等腰三角形典型例题.doc

等腰三角形典型例题知识与技能目标建立知识框架结构图，了解掌握等腰三角形知识。复习等腰三角形有关定理的探索与证明，证明的思路和方法。能利用等腰三角形的有关定理，证明线段相等、角相等及直线垂直等。过程方法通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。情感态度价值观进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。教学重点： 等腰三角形定理的应用。教学难点： 证明的思路和方法。本章知识结构二。典型例题【例1】如图所示，ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求B的度数。 A C B D 思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。 解：AB=CD（已知） B=C（等边对等角） 同理：B=BAD，CAD=CDA 设B为X0 ，则C=X0 ，BAD=X0 ADC=2X0，CAD=2X0 在ADC中，C+CAD+ADC=1800 X+2X+2X=180 X=36 答：B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。 练习1：如图所示，在ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC， 若C=290，则A=_ABDC123A 练习2：如图在ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求ABC各角的度数？B DC【例2】如图所示，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC。 求证：AOBC思路点拨：要证AOBC，即证AO COBAD是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角的平分线即可。 证明：延长AO交BC于D AB=AC（已知） 在ABO和ACO中 OB=OC（已知） AO=AO（公共边） ABOACO（SSS） BAO=CAO 即BAD=CAD（全等三角形的对应角相等） ADBC，即AOBC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合） 评注：本题用两次全等也可达到目的.。 A 练习： 如图所示，点D、E在ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE求证：BD=CECEDB【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。如图，在ABC中，AB=AC，P是BC边上任一点，过点P作PM AB于M，PN AC于N，作BEAC于E。BCPMENQA 求证：PM+PN=BE 证明：作PQ BE于QBE AC，PNAC，BE PNPQ BE，ACBE PQ NE。，QE=PN。AB=ACABC=CPQ ACQPB=C ABC=QPB又PMB=BQP=900 BP=PB，PMBBQP（AAS）PM=BQPM+PN=BQ+QE=BE注：对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题。练习：求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。【例4】已知如图所示，在ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DEBC与E，并与CA的延长线相交于F，ABCDE12F求证：AD=AF 思路点拨：要证AD=AF，需证1=F，而1=2，2落在BDE中，F落在FEC中,因为DE BC ，所以它们都为直角三角形。F与2的余角分别为B与C,由已知可得B=C，因而结论成立。证明：在ABC中 AB=AC B=C （等边对等角） DEBC DEB=DEC=900 （垂直定义） 2+B=900 ，F+C=900（直角三角形两锐角互余） 2=F（等角的余角相等） 1=2 1=F（等量代换） AF=AD（等角对等边） ABDC 注：要注意“两头凑”的分析方法。本题还可以“作AGBC与G”，则AGFE来证。练习1：如图AC=AD，C=D，C求证BC=BD（试不用三角形全等来证）练习2:如图，已知ABC是等边三角形，点D.E分别在AC、BC上，且DEAB,DFDE,交BC的延长线与点F.求证：CD=CFDFBECA【例5】如图所示，ABC，ACB的角平分线交于F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E。求证：BD+EC=DE思路点拨：由DEBC，得3=2 1=2 1=3 ADB=DF，同理CE=EF。从而问题得证。 EF3D1C2B证明：DE BC（已知）3=2 （两直线平行，内错角相等）又BF平分ABC（已知） 1=2（角平分线定义）1=3 DB=DF（等角对等边）同理 EF=CE BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE。注：在三角形中一般是角平分线+平行线得等腰三角形。A练习：如图，BF平分ABC，CF平分ACG且DFBG.问DB、EC和DE之间存在着怎样的关系呢？请证之。BCGDEF1234【例6】 图中，已知BCAC,DEAC,点D是AB的中点，A=300,DE=1.8,求AB的长。 DCABE思路点拨 ：又A=300可得在RtBAC，RtDAE中BC=1/2AB，DE=1/2AD，又点D为AB 的中点可得BD=AD =1/2AB于是可得DE=1/4AB解：A=300，DEAC，BCAC，（已知）DE=1/2AD，BC=1/2AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。又AD=1/2AB, DE=1/2AD=1/4AB,即AB=4DE=4*1.8=7.2注：在直角三角形中已知300的角就意味着边的2倍关系了，要注意充分利用这一条件进行计算。练习1：在RtABC中，C=900,若B=2A,则边AB与BC之间有什么关系？练习2：等腰三角形的底角等于15，腰长为2a,求腰上的高。ABCDEO【例7】 如图，在ABC中BDAC于D,BAC=2DBC.求证：ABC=ACB. 思路点拨：由BAC=2DBC联想到作BAC的平分线，想办法证BAC的平分线垂直BC，即可得证。证明：作BAC的平分线AE交BC于E,交BD于O,则BAE=CAE=DBC.BDAC(已知）ODA=90（垂直定义）AOD=BOE(对顶角相等），OEB=1800-BOE-DBC=1800-AOD-CAE=ODA,即OEB=900ABC+BAE=900,ACB+CAE=900(直角三角形两锐角互余），ABC=ACB(等角的余角相等）。注：要善于观察，积累辅助线的作法，本题还可用加倍小角来证明：即在ABD内作DBF=DBC交AC于F,ABCD12练习：如图 在ABC中1=2，ABC=2C求证：AB+BD=AC。ABCDE12【例8】如图 ，在ABC中，AD为中线，BAD=DAC 求证：AB=AC。思路点拨：从现有条件分析，在ABD与ACD中，1=2，AD=AD是公共边，D是BC的中点，即BD=DC具有“两边一对角”对应相等，无法断定全等，因AD是中线，就想到可把中线AD延长一倍，构造全等三角形来解此题。证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE。在ACD和EBD中 AD=DE， BD=DC， ADC=EDBACDEBD（SAS）BE=AC，BED=CAD（全等三角形的对应边、对应角相等）BAD=DAC（已知）BED=BAD（等量代换）AB=BE（等角对等边）AB=AC（等量代换）注：在三角形中有中线时常延长加倍中线，构造全等三角形，另外在等腰三角形中，常作一腰的平行线或作底的平形线，从而构造新的等腰三角形。ABCDFE练习：如图，在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延