第三章——流体流动特性

1 3 1流场及其描述方法 流场 流体质点在流动中所占据的空间 1 拉格朗日法 拉格朗日法又称随体法 着眼于流体质点 通过跟踪每一个流体质点的运动过程 研究流体质点物理量随时间变化规律 进而确定整个流场内流体质点的运动参数 B B a b c t 式中a b c t称为拉格朗日变量 是初始时刻对质点的标识随a b c的变化 得到不同流体质点参数B的变化a b c const时 表示某个确定的流体质点的运动规律 2 在t时刻 某质点a b c的位置可表示为 该流体质点的速度场为 类似的方法可得到该流体质点的加速度场 3 1流场及其描述方法 3 2 欧拉法 又称局部法 是以流体质点流过空间某个点上时的运动特性 来研究整个流体的运动的 所以流体质点的流动是空间点坐标 x y z 和时间t的函数 任一参量B可以表示为 B B x y z t 式中 x y z t称为欧拉变量 是与流体质点无关的空间坐标值 x y z值不变 改变t 表示空间某固定点的速度随时间的变化规律 t不变 改变x y z 代表某一时刻 空间各点的速度分布 3 1流场及其描述方法 4 3 两种方法的比较 3 1流场及其描述方法 5 3 2流体流动的速度场 速度场 任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场 又称速度分布 1 流体质点运动的速度和加速度 在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为 对于具体的流体质点来说x y z有双重意义 一方面它代表流场的空间坐标 另一方面它代表流体质点在空间的位移 也就是说 空间坐标x y z也是流体质点位移的变量 它也是时间t的函数 x x t y y t z z t 流体质点的运动轨迹方程 6 流体质点在x方向上的加速度分量为 上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量 所以 同理 3 2流体流动的速度场 7 表示成矢量形式 即 欧拉方法中 流体质点的加速度由两项构成 当地加速度 固定点上流体质点的速度随时间的变化率 反映了流场的非定常性引起 b 迁移加速度 流体质点运动改变了空间位置而引起的速度变化率 反映了流场的非均匀性 3 7 3 2流体流动的速度场 8 3 2流体流动的速度场 迁移加速度 当地加速度 9 用欧拉法求流体质点任意物理量的时间变化率 称为随体导数 质点导数 表示跟随流体质点的导数 3 8 当地导数 局部导数或时变导数 表示流体质点没有空间位移时 物理量对时间的变化率 迁移导数或位变导数 表示流体处于不同位置时物理量对时间的变化率 注 1 迁移导数虽然是参数在空间的分布 但并不是参数对坐标的导数 变量仍然是t 通过中间变量x y z对时间求导 2 与拉格朗日坐标系下质点导数的比较 3 2流体流动的速度场 10 解 由流体质点的运动轨迹方程得 积分得 代回积分式 可得流体质点轨迹方程为 3 2流体流动的速度场 11 例3 1 已知用速度场u 2x v 2y w 0 求质点的加速度及流场中 1 1 点的加速度 解 在 1 1 点上 3 2流体流动的速度场 12 2 迹线和流线 迹线 某一流体质点在不同时刻所占有的空间位置连接成的空间曲线 或流体质点的运动轨迹 与拉格朗日法相对应 其数学表达式为 3 2流体流动的速度场 13 流线 某一时刻 各点的切线方向与通过该点的流体质点速度方向相同的曲线 其数学表达式为 3 2流体流动的速度场 14 3 2流体流动的速度场 15 3 2流体流动的速度场 流线的基本特性 1 在定常流动时 因为流场中各流体质点的速度不随时间变化 所以通过同一点的流线形状始终保持不变 因此流线和迹线相重合 而在非定常流动时 一般说来流线要随时间变化 故流线和迹线不相重合 2 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线 一般情况流线不能相交和分支 驻点或奇点除外 3 流线不能突然折转 是一条光滑的连续曲线 4 流线密集的地方 表示流场中该处的流速较大 稀疏的地方 表示该处的流速较小 16 3 2流体流动的速度场 例3 2 有一流场 其流速分布规律为 u ky v kx w 0 试求流线方程 解 由于w 0 所以是二维流动 二维流动的流线方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程 积分上式得到 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆 