子空间的基本内容.doc

线性子空间的研究线性子空间的研究数学与应用数学专业学生：罗柏平指导老师：周绍杰摘要: 线性子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义，并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义，并做了一定的的推广；在此基础上，给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论，得到了一些有用的结果.关键词：线性空间，线性子空间，子空间的交，维数Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra，and they have been applied to mathematics or other fields extensively.This paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace straight.And we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition，and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given.Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions0引言线性子空间理论是高等代数中的重要内容，线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间.线性子空间包括线性子空间的定义，子空间的交与和，直和等等. 它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广，在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高，子空间的理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了对线性子空问作进一步的研究，先讨论有关线性子空间的一些基本问题，对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾，然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.1子空间的基本内容1.1基本概念定义1(子空间) 数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间或简称子空间，如果W对于V的两种运算加法和数乘也构成线性空间.定义2(生成子空间) 设，则子空间 即这组向量所有的线性组合构成的子空间,称为由生成的子空间，记作. 称为它的一组生成元.定义3(和与交、直和) i设、是线性空间V的两个子空间，满足的称为与的和，记作+;满足的称为与的交，记作.ii若是线性空间的两个子空间，如果中每一个向量的分解式是唯一的，则就称为直和.记为.iii线性子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设是线性空间的子间，如果和中每个向量的分解式, 是唯一的，则该和称为直和，记为1.2基本结论命题1 (子空间的判别) 线性空间的一个非空子集是的子空间的充分必要条件是，对于中规定的加法和数乘运算封闭.命题2(维数公式)如果是有限维线性空间的两个子空间，那么dim（）+dim（）=dim（）+dim（）.命题3(直和的等价条件) 若是线性空间的子空间，则以下条件等价.（1）是直和；（2）零向量的表示法唯一；（3）；（4）dim（）= .命题4 设V是P上的有限维线性空间，.则向量组的极大线性无关组就是生成子空间的基，且秩()=dim(L).向量组与等价的充要条件是=.2子空间的几个性质性质1 设是n维线性空间V的一组基，A是一个ns矩阵，且，则的维数等于A的秩.证明：要证明的维数等于A的秩,只需证的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩.设，且.不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件得，可证构成，的一个极大线性方程组.事实上，设，于是得，因为线性无关，所以，该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解即，于是线性无关. 其次可证：任意添一个向量后，向量组，一定线性相关.事实上，设，于是，其系数矩阵的秩为rr+1，所以方程组有非零解 即，线性相关.因此，是的极大线性无关组.故的维数等于A的秩，即等于.性质2 设是线性空间的s个非平凡的子空间，那么中至少有一向量不属于中的任何一个.证明：采用数学归纳法.当n=2时，由上题已证命题成立. 现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V中至少存在一个向量不属于中任意一个，如果，则命题已证. 若，对向量，且对P中s不同的数对应的s个向量中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间换句话说，上述S个向量中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间，记为，易见也不属于.即证命题对s个非平凡的子空间也成立.即证.性质3 设都是线性空间的子空间，则=的充要条件是.性质4 都是向量空间的子空间.如果也是的子空间，那么或.证 若，则存在，但.任取，则.由为子空间知.若，则由必有，矛盾.故必有，由必有，从而.性质5 假设为数域上的向量空间，是的个子空间，则同时含有的所有子空间之交等于.证 含为同时含有的所有子空间之交，则是的一个子空间，并且.任取，则，.于是即.另一方面， .是的子空间，故.因此，.性质6 若() .例如令,则，都是实数域上向量空间的子空间.易知，且.这时;()若则()中的等式恒成立. 事实上，使，即，从而.因此.即.又因，而是子空间，故.于是证得.性质7设,是向量空间V的子空间，那么（1）；（2）.证：（1）任取，则，使。于是，从而，即.故.（2）任取，则有，使.于是，从而，.因此，即.3求子空间交的基3.1直接求法设,为的两个子空间，若,则.于是方程组的基础解系就对应着的基.我们来看这个例子.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的与维数，设 ，.解 设所求交向量 ，则有 ，即 ，可算得， 且 ， 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解，得一组基 ，所以它们的交L是一维的，就是其一组基.3.2初等行变换法设，令.利用初等行变换把矩阵化为行最简形.容易确定子空间，的基与维数，通过确定的维数来确定的数.最后求出的基.我们来看例题2：例2 设子空间求及的维数和基。解：显然求的维数和基，即求向量组的秩及一组极大线性无关组。将为列作成矩阵A，对A施行行初等变换成行最简形。 显然，矩阵B中，第1,2,3,5列为列向量组的极大无关组，所以为的一组基，维从矩阵A的行最简形中可以看出：线性无关，线性无关，且 所以维，维，从而得又，且为的一组基.例3 在中，设，子空间，。求及的维数和基。解：取的一组基1，则以上两组向量的坐标分别为，显然，求的维数和基，即求向量组的秩及一组极大线性无关组.将为列作成矩阵A，对A施行初等变换化成行最简行. 显然，矩阵B中，第1,2,3,4列向量组的极大无关组，所以为的一组基.，所以是的一组基.4小结我们学习了线性子空间的基本概念及其性质，也探讨了线性子空间的判定方法，以及求子空间交的基的方法.我们不能止步于此，要不断的研究，因为数学理论的发展日新月异，线性子空间的研究也在不断地进步.我们应不断的吸取前人的经验，博采众家之长，开拓我们的思维以便得到更多的成果.希望学者们在以后再探讨线性子空间的研究问题上有更为深层次的认识，在求解方法和技巧上不断去改进.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M.北京:高等教育出版社,2003,72 刘仲奎,杨永保,程辉,陈祥恩,汪小琳.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003,63 张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第四版)M.北京：高等教育出版社,1997,94 林鹄.关于线性子空间交的基J.工科数学,2002,12(6)5 孙宗明,李振国,梅门昌.维数公式与子空间直和的等价条件J.长沙大学学报,1998,6(2)6 陈之辉.子空间的并与和J.沧州师范专科学校学报,1999,3(1)7Jacobs,D.W. IEEE Transactions on Pattern Analysis & M