第五章 弹性力学解题方法问题

第五章弹性理论的解题方法 本章任务总结对弹性力学基本方程讨论求解弹性力学问题的方法 目录5 1弹性力学基本方程5 2问题的提法5 3弹性力学问题的基本解法5 4圣维南局部影响原理5 5叠加原理 1 平衡方程 弹性体要满足的基本方程 张量表示 2 几何方程 弹性体要满足的基本方程 张量表示 张量表示 广义胡克定律的应变表示 张量表示 基本方程 平衡微分方程几何方程本构方程变形协调方程 应变作为基本未知量 若物体表面的位移已知 则位移边界条件为 若物体部分表面面力和部分表面位移已知 则为混合边界条件 5 2弹性力学问题的提法 弹性力学的任务就是在给定的边界条件下 对十五个未知量求解十五个基本方程 求解弹性力学问题时 并不需要同时求解十五个基本未知量 可以做必要的简化 为简化求解的难度 仅选取部分未知量作为基本未知量 在给定的边界条件下 求解偏微分方程组的问题 在数学上称为偏微分方程的边值问题 按照不同的边界条件 弹性力学有三类边值问题 第一类边值问题 已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量 边界条件为位移边界条件 第二类边值问题 已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Tx Ty和Tz 边界条件为面力边界条件 第三类边值问题 已知弹性体内的体力分量 以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量 边界条件在面力已知的部分 为面力边界条件 位移已知的部分为位移边界条件 称为混合边界条件 以上三类边值问题 代表了一些简化的实际工程问题 若不考虑物体的刚体位移 则三类边值问题的解是唯一的 基本解法 1 位移解法 以位移函数作为基本未知量 2 应力解法以应力函数作为基本未知量 3 混合解法以部分位移和部分应力分量作为基本未知量 利用位移函数u1 u2 u3表示其他未知量 推导由位移函数ui描述的基本方程 关键点 以位移表示的平衡微分方程 位移解法的基本方程 1 平衡微分方程2 几何方程3 本构方程4 位移边界条件 力边界条件 由 此式称为位移表示的平衡方程 Leme方程 将应力位移表达式代入平衡方程 转换指标 注意到 即 得 有 给定位移边界条件就可由Leme方程解出ui u v w 或ui u1 u2 u3 对于用面力表示的边界条件Ti ijnj 此式称为力位移边界条件 注意 则 齐次方程 对求导 因 则 对Leme方程进行 调和算子 运算 有 所以 即 这说明应力与应变满足双调和方程 由 即 由 有 位移分量求解后 可通过几何方程求出应变和通过本构方程求出应力 总之 位移解法以位移为3个基本未知函数 u1 u2 u3 归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程 即三个拉梅方程 对于位移边界条件 位移解法是十分合适的 至此 我们讨论了弹性力学位移解法的基本方程 除无限大域外 位移解法也适用于全部边界条件为位移边界的情况 然而 对于力边界条件问题 位移解法就显得不够简便 一种变通的方法就是选择应力为求解的场变量 应力需要满足六个平衡方程和三个独立的协调方程 通过这六个方程可以求解出六个应力分量 例设有半空间体 单位体积的质量为 在水平边界面上受均布压力的作用 试用位移法求各位移分量和应力分量 并假设在处方向的位移 受均布压力作用的半空间体 解 可以假设 因此体积应变 按位移解题例题 对于Leme方程 或 积分上式 有 在边界上 得 结合的表达式可得 代入由位移表示的边界条件 由条件得 将常数和代入的表达式 得 求应变 由广义胡克定律 有 即 位移法 其位移边界条件为 给定位移边界条件就可由Leme方程解出 复习 位移法 位移分量求解后 可通过几何方程求出应变和通过本构方程求出应力 位移解法以位移为3个基本未知函数 u1 u2 u3 归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程 即三个拉梅方程 位移解法适用于位移边界条件 对于位移法体力为常量时 由位移法得到 体积应力和体积应变均满足调和 Laplace 方程 位移分量 应力分量和应变分量均满足双调和方程 位移分量 应力分量和应变分量为双调和函数 解 由几何方程求应变分量 由 力边界条件 应力解法基本步骤 以应力分量 ij作为基本未知量 用六个应力分量表示协调方程 关键点 以应力表示的协调方程应力解法的方程1 平衡微分方程2 变形协调方程3 本构方程4 面力边界条件 1 整理上面的方程 把其中l的指标取为k 2 把k 1 2 3的叠加起来 运用 即 合并有 上式对指标i和j对称所以只含有六个独立方程 利用平衡方程有 上两式代入协调方程中有 把上式中i j的3个方程叠加起来 注意到 ii ii 和 ii 3可得 对上式作双调和运算有 由 上式称为Michell方程 用应力表示的协调方程 还可以写成 Michell方程 对于上式当时有 同理对于上式当时分别有 对于上式当时有 即 展开Michell方程 应力法体力为零时 应力解法的基本未知量为6个应力分量 可以避开几何方程 基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程和3个边界条件 对于几何形状或载荷较复杂问题的求解困难 应力解法适用于面力边界条件与单连体 总之 在以应力函数作为基本未知量求解时 归结为在给定的面力边界条件下 求解平衡微分方程和应力表示的变形协调方程所组成的偏微分方程组 混合解法根据问题性质和边界条件 选择不同的基本未知量求解称为混合解法 弹性理论解的惟一性定理弹性体受已知外力的作用 在物体的边界上 或者面力已知 或者位移已知 或者一部分面力已知 另一部分位移已知 则弹性体平衡时 体内各点的应力和应变是惟一的 对于后两种情况 位移也是唯一的 解的叠加原理 小变形线弹性条件下 作用于物体的若干组载荷产生的总效应 应力和变形等 等于每组载荷单独作用效应的总和 5 5叠加原理 逆解法根据问题的性质 确定基本未知量和相应的基本方程 并且假设一组满足全部基本方程的应力函数 或位移函数 然后在确定的坐标系下 考察具有确定的几何尺寸和形状的物体 其表面将受什么样的面力作用或者将存在什么样的位移 半逆解法对于给定的弹性力学问题 根据弹性体的几何形状 受力特征和变形特点 或已知简单结论 如材料力学解 假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知 由基本方程确定其他的未知量 然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数 弹性力学解