17 例 已知不定常流常速度场为u t 1 v 1 t 0时刻流体质点A位于原点 求 1 质点A的迹线方程 2 t 0时刻过原点的流线方程 3 t 1时刻质点A的运动方向 解 1 由迹线方程式 积分可得 t 0时质点A位于x y 0 得c1 c2 0 质点A的迹线方程为 消去参数t可得 a 3 2流体流动的速度场 18 上式表明质点A的迹线是一条以 1 2 1 为顶点 且通过原点的抛物线 见图 2 由流线微分方程式 积分可得 在t 0时刻 流线通过原点x y 0 可得C 0 相应的流线方程为 x y 这是过原点的一 三象限角平分线 与质点A的迹线在原点相切 见图 b c 3 2流体流动的速度场 19 3 为确定t 1时刻质点A的运动方向 需求此时刻过质点A所在位置的流线方程 由迹线方程可确定 t 1时刻质点A位于x 3 2 y 1位置 代入流线方程 可得C 1 4 t 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为 x 2y 1 2 上式是一条与流体质点A的迹线相切于 3 2 1 点的斜直线 运动方向为沿该直线朝x y值增大方向 讨论 以上可见 不定常流动中迹线与流线不重合 不同时刻通过某固定点的流线可以不同 见b式 通过某流体质点所在位置的流线也可以不同 见c和d式 d 3 2流体流动的速度场 20 3 流管 流束和总流 流管 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线 通过曲线上各点作流线 这些流线组成一个管状表面 称之为流管 流管表面上流体的速度与流管表面平行 即流管表面法向单位向量n与该点的速度V相垂直 流管方程为 流体质点不能穿过流管流入或流出 流束 过流管横截面上各点作流线 则得到充满流管的一束流线簇 称为流束 有效截面 在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面 也称为过流断面 3 2流体流动的速度场 21 3 2流体流动的速度场 22 4 流量和平均流速 流量 单位时间内通过有效截面的流体的量 体积流量 以Qv表示 单位为m3 s 质量流量 以Qm表示 单位为kg s 对于在流管有效截面上流速不等的流动 其体积流量为 当流速与截面A不垂直时 体积流量变为 式中n是截面的外法线单位矢量 3 2流体流动的速度场 23 平均流速 平均流速是一个假想的流速 即假定在有效截面上各点都以相同的流速流过 这时通过该有效截面上的体积流量与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同 3 2流体流动的速度场 对于非圆截面管道引入湿周 水力半径和当量直径概念 湿周 在总流的有效截面上 流体与固体边界接触的长度 水力半径Rh 总流的有效截面面积与湿周之比 当量直径Dh 4倍的水力半径 24 例 已知 粘性流体在圆管 半径R 内作定常流动 设圆截面上速度分布呈抛物线分布 求 1 流量Q的表达式 2 截面上平均速度V 其中um截面速度分布的最大速度 解 流量计算时dA 2 rdr 抛物线分布的流量为 其平均速度为 3 2流体流动的速度场 25 3 2流体流动的速度场 例3 3 直径为d的圆形管道 边长为a的正方形管道和高为h 宽为3h的矩形管道 具有相同的有效截面积A0 0 0314m2 分别求出这三种充满流体的管道的湿周 水力半径Rh和当量直径Dh 并说明那种管道最省材料 1 直径为d的圆管d 0 20 m d 0 628 m Rh A0 0 05 m Dh 4Rh 0 2 m d 2 边长为a正方形d 0 177 m 4a 0 708 m Rh A0 0 044 m Dh 4Rh 0 177 m 解 3 高为h的长方形h 0 102 m 0 816 m Rh A0 0 038 m Dh 4Rh 0 153 m 圆形截面湿周最小 过流截面积最大 最省料 26 3 3流体微团运动分析 1 亥姆霍兹速度分解定理 在xy平面流场中 M0点的速度为在x方向上的速度为u0 则利用流体参数的连续性用泰勒展开可以得到邻近的M点的速度在x方向的分量u可表示为 27 2 流体微团运动分析 1 平移运动 表现为流体微团整体从ABC点运动平移运动到A B C 点 微团内部任一流体质点在x y方向上的速度均为u v 不存在速度梯度 3 3流体微团运动分析 28 2 线变形运动 流体微团内部沿x方向运动 但是B点和A点流体可能存在x方向上的速度差 C点和A点可能存在y方向上的速度差 如图 3 3流体微团运动分析 29 