高数A(三)08-10AB卷试题、答案汇总

院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-安徽大学20082009学年第一学期高等数学A（三）考试试卷（A卷）（闭卷 时间120分钟）题 号一二三四五总分得 分阅卷人 得分一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（ ）。(A) 若方程组有唯一解，则方程组有唯一解 (B) 若方程组有唯一解，则方程组有唯一解(C) 若方程组有无穷多解，则方程组有无穷多解 (D) 若方程组无解，则方程组无解2、已知维向量组线性相关，则下列选项中必正确的是( )。(A) 对于任何一组不全为零的数，使得(B) 中任何两个向量线性相关(C) 存在一组不全为零的数，使得(D) 对于每一个都可以由其余向量线性表出3、设，且，则 ( )。(A) 事件与事件互不相容 (B) 事件与事件对立(C) 事件与事件不独立 (D) 事件与事件独立4、设（指数分布），是总体的样本，则参数的矩估计是( )。(A) (B) (C) (D) 5、设是来自正态总体的样本，则下列结论正确的是( )。(A) (B) (C) (D) 得分二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组 有非零解，则 。7、矩阵的逆矩阵为 。8、若3阶方阵的特征值分别为、0、1，则行列式= 。9、已知（泊松分布），且，则 。 10、从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（单位：毫米）为：19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3设零件直径服从正态分布，其中未知，（毫米），则这批零件平均直径的对应于置信度为0.95的置信区间为 。得分三、计算题（本大题共4小题，共46分）11、(本小题10分) 计算下列行列式 高等数学A(三) （A卷） 第 2 页 共 37 页12、(本小题14分) 已知三阶矩阵求: (1) 矩阵的特征值及特征向量（6分）；(2) 正交矩阵，使得为对角矩阵，并写出相应的对角阵（4分）；(3) (为正整数)(4分)。 13、（本小题10分）已知二次型正定，求的取值范围。14、(本小题12分) 设二维随机向量的联合概率密度函数为求：(1) 常数(6分)；(2) (6分)。四、证明题（本大题共2小题，共24分）15、(本小题12分) 设为实矩阵，且满足。（1）若，证明不可逆（5分）；（2）证明可逆，并求其逆（7分）。 高等数学A(三) （A卷） 第 4 页 共 37 页得分16、(本小题12分) 设二维随机向量的联合概率密度函数为 证明：(1) 与不相关(6分)；(2) 与不独立(6分)。得分五、综合分析题（本大题共10分）17、 设总体，其中和为未知参数，是总体的一个子样。(1) 求参数和的极大似然估计和(6分)；(2) 判断是否为的无偏估计量(4分)。院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-安徽大学20082009学年第一学期高等数学A（三）考试试卷（B卷）（闭卷 时间120分钟）题 号一二三四五总分得 分阅卷人 得分一、选择题（每小题2分，共10分）1、设为阶方阵，其中为维列向量，且，则( )。(A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解(C) 仅有零解 (D) 必有非零解2、设，则在下的坐标为( )。(A) (B) (C) (D) 3、设随机变量泊松分布,则方差( )。(A) (B) (C) (D) 4、设，是总体的样本，则参数的矩估计是( )。(A) (B) (C) (D) 5、设是总体的样本，且，则( )是 的无偏估计。(A) (B) (C) (D)得分二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组有非零解，则。7、矩阵的逆矩阵为 。8、 设阶方阵可逆，且为其特征值，则矩阵的特征值为。9、设随机变量的分布函数为则 。10、已知, 则 。三、计算题（本大题共4小题，共46分）得分11、(本小题10分) 计算行列式12、(本小题12分) 求一个正交线性替换，化二次型为标准形。13、(本小题12分) 设连续型随机变量的概率密度函数为试求：(1) 常数(4分)；(2) (4分)；(3) 分布函数(4分)。14、(本小题12分) 设一个人有把钥匙，其中只有一把钥匙能把门打开，现每次开门时随机地任取一把，直到把门打开，用表示直到把门打开时的次数，求在每次打不开门钥匙放回的情形下的分布律及其数学期望。得分四、综合分析题（本大题共14分）15、对于线性方程组，问取何值时，方程组有解？并在有解时求出其通解。得分五、证明题（本大题共2小题，每题10分，共20分）16、设为实矩阵，求证：为正定矩阵。17、设随机变量的概率密度函数为证明：随机变量服从区间上的均匀分布。院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-安徽大学20092010学年第一学期高等数学A（三）考试试卷（A卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号 题 号一二三四五总分得 分得分一、选择题（每小题2分，共10分）1.设均为阶方阵，且满足等式，则必有（ ）.(A) 或 (B) (C) 或 (D) 2.设向量组：； ：则下列说法必正确的是（ ）.(A)线性无关，则线性无关； (B) 线性无关，则线性相关；(C) 线性相关，则线性相关； (D) 线性无关，则线性无关.3.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第次射击恰好第次命中目标的概率为（ ）.