坐标变换与二次曲线的分类.doc

第三章 坐标变换与二次曲线的分类本章教学目的：通过本章的学习，掌握仿射坐标变换的一般理论，理解和掌握二次曲线的类型，掌握用方程的系数判别二次曲线的类型,不变量，掌握圆锥曲线的仿射特征组, 度量特征。本章教学重点：(1) 平面的仿射变换与保距变换, (2) 仿射变换基本定理本章教学难点：(1) 用坐标法研究仿射变换 (2) 图形的仿射分类与仿射性质本章教学内容：第一节 仿射坐标变换的一般理论一 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式1 向量的坐标变换公式在空间中取定两个仿射坐标系，它们的标架分别为和。设向量在和中的坐标和。又设,在中的坐标依次为，即 ， 于是由坐标的定义得到在中的坐标为， 用矩阵写出为 称 和为向量的坐标变换公式, 中的矩阵称为从坐标系到的过渡矩阵。2 点的坐标变换公式设点在和中的坐标分别为和，他们分别是向量在中的坐标和向量在中的坐标。由矩阵可得到在中的坐标为,由于，如果假设在中的坐标为，则 ， 这就是点的坐标变换公式的矩阵形式，点的坐标公式的一般形式为， 二 图形的坐标变换公式例设从坐标系到的过渡矩阵为，在中的坐标为。设平面在中的一般方程为求在中的一般方程； 设直线在中的标准方程为，求在中的方程。解 向量的坐标变换公式为 点的坐标变换公式为 将代入在中的一般方程中，得到。整理后得到在中的一般方程：。 方法 在中的方程，对这两个方程表示的曲面分别用中的方法求出它们在中的一般方程，联立得到在中的方程：。方法 记是在中的坐标为的点，是在中的坐标为的向量，则过点，平行于向量，分别求出和在中的坐标，就可以写出在中的方程。三 过渡矩阵的性质命题 ，即是可逆矩阵。（因为中的坐标向量,是不共面的）命题 设有3个仿射坐标系，到的过渡矩阵为，到的过渡矩阵为，则到的过渡矩阵为。证明：记，则的坐标向量在中的坐标为，于是（根据公式），在中的坐标为， 。于是 到的过渡矩阵为 。推论 若到的过渡矩阵为，则到的过渡矩阵为。证明 设到的过渡矩阵为，则由命题，是到的过渡矩阵，从而，即。例 已知仿射坐标系的三个坐标平面在仿射坐标系中的一般方程为：平面：，平面：，平面：，并且的原点在中的坐标为，求到的坐标变换公式。解 假设到的过渡矩阵为，则到的坐标变换公式为于是平面，即在中的方程为。将与其它的已知方程：相对照，得到，类似地可以求出，。所以得到 ，于是到的坐标变换公式为，则可以得到，这就是到的坐标变换公式。注记：以上讨论的是空间中的坐标变换，平面上的坐标变换可仿照着进行讨论，只是更加简单。点的坐标变换公式：，向量的坐标变换公式：。四 代数曲面和代数曲线如果是的一个多项式，则称方程的图象为代数曲面，把的次数称为这个代数曲面的次数。类似可以定义代数曲线的概念。注记次数的概念并不是纯几何的。代数曲面及其次数与坐标系的选择无关。空间中的一张二次曲面和一张平面的交线是二次曲线或直线。五 直角坐标变换的过渡矩阵和正交矩阵设和是空间中的两个直角坐标系，则 则 ，即就是的逆矩阵，这样的矩阵称为正交矩阵。命题 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵。说明 命题也适用于平面的情况，此时是一个二阶正交矩阵。则有关系式 ，此时或，当是一个右手直角坐标系，并且与原点重合。当过渡矩阵，是绕原点旋转角而得到的直角坐标系，它也是右手系。这样的直角坐标变换称为转轴变换。当过渡矩阵，为一个左手系。当时，则称此坐标变换为移轴变换。第二节 二次曲线的类型二次曲线的图形多种多样，本节就讨论二次曲线的类型。先讨论在一个右手直角坐标系中，一个二次方程 的图形。一用转轴变换消去交叉项如果，作转轴变换新方程的二次项变为 。于是要使新坐标系中的方程不出现交叉项，只取满足，即 。二 用移轴变换进一步简化方程现在假设二次曲线在某个右手直角坐标系中的方程为，其中，不都为0。 如果，都不为0，配方可得；，作移轴变换，在新坐标系中方程化为，它进一步化为下面5种形式之一： 它们的图形依次为：椭圆，空集，一点，双曲线和两条相交直线。 如果，有一个为0 ，假设 ，则方程可化为 ，如果，作移轴变换，方程化为，即， 它的图象是抛物线。如果，作移轴变换，方程化为进一步化简得到 。 当时，图形是两条平行直线；当时，图形是空集；当时，图形是一条直线。我们把至这些形式的方程成为二次曲线的的标准方程，把使得二次曲线在其中的方程表为标准方程的右手直角坐标系称为的标准坐标系。讨论了在右手直角坐标