其中为 1 2 由所围成 3 由所围成 例8 求 其中是在第一卦限的部分 3 二重积分的一般变元替换法则 设在可求面积的有界闭区域中连续 假定是一一对应 其中是有界闭区域 在中有连续的一阶偏导数 并且 定理3 1在上述假定下 有下列公式 推论 在上述假定下 区域的面积 例1 求 例2 求 例3 求所围区域的面积 4 三重积分的概念与计算 1 三重积分的概念设是中可求体积的有界闭区域 是上函数 分割成个互不重叠的可求体积的小区域任取 若对的任一分割法及中间点的任意
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