(A) (B) (C) (D) 4.设随机变量与相互独立，且，则与随机变量同分布的随机变量是（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 在假设检验中，记为原假设，则称 为犯第一类错误 （ ）(A)为真时接受 (B) 不真时接受(C)为真时拒绝 (D) 不真时拒绝得分二、填空题（每小题2分，共10分）6.方程的根为 .7.设3阶矩阵有3个特征值1，2，3，且矩阵与相似，则 .8. 设随机变量的分布函数为则概率 .9.设随机变量和的数学期望分别为和,方差分别为和,而相关系数为,则根据切比雪夫不等式有 .10.设某农作物的平均亩产量（单位：kg）服从，现随机抽取100亩进行试验，观察亩产量，得到kg，则总体均值的置信水平为0.95的置信区间为 ()得分三、计算题（本大题共10分）11.（本小题10分）计算下列行列式院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-得分四、分析题（本大题共5小题，共62分）12.（本小题13分）已知线性方程组问：取何值时，方程组有无穷多解？并在此时求其通解.13.（本小题14分）设二次型（1）求正交变换，使为标准形；（2）判定二次型的正定性.院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-14.（本小题10分）设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友；如该天不下雨，则以0.9的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友.已知该日下雨的概率为0.3.（1）试求那天他外出购物的概率；（2）若已知他那天外出购物，试求那天天下雨的概率.15.（本小题13分）已知二维离散型随机向量的联合概率分布表如下： (1)求关于的边缘分布律；(2)判断的独立性；(3)判断的相关性。16.（本小题12分）设总体的概率密度为其中是常数，是未知参数.从总体中抽取样本.（1）求常数的值；（2）求参数的最大似然估计量；（3）判断是否为的无偏估计量.得分院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-五、证明题（本大题共8分）17.（本小题8分）设均为阶方阵，且满足.证明：（1）可逆；（2）.院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-安徽大学20092010学年第一学期高等数学A（三）考试试卷（B卷）（闭卷 时间120分钟）题 号一二三四五总分得 分阅卷人得分一、选择题（每小题2分，共10分）1. 设线性方程组其中为矩阵，且则方程组( ).(A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 可能无解2. 设向量组的秩都是则( ).(A) 向量组 等价 (B) (C) 如果 则 等价 (D) 如果则等价3. 设随机事件互不相容，并且则( ).(A) (B) (C) (D) 4. 设总体，是来自于的样本，则下列结论正确的是( )（A） （B） （C） （D） 5. 在假设检验中，记为备择假设，则称 为犯第一类错误. （ ）（A）为真时接受 （B）不真时接受（C）为真时拒绝 （D）不真时拒绝二、填空题（每小题2分，共10分） 6. 方程的解为 .7. 设同为5阶方阵，则 .8. 设为正交矩阵,且则伴随矩阵 .9. 一部四卷的文集，按任意次序放到书架上，则自左向右或自右向左恰好为1，2，3，4的概率为 .10.在贝努利每次试验成功的概率为，,进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为 .得分三、计算题（共10分）11.（本小题10分）计算下列行列式得分四、分析题（共62分）12.（本小题13分）求下列线性方程组的通解. 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-13.（本小题14分）已知实二次型，试利用正交线性替换将二次型化为标准形，并写出正交线性替换.14.（本小题10分）发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号“*”和“”由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，接收台不一定收到信号“*”，而是以概率0.8和0.2收到信号“*”和“”同样地，当发报台发出信号“”时，接收台以0.9和0.1的概率收到信号“”和“*”试求：（1）接收台收到信号“*”的概率；（2）当接收台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率15.（本小题13分）设随机变量,且满足,（1）求；（2）判断和是否独立. 答 题 勿 超 装 订 线-装-订-线-16.（本小题12分）设总体的概率密度为其中是未知参数（），为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数，求（1）的矩估计；（2）的最大似然估计得分五、证明题（本大题共8分） 17.（本小题8分）设阶方阵满足.证明：（1）可逆；（2）若，则不可逆.安徽大学20082009学年第一学期高等数学A（三）（A卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共10分）1、B 2、C 3、 D 4、D 5、A 二、填空题（每小题2分，共10分）6、-1，-2 7、 8、30 9、9 10、（19.77，20.05）三、计算题（本大题共4小题，其中第11题和第13题各10分，第12题14分，第14题12分，共46分）11、解：将第一行的-1倍加到其余各行，得 (4分)再将第列的倍加到第一列，得 (8分) (10分)12、 解：(1) 令，得. (3分)当时，解下列方程组得特征向量；当时，解下列方程组得特征向量；当时，解下列方程组得特征向量。 (6分)(2) 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，所以只需将(1)中得到的特征向量单位化即可得到正交矩阵。将特征向量单位化得，令，从而为正交矩阵，并且，即所求的对角矩阵为 。 (10分)(3) 由(2)知 所以 (14分)13、解：二次型的矩阵为 各阶顺序主子式为 ，7分)由于二次型正定，所以各阶顺序主子式均大于0，即解得。 (10分)14、解：(1) 由于为的联合密度函数，所以即所以 .(6分)(2) (12分)四、证明题（本大题共2小题，每题12分，共24分）15、证明: （1）由于，所以，下用反正法：若可逆，则，此与假设矛盾，所以不可逆。(5分)（2）由于，所以，从而所以可逆，并且。 (12分)16、证明：(1) 由于，所以 ，即与不相关。 (6分)(2) 先求与的边缘密度函数：当或时，。当时，所以同理可得易见和在区域内并不是几乎处处相等的，所以与不独立。 (12分)五、综合分析题（本大题共10分）17、解：（1）设为样本的观测值，因为总体的概率密度函数为所以似然函数为对数似然函数为 (3分) 似然方程为 解得和的极大似然估计分别为对应的估计量分别为 (6分)(2) 由于，所以故不是的无偏估计量。 (10分)安徽大学20082009学年第一学期高等数学A（三）（B卷）考试试题参考答案及评分标准一、 选择（每小题2分，共10分）1、（D） 2、（A） 3、（B ） 4、(B) 5、(D) 二、填空（每小题2分，共10分）6、 7、 8、 9、 10、三、解答题 （本大题共4小题，其中第11题10分、第12题、第13题和第14题各12分，共46分）11、解：先将第2行至第行都加到第1行，再提取公因数，最后将第一行的倍加到其余各行：(4分)(8分)。 (10分)12、解：写出二次型矩阵为求特征值：特征多项式为故特征值为。 (5分)求特征向量：3个相异特征值所对应的3个特征向量为正交向量组，故求得后只需单位化。 (8分)只需单位化：作正交矩阵和对角阵：写出正交线性替换和标准形：经正交线性替换，即化原二次型为标准形： (12分)13、解：(1) 因为为概率密度函数，所以从而.(4分) (2) ；(8分) (3) (12分)14、解：设表示事件“第次打开门”，则， ，即X分布律为：1234 (8分)于是，。 (12分)注意：几何分布的数学期望。四、综合分析题（本大题14分）15、解：对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形： (4分)显然，当时，方程组无解；当时，方程组有解。(7分)为此继续作初等行变换化为行最简形： (10分)通解为：，即 .其中自由未知量。 (14分)四、 证明题（本大题共2小题，每题10分，共20分）16、证明:由于，所以为实对称阵； ，由于 ，所以 (6分)又因为 ， 所以 ，即为正定矩阵。 (10分)17、证：由的值域可确定的值域为，所以当时，；当时，； (4分)当时，所以的密度函数为故服从区间上的均匀分布。 (10分)安徽大学20092010学年第一学期高等数学A（三）（A卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共10分）1. C 2. D 3. D 4.B 5. C二、填空题（每小题2分，共10分）6.或 7. 8. 9. 10. 三、计算题（本大题共10分）11.（本小题10分）解：为使中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第行依次与上一行交换直至第1行；第行依次与上一行交换直至第2行；第2行交换到第行，于是共经过次行的交换，得到阶范德蒙行列式 （5分）再对上面右端行列式的列进行与上述行的相同调换，得到令注意到，故有 （10分）得分四、分析题（本大题共6小题，共62分）12.（本小题13分）解：增广矩阵为 （2分） （5分）当时，方程组有无穷多解。 （7分）此时有 （8分）对应的线性方程组为即 （9分）令，得到原非齐次线性方程组的一个特解： （10分）原非齐次线性方程组对应的导出组为令，得到；令，得到；令，得到， （11分）故原非齐次线性方程组的结构解为，为任意常数。 （13分）13.（本小题14分）解：二次型的矩阵为 （2分） 特征多项式为 （3分） （5分）由得到的特征值为。 （7分）当时，解方程组，可得到基础解系当时，解方程组，得到基础解系 （9分）容易验证两两正交，故只需将单位化即可，得到令 则当时，有 （12分）因为二次型的正惯性指数为3，故二次型为正定二次型。 （14分）14.（本小题10分）解：设=那天下雨，=那天不下雨，=那天外出购物，则有，。（1）由全概率公式有 (5分)（2）由逆概公式有 （10分）15.（本小题13分）解：（1）关于的边缘分布律为关于的边缘分布律为 （4分）（2）因为 所以不独立。 （8分）（3）因而有。故不相关。 （13分）16.（本小题12分）解：（1）由于，即得到。 （4分）（2）设总体的样本值为，似然函数为取对数有令得到的最大似然估计值为的最大似然估计量为 （8分）（3）由于因此由此可知是的无偏估计量。 （12分） 五、证明题（本大题8分）17. （本小题8分）证明：（1）由得到故有可逆。 （4分）（2）由（1）知可逆，且逆矩阵为，因而有故有即有. （8分）安徽大学20092010学年第一学期高等数学A（三）（B卷）考试试题参考答案及评分标准一选择题（每小题2分，共10分）1. D 2.