线变形速率 单位时间 单位长度的伸长 缩短 率 3 3流体微团运动分析 同理y和z方向上的线变形速率为 面积扩张率 面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率 体积膨胀率 体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率 不可压缩流体的速度散度 面积扩张率和体积膨胀率为零 速度的散度 30 3 旋转运动 因为B点和A点可能存在y方向上的速度差 而C点和A点可能存在x方向上的速度差使微团旋转 如图 3 3流体微团运动分析 31 旋转角速度 两正交线元在xy面内绕一点的旋转角速度平均值 3 3流体微团运动分析 规定逆时针方向旋转为正 则 AB边的旋转角速度为 AC边的旋转角速度为 表现为流体微团两条正交边的角平分线在xy面内绕一点的旋转角速度 32 涡量 写成矢量为 速度的旋度 流动无旋 流动有旋 3 3流体微团运动分析 三维条件绕x轴和y轴的旋转角速度为 33 4 角变形运动 仅用旋转运动并不能完全描述流体微团的变形运动 如图所示 若 3 3流体微团运动分析 则旋转角速度为零 表现为流体微团的角平分线不产生旋转 但是AB和AC间的夹角改变了 34 角变形速率 两正交线元的与角平分线夹角在xy平面内的局部瞬时变化速率平均值 同理 3 3流体微团运动分析 AB和AC两条正交直角边在xy平面内的局部瞬时变化速率为 35 所以 对于流体微团在三维空间的运动 速度可以写为 3 3流体微团运动分析 36 3 有旋流动的描述 有旋流动 流场中存在存在着旋转角速度 不为零的流动 窝量场 旋转角速度 或者 在流场中的分布 涡线 线上任意点的切线方向与该点的涡量方向一致的假想曲线 涡线组成的集束称为涡束 涡线的方程 由 得到 3 3流体微团运动分析 37 例 设平面流场为u ky v 0 k为大于零的常数 试分析该流场的运动学特征 解 速度分布如图所示 由流线微分方程kydy 0 积分得流线方程 y C 说明流线是平行于x轴的直线族 x y方向的线应变率和xy平面内的角变形率分别为 线元既不伸长也不缩短 互相正交的线元随时间增长夹角不断变化 yx 0 流体自左向右流动时正交线元的夹角不断减小 3 3流体微团运动分析 38 流体的旋转角速度为 说明一点邻域内的流体作顺时针旋转 形成速度线形增长的基础 面积扩张率为 属不可压缩流动 图中四边形流体面在运动过程中面积保持不变 对角线与x轴的夹角不断减小 流体面不断拉长和变窄 3 3流体微团运动分析 39 3 4粘性流体的流动形态 1 雷诺实验 雷诺实验装置 40 3 4粘性流体的流动形态 1 当速度较小时 染液线为一条平滑直线 测速信号也是一条平滑直线 hf与V呈线性关系 2 当速度逐渐增大后 染液开始波动 测速信号发生间歇性脉动 说明流动开始向不稳定状态转变 hf与V关系不确定 实验结果 3 当速度继续增大后 染液线突然变得模糊 并弥散到整个管内 测速信号变为连续不断的随机脉 hf与V的1 75 2次方成正比 41 3 4粘性流体的流动形态 过渡区 湍流区 42 2 雷诺准则 雷诺通过圆管定常流动系列实验发现 层流与湍流的转捩不仅仅取决于速度 而是取决于一个组合的无量纲数 雷诺数 其中V流速 d特征长度 流体密度 粘度 圆管临界雷诺数 当Re2300时将发生湍流 3 4粘性流体的流动形态 上临界雷诺数 流体流动从层流完全转变为湍流的雷诺数 下临界雷诺数 流体流动从湍流完全转变为层流的雷诺数 43 例3 4 水在内径d 0 1m的圆管内流动 流速V 0 4m s 水的运动黏度 1 10 6m2 s 试问水在管中呈何种流态 若设管中的流体是油 流速不变而运动黏度 31 10 6m2 s 试问油在管中呈何种流态 解 水的流动雷诺数 水在管中呈湍流状态 油的流动雷诺数 油在管中呈层流状态 3 4粘性流体的流动形态 44 3 5流体流动的分类 1 流动的分类 45 2 定常流动和非定常流动 3 2流体流动的速度场 根据流体的流动参数是否随时间而变化 可将流体的流动分为定常流动和非定常流动 定常流动 流动参数不随时间变化的流动 定常流动的流场中 流体质点任意参数仅是空间点坐标x y z的函数 而与时间t无关 B B x y z 流动参数对时间的偏导数等于零 非定常流动 运动流体中任一点流体质点的流动参数 压强和速度等 随时间而变化的流动 B B x y z t 对于同一运动过程选择不同的坐标系 可以把非定常流动转化为定常流动 46 3 2流体流动的速度场 定常流动和非定常流动 47 3 一维 二维和三维流动 3 5流体流动的分