流体力学第七章7--2讲

流体力学教案 第七章旋转流体动力学 第7 2旋转流体的无量纲方程和罗斯贝数 仿照第三章的处理方法 引入特征量或特征尺度把式 7 15 改写成无量纲形式的方程 并对无量纲方程中所出现的与旋转有关的特征无量纲数进行分析讨论 以L和U分别为流体运动在旋转参考系中所代表的长度和速度尺度 其参考系旋转的等角速度 取其自身值为特征值 密度 也取自身值为特征值 对于流体压力差 可取两种不同的参考尺度 即 或 考虑到讨论U L 1的极限情况 定 为压力差的尺度 即以最大有效尺度来度量流体压力差 这样对式 7 15 进行无量纲化 再考虑到式 7 11 和 7 4 关系 并以特征偏向力 U作为每项的测量单位 以 U除以各项 将得 7 16 式中T为时间尺度 一般取T L U Ro U L称作罗斯贝数 为埃克曼数 为旋转流体弗劳德数 为空间距离的无量纲量 以下分析讨论上述出现过的特征数 1 罗斯贝数 特征惯性力 特征偏向力 7 17 它代表了流体运动的加速度尺度跟偏向力尺度之比 是反映或衡量旋转效应重要性的一个量 当Ro 1时 即流动中惯性力项比偏向力项小得多 旋转作用对流体运动影响甚大 反之 当Ro 1时 则旋转效应不明显 可忽略不计 跟一般流动情况相近 一般情况下 在自然界和工程技术中的流体运动 以及在实验室中的流动 均不计地球旋转效应的影响 仅在大尺度缓慢运动的运动的大气科学中考虑地球旋转效应的影响 2 埃克曼数 特征粘性力 特征偏向力 7 18 并且 7 19 它代表了流体运动的特征粘性力和特征偏向力之比 是反映或衡量旋转流体中粘性的相对重要性 另外 在大气动力学中 7 19 式所示的埃克曼数可化为埃克曼层的厚度和大气厚度之比 因而大气埃克曼数的大小 可反映出需要考虑粘性作用的粘性层范围的厚薄 3 旋转流体弗劳德数 旋转惯性力尺度 重力 7 20 它与 3 35 式所示的一般流体的弗劳德数 即 相比较可知 旋转流体弗劳德数反映了旋转作用和重力作用的重要性 4 旋转流体的特征压力 对于流体压力差 可取两种不同的参考尺度 即 或 由于流体运动的一般特征是流动和压力分布是互为因果相互制约的 对于非旋转流体 无量纲特征数为欧拉数 即 则 P为特征压力差 由此得 7 21 若流体静止 则有静力学方程可得特征压力差 7 22 对于旋转流体 其特征压差值视转动情况而定 如Ro 1时 旋转效应较强 特征压差值为 7 23 将此式与 7 21 式比较 L相当于U 这意味着 流体特征压差不但与流速有关 且旋转强烈时 它跟旋转所引起的特征线速度 L有关 若将式 7 21 当作Ro 1时的特征压差值表达式 则 7 24 与此相应的 7 16 式的压力梯度项为 7 25 因此 7 24 式是流体力学和大气动力学作尺度分析时的一个极其重要的基础公式 第7 3普鲁德曼 泰勒定理 前面已指出 导致旋转流体与一般流体运动动力学的本质差别 是偏向力的作用 为突出这种本质差别 在这里着重讨论偏向力项的量值远较相对运动的惯性力项和粘性力项为大 或者在 7 16 式中有下列关系式 即 7 26 其中还包含着流动是准定常的 于是 7 16 式可改写为 7 27 由于物理方程不但量纲一致 而且其最高量级的项至少有两项以上 因此 欲使式 7 27 有意义 必须使 7 28 式中 为某一无量纲标量函数 于是 式 7 27 可化为 7 29 对上式取旋度 即有 7 30 根据矢量计算可知 并考虑到连续性方程 则 7 30 式可改写成为 或 7 31 显然 对于z分量也有 对于在平坦底边界上 有边界条件 处 7 32 因此 由上述两式可知 在任何高度上恒有 于是式 7 31 可改写为 7 33 这表明在满足前述条件下 流动是水平和二维的 这个结论首先由普鲁德曼 1916 和泰勒 1917 所证明 普鲁德曼 泰勒定理 不可压缩或正压流体 在有势力作用下的准定常缓慢运动 由于强旋转效应 其速度将与垂直坐标无关 即流体趋于二维化 该定理还可以从涡度方程证得 此处省略 第7 4泰勒流体柱 为了了解什么是泰勒流体柱 应用一个实验来说明 实验条件是 有一容器其底为平面并与转动轴z相垂直 整个容器内盛满流体均绕z轴以角速度 旋转 在容器平底上有一小截或一小直径为L的固体柱 它在旋转流体中以固定相对速度U朝着转轴横向移动 具有如图7 2所示 图7 2旋转容器中向中心轴移动固体上的泰勒液体 图7 4进行泰勒柱实验时的装置示意图 以S表示固体柱的侧面积 该园柱体侧面在流体中的延伸柱面的面积为Se表示 这样 容器底部一小截固体园柱体 以及上延伸着一个由Se曲面所围的流体柱 并称S Se曲面之外的流动为外流 Se之内的流动为内流 当整体的旋转速度增加到使罗斯贝数变得足够地小 则就满足普鲁德曼 泰勒定理所要求的条件 于是容器内的流动满足 7 33 式为水平和二维的 由于固体柱侧面上的流速应满足刚壁条件而等于U 因此按定理结论或 7 33 式 流体园柱体的Se曲面上的流体也以同样速度U移动 而且流体园柱体外也出现跟底部固体园柱体完全相同的绕园柱运动 图7 3对泰勒液柱实验所摄取的照片 园柱体以上的流体跟着园柱体一起移动 而流体柱以外的流体从侧绕着流体柱运动 以使