多项式插值和三次样条插值.docx

已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量,用多项式插值和三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线的图形, 试计算并比较在不同方法下的2005年以及2015年的产量。年份190019101920193019401950产量75.99591.972105.711123.203131.699150.697年份196019701980199020002010产量179.323203.212226.505251.525291.854325.433思想算法：多项式插值采用牛顿多项式插值法，该算法可以克服多项式插值和拉格朗日插值法的缺点，即：当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式是很困难的，必须全部重新计算。而牛顿插值法可以克服这一缺点。三次样条插值不仅在节点增多使子区间减少时，误差随之减少，也使曲线具有足够的光滑性。Matlab程序如下程序一：牛顿插值法源程序名称Newton.mclear all;x=0:10:110;y=75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,251.525,291.854,325.433;n=length(x);syms t;for k=2:n for i=n:-1:k y(i)=(y(i)-y(i-1)/(x(i)-x(i-k+1); end;end; N=y(1);for i=2:n W=1; for j=1:(i-1) W=W*(t-x(j); end; N=N+y(i)*W;end; N=expand(N);ezplot(N,0,120); hold on;format short;Q=;for i=0:120 Q(i+1)=subs(N,t,i);end;T=0:120;plot(T,Q,);title(产量随时间变化曲线);xlabel(T/时间);ylabel(Q/产量); N105=subs(N,t,105); N115=subs(N,t,115);程序二：三次样条插值源程序名称SPLINEM.mclear all;x=0:10:110;y=75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,251.525,291.854,325.433;n=length(x);syms t;for i=1:n p(i)=y(i);end;for k=2:3 for i=n:-1:k p(i)=(p(i)-p(i-1)/(x(i)-x(i+1-k); end;end; h(2)=x(2)-x(1);for i=2:(n-1) h(i+1)=x(i+1)-x(i); c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1); a(i)=1-c(i); b(i)=2; p(i)=6*p(i+1); end;p(1)=0;p(n)=0;c(1)=0;b(1)=2;b(n)=2;a(n)=0;u(1)=b(1);z(1)=p(1); for k=2:n l(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*c(k-1); z(k)=p(k)-l(k)*z(k-1);end;M(n)=z(n)/u(n);for k=(n-1):-1:1 M(k)=(z(k)-c(k)*M(k+1)/u(k);end; for i=2:nS(i)=M(i-1)*(x(i)-t)3/(6*h(i)+M(i)*(t-x(i-1)3/(6*h(i)+(y(i-1)-M(i-1)*h(i)2/6)*(x(i)-t)/h(i)+(y(i)-M(i)*h(i)2/6)*(t-x(i-1)/h(i); p=0; for k=(i-2)*10+1):(i-1)*10) Q(k)=subs(S(i),t,x(i-1)+p);p=p+1; end;ezplot(S(i),x(i-1),x(i); hold on; end; ezplot(S(12),110,120);hold on;for k=111:121 Q(k)=subs(S(12),t,k-1);end;T=0:120;plot(T,Q,);axis(0,120,0,400);title(产量随时间变化曲线);xlabel(T/时间);ylabel(Q/产量); S105=subs(S(12),t,105); S115=subs(S(12),t,115);运行结果：程序一：程序输入N105和N115得2005年产量N105=332.2477；2015年产量N115=-17.8236；程序二：程序输入S105和S115得2005年产量S105=309.7236；2015年产量S115=341.1424；对比图：分析：从图形中可以看出使用牛顿插值法和三次样条插值法在数据区间内图形拟合比较相近，牛顿插值法大概在2007年产量达到最大值，然后有下降的趋势。牛顿插值法得到的区间外2015年产量为一负值，显然不合理，牛顿插值得到的2005年产量要大于2010年，而三次样条插值法得到的产量小于2010年。三次样条插值法得出的结果比较合理。我们从题目中给出的数据也也可以看出产量随时间有增长的趋势。所以，使用三次样条曲线拟合更为接近实际。上机出现的问题：（1）本程序采